2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 3.1 變化的快慢與變化率作業(yè)1 北師大版選修1 -1.doc

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3.1 變化的快慢與變化率 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加ΔR，則球的表面積增加ΔS等于(　　) A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2 C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2 解析：選B.ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2. 2.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s＝t2＋3，則在時(shí)間段(3，3＋Δt)中的平均速度等于(　　) A．6＋Δt B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 解析：選A.v＝＝ ＝＝6＋Δt. 3.已知點(diǎn)P(2，8)是曲線y＝2x2上一點(diǎn)，則P處的瞬時(shí)變化率為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選D.Δy＝2(2＋Δx)2－222＝8Δx＋2(Δx)2， ＝＝8＋2Δx， 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)8. 4.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝t2＋(t是時(shí)間，s是位移)，則物體在時(shí)刻t＝2時(shí)的速度為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.＝ ＝4＋Δt－， 當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于，∴選D. 5.物體運(yùn)動(dòng)時(shí)位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是s＝－4t2＋16t，此物體在某一時(shí)刻的速度為零，則相應(yīng)的時(shí)刻為(　　) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4 解析：選B.Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8tΔt－4(Δt)2. 又因?yàn)樵谀硶r(shí)刻的瞬時(shí)速度為零， 當(dāng)Δt趨于0時(shí)，＝16－8t－4Δt無限趨近于0. 即16－8t＝0，解得t＝2. 6.某日中午12時(shí)整，甲車自A處以40 km/h的速度向正東方向行駛，乙車自A處以60 km/h的速度向正西方向行駛，至當(dāng)日12時(shí)30分，兩車之間的距離對(duì)時(shí)間的平均變化率為________． 解析：＝＝100 km/h. 答案：100 km/h 7.一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系為s＝t2，則t＝2時(shí)，木塊的瞬時(shí)速度為________． 解析：＝＝t＋Δt. 當(dāng)t＝2，且Δt趨于0時(shí)，趨于. 答案： 8.已知曲線y＝x2＋1在點(diǎn)M處的瞬時(shí)變化率為－4，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________． 解析：Δy＝(x＋Δx)2＋1－(x2＋1)＝2xΔx＋(Δx)2， ＝＝2x＋Δx， 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，無限趨近于2x＝－4，所以x＝－2，可得y＝5. 答案：(－2，5) 9.求函數(shù)y＝x2在x＝1，2，3附近的平均變化率，取Δx都為，哪點(diǎn)附近的平均變化率最大． 解：在x＝1附近的平均變化率為k1＝ ＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為k2＝ ＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為k3＝ ＝＝6＋Δx. 令Δx＝，可得k1＝，k2＝，k3＝，故函數(shù)f(x)在x＝3附近的平均變化率最大． 10.如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從定點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，關(guān)于時(shí)間t的位移函數(shù)為y＝f(t)＝t3＋3.求該質(zhì)點(diǎn)在t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度． 解：＝ ＝ ＝48＋12Δt＋(Δt)2， 當(dāng)Δt無限趨近于零時(shí)，無限趨近于48. 即質(zhì)點(diǎn)在t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度是48. [能力提升] 1.函數(shù)f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是(　　) A．k1＜k2 B．k1＞k2 C．k1＝k2 D．無法確定 解析：選D.因?yàn)閗1＝＝2x0＋Δx， k2＝＝2x0－Δx， 又Δx可正可負(fù)且不為零，所以k1，k2的大小關(guān)系不確定． 2.若函數(shù)f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均變化率不大于－1，則Δx的范圍是________． 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[2，2＋Δx]上的平均變化率為： ＝ ＝ ＝＝－3－Δx， 所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因?yàn)棣＞0，即Δx的取值范圍是(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 3.若一物體的運(yùn)動(dòng)方程如下(s單位：m，t單位：s)：s＝ 求：(1)物體在t∈[3，5]內(nèi)的平均速度； (2)物體的初速度v0； (3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度． 解：(1)t∈[3，5]時(shí)，Δt＝5－3＝2，Δs＝352＋2－(332＋2)＝48，∴＝＝24(m/s)． (2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度． ∵物體在t＝0附近的平均速度為＝＝＝＝3Δt－18， ∴物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度為v0＝ ＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)． (3)∵物體在t＝1時(shí)的平均速度為＝＝＝3Δt－12， ∴物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為v＝ ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)． 4．質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移s的單位：m，時(shí)間t的單位：s)．問是否存在常數(shù)a，使質(zhì)點(diǎn)M在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 解：假設(shè)存在常數(shù)a，則Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝＝4a＋aΔt.當(dāng)Δt趨于0時(shí)，4a＋aΔt趨于4a，由題易知4a＝8，解得a＝2.所以存在常數(shù)a＝2，使質(zhì)點(diǎn)M在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s.