2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 第1課時 兩個計數(shù)原理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第1課時兩個計數(shù)原理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題知識點(diǎn)一分類加法計數(shù)原理第十三屆全運(yùn)會在中國天津盛大召開，一名志愿者從上海趕赴天津為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，每天有7個航班，6列火車思考該志愿者從上海到天津的方案可分幾類？共有多少種出行方法？答案兩類，即乘飛機(jī)、坐火車共有7613(種)不同的出行方法梳理(1)完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法(2)完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法知識點(diǎn)二分步乘法計數(shù)原理若這名志愿者從上海趕赴天津為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，但需在青島停留，已知從上海到青島每天有7個航班，從青島到天津每天有6列火車思考該志愿者從上海到天津需要經(jīng)歷幾個步驟？共有多少種出行方法？答案兩個，即先乘飛機(jī)到青島，再坐火車到天津共有7642(種)不同的出行方法梳理(1)完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法(2)完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法1在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()2在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事()3在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()4在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成()類型一分類加法計數(shù)原理例1設(shè)集合A1,2,3,4，m，nA，則方程1表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓的有()A6個 B8個C12個 D16個考點(diǎn)分類加法計數(shù)原理題點(diǎn)分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用答案A解析因為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以mn.當(dāng)m4時，n1,2,3；當(dāng)m3時，n1,2；當(dāng)m2時，n1，即所求的橢圓共有3216(個)反思與感悟(1)應(yīng)用分類加法計數(shù)原理時，完成這件事的n類方法是互不干擾的，無論哪種方案中的哪種方法，都可以獨(dú)立完成這件事(2)利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路跟蹤訓(xùn)練1滿足a，b1,0,1,2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A14 B13 C12 D10考點(diǎn)分類加法計數(shù)原理題點(diǎn)分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用答案B解析由已知得ab1.若a1時，b1,0,1,2，有4種可能；若a0時，b1,0,1,2，有4種可能；若a1時，b1,0,1，有3種可能；若a2時，b1,0，有2種可能共有(a，b)的個數(shù)為443213.類型二分步乘法計數(shù)原理例2一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？(各位上的數(shù)字允許重復(fù))考點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理題點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用解按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，所以m110；第二步，有10種撥號方式，所以m210；第三步，有10種撥號方式，所以m310；第四步，有10種撥號方式，所以m410.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N1010101010 000(個)四位數(shù)的號碼引申探究若各位上的數(shù)字不允許重復(fù)，那么這個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？解按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，即m110；第二步，去掉第一步撥的數(shù)字，有9種撥號方式，即m29；第三步，去掉前兩步撥的數(shù)字，有8種撥號方式，即m38；第四步，去掉前三步撥的數(shù)字，有7種撥號方式，即m47.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N109875 040(個)四位數(shù)的號碼反思與感悟(1)應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可(2)利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路分步：將完成這件事的過程分成若干步；計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果跟蹤訓(xùn)練2從1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)ax2bxc的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共_個，其中不同的偶函數(shù)共_個(用數(shù)字作答)考點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理題點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用答案186解析一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有不同的二次函數(shù)33218(個)若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b0.a的取法有3種，c的取法有2種，則由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同的偶函數(shù)326(個)類型三辨析兩個計數(shù)原理例3現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用解(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有52714(種)不同的選法(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有52770(種)不同的選法(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數(shù)原理知，有5210(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5735(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2714(種)不同的選法所以共有10351459(種)不同的選法反思與感悟(1)當(dāng)題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法(2)分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律(3)混合問題一般是先分類再分步跟蹤訓(xùn)練3在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用解選參加象棋比賽的學(xué)生有兩種方法，在只會下象棋的3人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選；選參加圍棋比賽的學(xué)生也有兩種選法；在只會下圍棋的2人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選互相搭配，可得四類不同的選法從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽有326(種)選法；從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽有326(種)選法；從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽有224(種)選法；2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生分別參加象棋比賽和圍棋比賽有2種選法所以共有664218(種)選法所以共有18種不同的選法1從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為()A1113 B3429C34224 D以上都不對考點(diǎn)分類加法計數(shù)原理題點(diǎn)分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用答案B解析分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類乘輪船，從2次中選1次有2種走法，所以共有3429(種)不同的走法2現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為()A7 B12 C64 D81考點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理題點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用答案B解析要完成配套，分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同的選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同的選法故共有4312(種)不同的配法3若x，yN*，且xy5，則有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)為()A6 B8 C9 D10考點(diǎn)分類加法計數(shù)原理題點(diǎn)分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用答案D解析當(dāng)x1時，y1,2,3,4，共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對；當(dāng)x2時，y1,2,3，共構(gòu)成3個有序自然數(shù)對；當(dāng)x3時，y1,2，共構(gòu)成2個有序自然數(shù)對；當(dāng)x4時，y1，共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N432110(個)有序自然數(shù)對45名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員現(xiàn)從中選出3名隊員參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員的選法有_種(用數(shù)字作答)考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用答案9解析分為兩類：兩名老隊員、一名新隊員時，有3種選法；兩名新隊員、一名老隊員時，有236(種)選法，即共有9種不同選法5某校高中三年級一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地(1)推選1人為總負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？(2)每班選1人為小組長，有多少種不同的選法？(3)從他們中選出2個人管理生活，要求這2個人不同班，有多少種不同的選法？考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用解(1)分三類，第一類是從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有6種不同的選法由分類加法計數(shù)原理可得，共有N810624(種)不同的選法(2)分三步，第一步從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名小組長，有8種不同的選法，第二步從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名小組長，有10種不同的選法第三步是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名小組長，有6種不同的選法由分步乘法計數(shù)原理可得，共有N8106480(種)不同的選法(3)分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有810種不同的選法；第二類是從二班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有106種不同的選法；第三類是從一班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有86種不同的選法因此，共有N81010686188(種)不同的選法1使用兩個原理解題的本質(zhì)2利用兩個計數(shù)原理解決實際問題的常用方法一、選擇題1圖書館的書架有3層，第1層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第2層有5本不同的語文書，第3層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，不同的取法共有()A120種 B16種 C64種 D39種考點(diǎn)分類加法計數(shù)原理題點(diǎn)分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用答案B解析由于書架上有35816(本)書，則從中任取1本書，共有16種不同的取法2已知a3,4,6，b1,2，r1,4,9,16，則方程(xa)2(yb)2r2可表示的不同圓的個數(shù)是()A6 B9 C16 D24考點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理題點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用答案D解析確定一個圓的方程可分為三個步驟：第一步，確定a，有3種選法；第二步，確定b，有2種選法；第三步，確定r，有4種選法由分步乘法計數(shù)原理得，不同圓的個數(shù)為32424.3從集合1,2,3，8中任意選出3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()A3 B4 C6 D8考點(diǎn)分類加法計數(shù)原理題點(diǎn)分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用答案B解析以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8.把這兩個數(shù)列的順序顛倒，又得到2個數(shù)列，所求數(shù)列為4個4現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是()A56 B65C. D65432考點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理題點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用答案A解析每位同學(xué)都有5種選擇，共有55555556(種)5如果x，yN，且1x3，xy7，則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)是()A5 B12 C15 D4考點(diǎn)分類加法計數(shù)原理題點(diǎn)分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用答案C解析當(dāng)x1時，y的取值范圍可能為0,1,2,3,4,5，有6種情況；當(dāng)x2時，y的取值可能為0,1,2,3,4，有5種情況；當(dāng)x3時，y的取值范圍可能為0,1,2,3，有4種情況；根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，滿足條件的(x，y)的個數(shù)為65415.6定義集合A與B的運(yùn)算A*B如下：A*B(x，y)|xA，yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，則集合A*B的元素個數(shù)為()A34 B43C12 D以下都不對考點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理題點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用答案C解析由分步乘法計數(shù)原理可知，A*B中共有3412(個)元素7從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同走法種數(shù)為()A243 B243C234 D243考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用答案B解析分兩類，一是從甲地經(jīng)乙地到丙地，有24種，二是直接從甲地到丙地，有3種，所以從甲地到丙地的不同走法種數(shù)共有243.8已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從兩個集合中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是()A18 B17 C16 D14考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用答案D解析分兩類第一類：M中的元素作橫坐標(biāo)，N中的元素作縱坐標(biāo)，則在第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)有326(個)；第二類：N中的元素作橫坐標(biāo)，M中的元素作縱坐標(biāo)，則在第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)有428(個)由分類加法計數(shù)原理可知，共有6814(個)點(diǎn)在第一、二象限二、填空題9一個禮堂有4個門，若從任一個門進(jìn)，從任一門出，共有不同走法_種考點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理題點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用答案16解析由分步乘法計數(shù)原理得4416.10若在如圖1的電路中，只合上一個開關(guān)可以接通電路，有_種不同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個開關(guān)可以接通電路，有_種不同的方法考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用答案56解析對于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個開關(guān)或B中的三個開關(guān)中合上一個即可，故有235(種)不同的方法對于圖2，按要求接通電路必須分兩步進(jìn)行：第一步，合上A中的一個開關(guān)；第二步，合上B中的一個開關(guān)，故有236(種)不同的方法11直線方程AxBy0，若從0,1,3,5,7,8這6個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為A，B的值，則可表示_條不同的直線考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用答案22解析若A或B中有一個為零時，有2條；當(dāng)AB0時有5420(條)，故共有20222(條)不同的直線12某運(yùn)動會上，8名男運(yùn)動員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運(yùn)動員比賽的方式共有_種考點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理題點(diǎn)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用答案2 880解析分兩步安排這8名運(yùn)動員第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以共有43224(種)方法；第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，共有54321120(種)所以安排這8人的方式共有241202 880(種)三、解答題13現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組(1)選其中一個為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用解(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法，所以共有不同的選法N7891034(種)(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長所以共有不同的選法N789105 040(種)(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法，從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法所以，共有不同的選法N787971089810910431(種)四、探究與拓展14如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”在一個長方體中，求由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用解長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”有6636(個)，另外含4個頂點(diǎn)的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”有6212(個)，所以共有361248(個)15集合A1,2，3，B1，2,3,4，從A，B中各取1個元素，作為點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)(1)可以得到多少個不同的點(diǎn)？(2)這些點(diǎn)中，位于第一象限的有幾個？考點(diǎn)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點(diǎn)兩個原理的簡單綜合應(yīng)用解(1)可分為兩類：A中元素為x，B中元素為y或A中元素為y，B中元素為x，則共得到344324(個)不同的點(diǎn)(2)第一象限內(nèi)的點(diǎn)，即x，y均為正數(shù)，所以只能取A，B中的正數(shù)，共有22228(個)不同的點(diǎn)