2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 1 變化的快慢與變化率學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc
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1 變化的快慢與變化率 平均變化率 某病人吃完退燒藥,他的體溫變化如下: x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8 問(wèn)題1:試比較時(shí)間x從0 min到20 min和從20 min到30 min體溫變化情況,哪段時(shí)間體溫變化較快? 提示:從20 min到30 min變化快. 問(wèn)題2:如何刻畫體溫變化的快慢? 提示:用平均變化率. 問(wèn)題3:平均變化率一定為正值嗎? 提示:不一定.可正,可負(fù),可為零. 平均變化率 (1)定義:對(duì)一般的函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō),當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時(shí),函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2),它的平均變化率為. 其中自變量的變化x2-x1稱作自變量的改變量,記作Δx,函數(shù)值的變化f(x2)-f(x1)稱作函數(shù)值的改變量,記作Δy.這樣,函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,即=. (2)作用:刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢. 瞬時(shí)變化率 王先生于近日接到了一份交通違規(guī)處罰單,原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行駛.王先生正上初中的兒子說(shuō):“一定是交警叔叔搞錯(cuò)了,那段路正好長(zhǎng)60 km,我們用了一個(gè)小時(shí),您當(dāng)時(shí)還問(wèn)我這段路我們的平均速度呢!” 問(wèn)題1:限速70 km/h是指的平均速度不超過(guò)70 km/h嗎? 提示:不是,是指瞬時(shí)速度. 問(wèn)題2:瞬時(shí)速度與平均速度有何區(qū)別? 提示:瞬時(shí)速度刻畫的是物體在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢;平均速度刻畫的是物體在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢. 問(wèn)題3:王先生在該路段平均速度為60 km/h,是否可能超速行駛? 提示:有可能. 瞬時(shí)變化率 (1)定義:對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過(guò)程中,設(shè)Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是==.而當(dāng)Δx趨于0時(shí),平均變化率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率. (2)作用:刻畫函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢. 1.=為平均變化率,其中Δx可正、可負(fù),不能為零. 2.瞬時(shí)變化率的實(shí)質(zhì)是當(dāng)平均變化率中自變量的改變量趨于0時(shí)的值. 求平均變化率 [例1] 求函數(shù)y=x3在x0到x0+Δx之間的平均變化率,并計(jì)算當(dāng)x0=1,Δx=時(shí)平均變化率的值. [思路點(diǎn)撥] 直接利用定義求平均變化率,先求出表達(dá)式,再代入數(shù)據(jù),就可以求出相應(yīng)平均變化率的值. [精解詳析] Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =(x0+Δx)3-x =3xΔx+3x0(Δx)2+(Δx)3, ∴函數(shù)y=x3在x0到x0+Δx之間的平均變化率為: =3x+3x0Δx+(Δx)2. 當(dāng)x0=1,Δx=時(shí), 平均變化率的值為312+31+()2=. [一點(diǎn)通] 求平均變化率的步驟是: (1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy=f(x1)-f(x0); (2)再計(jì)算自變量的改變量Δx=x1-x0; (3)求平均變化率=. 1.在平均變化率的定義中,自變量的增量Δx滿足( ) A.Δx>0 B.Δx<0 C.Δx≠0 D.Δx=0 答案:C 2.一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s=3+t2,則在一小段時(shí)間[2,2.1]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為( ) A.0.41 B.3 C.4 D.4.1 解析:==4.1. 答案:D 3.求函數(shù)y=f(x)=-2x2+5在區(qū)間[2,2+Δx]內(nèi)的平均變化率. 解:∵Δy=f(2+Δx)-f(2) =-2(2+Δx)2+5-(-222+5) =-8Δx-2(Δx)2, ∴=-8-2Δx. 即平均變化率為-8-2Δx. 求瞬時(shí)變化率 [例2] 以初速度v0(v0>0)豎直上拋的物體,t s時(shí)的高度s與t的函數(shù)關(guān)系為s=v0t-gt2,求物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度. [思路點(diǎn)撥] 本題可先求物體在t0到t0+Δt之間的平均速度,然后求當(dāng)Δt趨于0時(shí)的瞬時(shí)速度. [精解詳析] ∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2, ∴=v0-gt0-gΔt. 當(dāng)Δt趨于0時(shí),趨于v0-gt0,故物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度為v0-gt0. [一點(diǎn)通] 求函數(shù)y=f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率,可以先求函數(shù)y=f(x)在x0到x0+Δx處的平均變化率,再求當(dāng)Δx趨于0時(shí)平均變化率的值,即為函數(shù)y=f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率. 4.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=1-t,其中s的單位是米,t的單位是秒,那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是( ) A.1米/秒 B.-1米/秒 C.2米/秒 D.-2米/秒 解析:由===-1,得物體在3秒末的瞬時(shí)速度是-1米/秒. 答案:B 5.求函數(shù)f(x)=x2-3在x=1處的瞬時(shí)變化率. 解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2-3]-(12-3)=(Δx)2+2Δx-2+2=(Δx)2+2Δx, ∴==Δx+2. 當(dāng)Δx趨于0時(shí),趨于2. 所以函數(shù)y=x2-3在x=1時(shí)的瞬時(shí)變化率為2. 1.平均變化率刻畫的是函數(shù)值在區(qū)間[x0,x0+Δx]上變化的快慢. 2.瞬時(shí)變化率刻畫的是函數(shù)值在某時(shí)刻變化的快慢. 3.Δx趨于0時(shí)平均變化率就趨近于函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率. 1.在曲線y=x2+1上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+Δx,2+Δy),則=( ) A.Δx+ B.Δx--2 C.Δx+2 D.2+Δx- 解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+1-(12+1)=(Δx)2+2Δx, ∴=Δx+2. 答案:C 2.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3,則在時(shí)間段(3,3+Δt)內(nèi)的平均速度等于( ) A.6+Δt B.6+Δt+ C.3+Δt D.9+Δt 解析:== ==6+Δt. 答案:A 3.一塊木頭沿某一斜面自由下滑,測(cè)得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s=t2,則t=2時(shí),此木頭在水平方向的瞬時(shí)速度為( ) A.2 B.1 C. D. 解析:因?yàn)棣=(2+Δt)2-22=Δt+(Δt)2,所以=+Δt,當(dāng)Δt趨于0時(shí),+Δt趨于,因此t=2時(shí),木塊在水平方向瞬時(shí)速度為. 答案:C 4.水以恒速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,按順序與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖像相對(duì)應(yīng)的一項(xiàng)是( ) A.①②③④ B.②①③④ C.②①④③ D.②④①③ 解析:以第二個(gè)容器為例,由于容器上細(xì)下粗,所以水以恒速注入時(shí),開(kāi)始階段高度增加得慢,以后高度增加得越來(lái)越快,反映在圖像上,①符合上述變化情況.而第三個(gè)容器在開(kāi)始時(shí)高度增加快,后來(lái)時(shí)高度增加慢,圖像④適合上述變化情況.故應(yīng)選C. 答案:C 5.函數(shù)f(x)=ln x+1從e到e2的平均變化率為_(kāi)_______. 解析:Δy=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=1, Δx=e2-e, ∴=. 答案: 6.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)=,則質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)的速度為_(kāi)_______. 解析:== =-,當(dāng)Δt趨于0時(shí),=-. 答案:- 7.設(shè)某跳水運(yùn)動(dòng)員跳水時(shí),相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為h(t)=-5t2+6t+10. (1)求該運(yùn)動(dòng)員從時(shí)間t=1到時(shí)間t=3的平均速度; (2)求該運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間t=1處的瞬時(shí)速度. 解:(1)由h(t)=-5t2+6t+10,得該運(yùn)動(dòng)員從時(shí)間t=1到時(shí)間t=3的平均速度: ==-14. 故該運(yùn)動(dòng)員從時(shí)間t=1到時(shí)間t=3的平均速度為-14 m/s; (2)∵= = = =-5Δt-4, ∴當(dāng)Δt趨于0時(shí),趨于-4, 即該運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間t=1處的瞬時(shí)速度為-4 m/s. 8.若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下:(位移:m,時(shí)間:s) s= 求:(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度; (2)物體的初速度v0; (3)物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度. 解:(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時(shí)間變化量為Δt=5-3=2,物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為 Δs=352+2-(332+2)=3(52-32)=48, ∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為==24(m/s). (2)求物休的初速度v0即求物體在t=0的瞬時(shí)速度. .∵物體在t=0附近的平均變化率為 = ==3Δt-18, ∴當(dāng)Δt趨于0時(shí),趨于-18, 即物體的初速度為-18 m/s. (3)物體在t=1時(shí)瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t=1處的瞬時(shí)變化率. ∵物體在t=1附近的平均變化率為 = ==3Δt-12. ∴當(dāng)Δt趨于0時(shí),趨于-12, 即物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為-12 m/s.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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