2018高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點(diǎn)、直線、面的位置關(guān)系12 面面垂直的性質(zhì)學(xué)案 蘇教版必修2.doc

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面面垂直的性質(zhì) 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說(shuō)明 面面垂直的性質(zhì) 1. 理解面面垂直性質(zhì)定理的含義； 2. 能運(yùn)用性質(zhì)定理證明相關(guān)問(wèn)題； 3. 理解并掌握空間“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化。 選擇題 填空題 解答題 垂直關(guān)系是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們要多練習(xí)多思考，認(rèn)真掌握。 其中二面角的平面角是難點(diǎn)。 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：平面和平面垂直的性質(zhì)定理及二面角的平面角問(wèn)題。 難點(diǎn)：平面和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用及二面角的平面角問(wèn)題 考點(diǎn)一：平面與平面垂直的性質(zhì) 1. 平面與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 符號(hào)語(yǔ)言 α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β 圖形語(yǔ)言 簡(jiǎn)記為：面面垂直?線面垂直 2 .平面與平面垂直的其他性質(zhì) （1）如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)。其圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言如下： （2）如果兩個(gè)平面垂直，那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面， 即∥ （3）如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面，即 （4）三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即 考點(diǎn)二：二面角的求法 【規(guī)律總結(jié)】 作二面角的一般方法 （1）定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，如圖①，則∠AOB為二面角α－l－β的平面角。 由定義法作出二面角的平面角，若已知二面角的兩個(gè)面是特殊的三角形（如以棱為公共邊的兩個(gè)等腰三角形），這時(shí)可以選取棱上的特殊點(diǎn)，如公共底邊的中點(diǎn)或公共底邊上高的垂足，從特殊點(diǎn)出發(fā)根據(jù)定義作出二面角的平面角。 （2）垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角，如圖②，∠AOB為二面角α－l－β的平面角。 （3）線面垂直法：過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的A點(diǎn)向另一個(gè)平面作垂線，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角，如圖③，∠AOB為二面角α－l－β的平面角，這種方法是求二面角大小最常用的方法。 （4）射影面積法 設(shè)二面角為，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，連接，則是二面角的平面角，于是。 【要點(diǎn)詮釋】 對(duì)于特殊圖形，不易作出二面角的平面角時(shí)，可用上述公式計(jì)算。 【規(guī)律總結(jié)】 求二面角同求異面直線所成的角及斜線與平面所成的角一樣，步驟如下： 簡(jiǎn)稱(chēng)為“一作二證三算四答”。 例題1 （平面與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何證明題中的應(yīng)用） （洛陽(yáng)）如圖，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC。 思路分析： 答案：證明：過(guò)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC， 又BC?平面PBC，故AE⊥BC， 又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，故PA⊥BC， ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC?平面PAC，故BC⊥AC。 技巧點(diǎn)撥： 1. 在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒(méi)有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣便把面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題。 2. 利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問(wèn)題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：（1）兩個(gè)平面垂直；（2）直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；（3）直線必須垂直于它們的交線。 例題2 （求二面角）如圖，四棱錐P－ABCD是底面邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥BC，PD＝1，PC＝。 （1）求證：PD⊥面ABCD； （2）求二面角A－PB－D的大小。 思路分析：（1） 利用線面垂直的判定定理；（2） 利用線面垂直法找出二面角的平面角，在三角形中計(jì)算角的大小。 答案：（1）證明：∵PD＝DC＝1，PC＝， ∴△PDC是直角三角形，即PD⊥CD， 又∵PD⊥BC，BC∩CD＝C， ∴PD⊥面ABCD； （2）解：連接BD，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，過(guò)O作OE⊥PB于點(diǎn)E，連接AE， ∵PD⊥面ABCD，∴AO⊥PD， 又∵AO⊥BD，∴AO⊥面PDB， ∴AO⊥PB， 又∵OE⊥PB，OE∩AO＝O， ∴PB⊥平面AEO，從而PB⊥EO， 故∠AEO就是二面角A－PB－D的平面角， ∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BD， ∴在Rt△PDB中，PB＝＝， 又∵，∴OE＝， ∴tan∠AEO＝＝，∴∠AEO＝60， 故二面角A－PB－D的大小為60。 技巧點(diǎn)撥： 用線面垂直法作出二面角是最常用的找平面角的方法，關(guān)鍵是找到線面垂直關(guān)系。 垂面法求二面角的平面角 【滿(mǎn)分訓(xùn)練】如果二面角α－l－β的平面角是銳角，點(diǎn)P到α，β和棱l的距離分別為2、4和4，求二面角的大小。 思路分析：點(diǎn)P可能在二面角α－l－β內(nèi)部，也可能在外部，應(yīng)分別處理。 答案：如圖（1）是點(diǎn)P在二面角α－l－β的內(nèi)部的情況。圖（2）是點(diǎn)P在二面角α－l－β的外部的情況。 ∵PA⊥α，∴PA⊥l， ∵AC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面PAC， 同理，l⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC， ∴平面PAC與平面PBC應(yīng)重合， 即A、C、B、P在同一平面內(nèi)，則∠ACB是二面角α－l－β的平面角， 在Rt△APC中，sin∠ACP＝， ∴∠ACP＝30， 在Rt△BPC中，sin∠BCP＝， ∴∠BCP＝45， 故∠ACB＝30＋45＝75或∠ACB＝45－30＝15。 即二面角α－l－β的大小為75或15。 技巧點(diǎn)撥： 本題主要考查求二面角的另一種方法“垂面法”，所謂“垂面法”即過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面相交產(chǎn)生兩條射線，這兩條射線所成的角即為二面角的平面角。