2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.2 演繹推理講義(含解析)蘇教版選修2-2.doc
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2.1.2 演繹推理 看下面兩個(gè)問題: (1)?是任意非空集合的真子集,A是非空集合,所以?是集合A的真子集; (2)循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),0.33是循環(huán)小數(shù),所以0.33是有理數(shù). 問題1:這兩個(gè)問題中的第一句都說明什么? 提示:都說的一般原理. 問題2:第二句又說什么? 提示:都說的特殊示例. 問題3:第三句呢? 提示:由一般原理對特殊示例作出判斷. 1.演繹推理 含義 由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法. 特點(diǎn) (1)演繹的前提是一般性原理,演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí),結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中. (2)在演繹推理中,前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系. (3)演繹推理是一種收斂性的思維方法,它缺少創(chuàng)造性,但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用,有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化. 2.三段論 一般模式 常用格式 大前提 提供了一個(gè)一般性的原理 M是P 小前提 指出了一個(gè)特殊對象 S是M 結(jié)論 揭示了一般原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系 S是P 1.演繹推理是由一般到特殊的推理,一種必然性的推理,這決定了演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍,所以其前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的. 2.三段論中大前提是一個(gè)一般性結(jié)論,是共性,小前提是指其中的一個(gè),結(jié)論為這一個(gè)也具有大前提中的結(jié)論.要得到一個(gè)正確的結(jié)論,大前提和小前提都必須正確,二者中有一個(gè)錯(cuò)誤,結(jié)論就不正確. 把演繹推理寫成三段論 [例1] 將下面的演繹推理寫成三段論的形式: (1)所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1),曲線C:+y2=1是橢圓,所以曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1). (2)等比數(shù)列的公比都不為零,數(shù)列{2n}(n∈N*)是等比數(shù)列,所以數(shù)列{2n}的公比不為零. [思路點(diǎn)撥] 這種類型的題目只要明確各推理案例中的大前提、小前提與結(jié)論即可. [精解詳析] (1)大前提:所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1). 小前提:曲線C:+y2=1是橢圓. 結(jié)論:曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1). (2)大前提:等比數(shù)列的公比都不為零. 小前提:數(shù)列{2n}(n∈N*)是等比數(shù)列. 結(jié)論:數(shù)列{2n}的公比不為零. [一點(diǎn)通] 演繹推理的重要形式是三段論,分清大前提、小前提和結(jié)論是解題的關(guān)鍵.大前提是給出一般性的原理,小前提是指出特殊對象,結(jié)論是體現(xiàn)一般性原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系的必然結(jié)果. 1.用三段論的形式寫出下列演繹推理. (1)菱形的對角線相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的對角線相互垂直. (2)若兩角是對頂角,則此兩角相等,所以若兩角不是對頂角,則此兩角不相等. (3)0.332是有理數(shù). (4)y=sin x(x∈R)是周期函數(shù). 解:(1)因?yàn)榱庑蔚膶蔷€相互垂直,(大前提) 正方形是菱形,(小前提) 所以正方形的對角線相互垂直.(結(jié)論) (2)如果兩個(gè)角是對頂角,則這兩個(gè)角相等,(大前提) ∠1和∠2不是對頂角,(小前提) 所以∠1和∠2不相等.(結(jié)論) (3)因?yàn)樗械挠邢扌?shù)是有理數(shù),(大前提) 0.332是有限小數(shù),(小前提) 所以0.332是有理數(shù).(結(jié)論) (4)因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù),(大前提) y=sin x(x∈R)是三角函數(shù),(小前提) 所以y=sin x是周期函數(shù).(結(jié)論) 2.指出下列各演繹推理中的大前提、小前提,并判斷結(jié)論是否正確. (1)a∥b一定有a=λb(λ∈R),向量c與向量d平行,所以c=λd. (2)指數(shù)函數(shù)y=ax(01)是增函數(shù),y=xα(α>1)是指函數(shù),所以y=xα(α>1)是增函數(shù)”,在以上演繹推理中,下列說法正確的命題序號是________. ①推理完全正確?、诖笄疤岵徽_?、坌∏疤岵徽_?、芡评硇问讲徽_ 解析:∵y=xα(α>1)是冪函數(shù),而不是指數(shù)函數(shù),∴小前提錯(cuò)誤. 答案:③ 3.“公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),{bn}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+3n.所以{bn}為等差數(shù)列”.上述推理中,下列說法正確的序號是________. ①大前提錯(cuò)誤?、谛∏疤徨e(cuò)誤?、劢Y(jié)論錯(cuò)誤?、苷_ 解析:該推理過程中,大前提、小前提、結(jié)論都正確. 答案:④ 4.三段論“①只有船準(zhǔn)時(shí)起航,才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港,②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的,③這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的.”中的小前提是序號________. 解析:該推理的大前提是①,小前提是③,結(jié)論是②. 答案:③ 5.α<0,冪函數(shù)y=xα的圖象在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),y=x-2是冪函數(shù),由“三段論”可得結(jié)論________. 解析:“三段論”的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的特殊事實(shí),結(jié)合大前提,小前提可得答案. 答案:y=x-2的圖象在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù) 二、解答題 6.將下面的演繹推理寫成三段論的形式: (1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水的沸點(diǎn)是100℃,所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃時(shí),水會沸騰. (2)兩直線平行,同位角相等,如果∠A與∠B是兩平行直線被第三條直線所截而成的同位角,則∠A=∠B. 解:(1)大前提:在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水的沸點(diǎn)是100℃, 小前提:在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃, 結(jié)論:水會沸騰. (2)大前提:兩條直線平行,同位角相等. 小前提:∠A與∠B是兩平行直線被第三條直線所截而成的同位角. 結(jié)論:∠A=∠B. 7.已知函數(shù)f(x)=(ax-a-x),其中a>0,且a≠1. (1)判斷函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明; (2)判斷f(2)-2與f(1)-1,f(3)-3與f(2)-2的大小關(guān)系,由此歸納出一個(gè)更一般的結(jié)論,并加以證明. 解:(1)由已知得f′(x)=(ax+a-x)>0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù). (2)f(2)-2>f(1)-1,f(3)-3>f(2)-2. 一般的結(jié)論:f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*). 證明如下: 上述不等式等價(jià)于f(n+1)-f(n)>1,即>1, 化簡得(an+1-1)(an-1)>0, 在a>0且a≠1的條件下,(an+1-1)(an-1)>0顯然成立, 故f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*)成立. 8.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列.lg a1、lg a2、lg a4成等差數(shù)列,又bn=(n=1,2,3,…).證明:{bn}為等比數(shù)列. 證明:∵lg a1、lg a2、lg a4成等差數(shù)列, ∴2lg a2=lg a1+lg a4,即a=a1a4. 若{an}的公差為d, 即(a1+d)2=a1(a1+3d),a1d=d2, 從而d(d-a1)=0. ①若d=0,{an}為常數(shù)列,相應(yīng){bn}也是常數(shù)列,此時(shí){bn}是首項(xiàng)為正數(shù),公比為1的等比數(shù)列. ②若d=a1≠0, 則a2n=a1+(2n-1)d=2nd,bn==. 這時(shí){bn}是首項(xiàng)b1=,公比為的等比數(shù)列. 綜上,{bn}為等比數(shù)列.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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