高考物理選修知識(shí)點(diǎn)知識(shí)講解機(jī)械振動(dòng) 復(fù)習(xí)與鞏固提高

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1、 機(jī)械振動(dòng) 復(fù)習(xí)與鞏固 編稿：張金虎 審稿：李勇康 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．通過(guò)觀察和分析，理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征。能用公式和圖像描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征。 2．通過(guò)實(shí)驗(yàn)，探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系。 3．知道單擺周期與擺長(zhǎng)、重力加速度的關(guān)系。會(huì)用單擺測(cè)定重力加速度。 4．通過(guò)實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)受迫振動(dòng)的特點(diǎn)。了解產(chǎn)生共振的條件以及在技術(shù)上的應(yīng)用。 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 1．定義 物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復(fù)力的作用下的振動(dòng)，叫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 表達(dá)式為：，是判斷一個(gè)振動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充分必要條

2、件。凡是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)沿振動(dòng)方向的合力必須滿足該條件；反之，只要沿振動(dòng)方向的合力滿足該條件，那么該振動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 2．幾個(gè)重要的物理量間的關(guān)系 要熟練掌握做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻（或某一位置）的位移x、回復(fù)力F、加速度a、速度v這四個(gè)矢量的相互關(guān)系。 （1）由定義知：，方向與位移方向相反。 （2）由牛頓第二定律知：，方向與方向相同。 （3）由以上兩條可知：，方向與位移方向相反。 （4）和之間的關(guān)系最復(fù)雜：當(dāng)同向（即同向，也就是反向）時(shí)一定增大； 當(dāng)反向（即反向，也就是同向）時(shí)，一定減小。 3．從總體上描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

3、的物理量 振動(dòng)的最大特點(diǎn)是往復(fù)性或者說(shuō)是周期性。因此振動(dòng)物體在空間的運(yùn)動(dòng)有一定的范圍，用振幅A來(lái)描述；在時(shí)間上則用周期來(lái)描述完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間。 （1）振幅A是描述振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量。（一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)過(guò)程中，振幅是不變的而位移是時(shí)刻在改變的） （2）周期T是描述振動(dòng)快慢的物理量。周期由振動(dòng)系統(tǒng)本身的因素決定，叫固有周期。任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都有共同的周期公式：（其中是振動(dòng)物體的質(zhì)量，是回復(fù)力系數(shù)，即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判定式中的比例系數(shù)，對(duì)于彈簧振子k就是彈簧的勁度，對(duì)其它簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)它就不再是彈簧的勁度了）。 （3）頻率也是描述振動(dòng)快慢的物理

4、量。周期與頻率的關(guān)系是。 4．表達(dá)式 ， 其中A是振幅， ， 是時(shí)的相位，即初相位或初相。 5．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量特征 振動(dòng)過(guò)程是一個(gè)動(dòng)能和勢(shì)能不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程，振動(dòng)物體總的機(jī)械能的大小與振幅有關(guān)，振幅越大，振動(dòng)的能量越大。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅不變，總的機(jī)械能守恒。 　 6．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中路程和時(shí)間的關(guān)系 （1）若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間與周期的關(guān)系滿足（），則成立 　　要點(diǎn)詮釋?zhuān)翰徽撚?jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在哪個(gè)位置向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷一個(gè)周期就完成一次全振動(dòng)，完成任何一次全振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程都等于。 （2）若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間與周期的關(guān)系滿足（），則

5、成立 （3）若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間與周期的關(guān)系滿足，此種情況最復(fù)雜，分三種情形 ①計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在三個(gè)特殊位置（兩個(gè)最大位移處，一個(gè)平衡位置），由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱(chēng)性知，成立。 ②計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在最大位移和平衡位置之間，向平衡位置運(yùn)動(dòng)，則． ③計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在最大位移處和平衡位置之間，向最大位移處運(yùn)動(dòng)，則． （4）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為非特殊值，則需要利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖象進(jìn)行計(jì)算。 　?。罚?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度及對(duì)稱(chēng)性 （1）位移：方向?yàn)閺钠胶馕恢弥赶蛘褡游恢?，大小為平衡位置到該位置的距離。 位移的表示方法：以平衡位

6、置為原點(diǎn)，以振動(dòng)所在的直線為坐標(biāo)軸，規(guī)定正方向，則某一時(shí)刻振子（偏離平衡位置）的位移用該時(shí)刻振子所在位置的坐標(biāo)來(lái)表示。振子通過(guò)平衡位置時(shí)，位移改變方向。 （2）速度：描述振子在振動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)某一位置或在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢。在所建立的坐標(biāo)軸上，速度的正負(fù)號(hào)表示振子運(yùn)動(dòng)方向與坐標(biāo)軸的正方向相同或相反。 振子在最大位移處速度為零，在平衡位置時(shí)速度最大，振子在最大位移處速度方向發(fā)生改變。 （3）加速度：根據(jù)牛頓第二定律，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的加速度．由此可知，加速度的大小跟位移大小成正比，其方向與位移方向總是相反。 　振子在位移最大處加速度最大，通過(guò)平衡位置時(shí)加速度為零，

7、此時(shí)加速度改變方向。 （4）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性 ①瞬時(shí)量的對(duì)稱(chēng)性：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，在關(guān)于平衡位置對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，回復(fù)力、位移、加速度具有等大反向的關(guān)系。另外速度、動(dòng)量的大小具有對(duì)稱(chēng)性，方向可能相同或相反。 ②過(guò)程量的對(duì)稱(chēng)性：振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)來(lái)回通過(guò)相同的兩點(diǎn)間的時(shí)間相等，如；質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)關(guān)于平衡位置對(duì)稱(chēng)的等長(zhǎng)的兩線段時(shí)時(shí)間相等，如，如圖所示： 　　要點(diǎn)詮釋?zhuān)? ①利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，可以解決物體的受力問(wèn)題，如放在豎直彈簧上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，若已知物體在最高點(diǎn)的合力或加速度，可求物體在最低點(diǎn)的合力或加速度。但要注意最高點(diǎn)和最低點(diǎn)合力或加速度的方向相反。 ②

8、由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有周期性，因此涉及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往出現(xiàn)多解，分析時(shí)應(yīng)特別注意：物體在某一位置時(shí)，位移是確定的，而速度不確定；時(shí)間也存在周期性關(guān)系。 要點(diǎn)二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象 　　1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象 以橫軸表示時(shí)間，以縱軸表示位移，建立坐標(biāo)系，畫(huà)出的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖象都是正弦或余弦曲線。 　　2．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象 （1）從平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為，圖象如圖。 （2）從最大位移處開(kāi)始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式，圖象如圖。 　　3．振動(dòng)圖象的物理意義 表示振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。 　　4．從圖象中可以知道

9、 （1）任一個(gè)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移 （2）振幅 （3）周期 （4）速度方向：由圖線隨時(shí)間的延伸就可以直接看出 （5）加速度：加速度與位移的大小成正比，而方向總與位移方向相反。只要從振動(dòng)圖象中認(rèn)清位移（大小和方向）隨時(shí)間變化的規(guī)律，加速度隨時(shí)間變化的情況就迎刃而解了。 5．關(guān)于振動(dòng)圖象的討論 （1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象不是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡。做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡是質(zhì)點(diǎn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的那一段線段（如彈簧振子）或那一段圓?。ㄈ鐔螖[）。這種往復(fù)運(yùn)動(dòng)的位移圖象，就是以x軸上縱坐標(biāo)的數(shù)值表示質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移，以t軸橫坐標(biāo)數(shù)值表示各個(gè)時(shí)刻，這樣在x—t坐標(biāo)系內(nèi)，可

10、以找到各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)位移坐標(biāo)的點(diǎn)，即位移隨時(shí)間分布的情況——振動(dòng)圖象。 （2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性體現(xiàn)在振動(dòng)圖象上是曲線的重復(fù)性。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種復(fù)雜的非勻變速運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)具有簡(jiǎn)單的周期性、重復(fù)性、對(duì)稱(chēng)性。所以用圖象研究要比用方程要直觀、簡(jiǎn)便。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象隨時(shí)間的增加將逐漸延伸，過(guò)去時(shí)刻的圖形將永遠(yuǎn)不變，任一時(shí)刻圖線上過(guò)該點(diǎn)切線的斜率數(shù)值代表該時(shí)刻振子的速度大小，正負(fù)表示速度的方向，斜率為正時(shí)表示速度沿正向，斜率為負(fù)時(shí)表示速度沿負(fù)向。 6．根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)情況的基本方法 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象能夠反映簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象跟具體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程聯(lián)系起

11、來(lái)是討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一種方法。 （1）從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象上可以直接讀出不同時(shí)刻的位移值，從而知道位移隨時(shí)間的變化情況。 （2）在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象中，用作曲線上某點(diǎn)切線的方法可確定各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度大小和方向。切線與x軸正方向夾角小于時(shí)，速度方向與選定的正方向相同，且?jiàn)A角越大表明此時(shí)速度越大；當(dāng)切線與x軸正方向的夾角大于時(shí)，速度方向與選定的正方向相反，且?jiàn)A角越大表明此時(shí)速度越小。也可以根據(jù)位移情況來(lái)判斷速度的大小，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)離平衡位置越近，質(zhì)點(diǎn)速度越大，而最大位移處，質(zhì)點(diǎn)速度為零。根據(jù)位移變化趨勢(shì)判定速度方向，若正位移增大，速度為正方向，若正位移減小，速度為負(fù)方向；反之，若負(fù)位移增大，速度

12、為負(fù)方向，若負(fù)位移減小，速度為正方向。 （3）由于，故可以根據(jù)圖象上各個(gè)時(shí)刻的位移變化情況確定質(zhì)點(diǎn)加速度的變化情況。同樣只要知道了位移和速度的變化情況，也就不難判斷出質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能的變化情況。 要點(diǎn)三、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 1．彈簧振子 （1）周期，與振幅無(wú)關(guān)，只由振子質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)決定。 （2）可以證明，豎直放置的彈簧振子的振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期公式也是。這個(gè)結(jié)論可以直接使用。 在水平方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。 2．單擺 （1）在一

13、條不可伸長(zhǎng)的、質(zhì)量可以忽略的細(xì)線下拴一質(zhì)點(diǎn)，上端固定，構(gòu)成的裝置叫單擺；當(dāng)單擺的最大偏角小于時(shí)，單擺的振動(dòng)近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 （2）單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回復(fù)力越大，加速度()越大，由于擺球的軌跡是圓弧，所以除最高點(diǎn)外，擺球的回復(fù)力并不等于合外力。 （3）單擺的周期：。在小振幅擺動(dòng)時(shí)，單擺的振動(dòng)周期跟振幅和振子的質(zhì)量都沒(méi)有關(guān)系。 3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩種模型的比較 　 彈簧振子 單擺 模型示意 特點(diǎn) （1）忽略摩擦力，彈簧對(duì)小球的彈力提供回復(fù)力 （2）彈簧的質(zhì)量可忽略 （1）細(xì)線的質(zhì)量，球的直徑均可忽略

14、（2）擺角很小 公式 回復(fù)力 （1）回復(fù)力 （2）周期 4．類(lèi)單擺的等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度 在有些振動(dòng)系統(tǒng)中不一定是繩長(zhǎng)，也不一定為，因此出現(xiàn)了等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度的問(wèn)題。 （1）等效擺長(zhǎng)：如圖所示，三根等長(zhǎng)的繩共同系住一密度均勻的小球，球直徑為。與天花板的夾角。若擺球在紙面內(nèi)做小角度的左右擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在處，故等效擺 長(zhǎng)，周期；若擺球做垂直紙面的小角度擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在處，故等效擺長(zhǎng)為，周期 ． （2）等效重力加速度：公式中的由單擺所在的空間位置決定。 由知，隨地球表

15、面不同位置、不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值代入公式，即不一定等于． 還由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定。如單擺處在向上加速發(fā)射的航天飛機(jī)內(nèi)，設(shè)加速度為，此時(shí)擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧切線方向的回復(fù)力變大，擺球質(zhì)量不變，則重力加速度的等效值．再如，單擺若在軌道上運(yùn)行的航天飛機(jī)內(nèi)，擺球完全失重，回復(fù)力為零，則等效值，所以周期為無(wú)窮大，即單擺不擺動(dòng)了。 還由單擺所處的物理環(huán)境決定。如帶電小球做成的單擺在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，回復(fù)力應(yīng)是重力和豎直電場(chǎng)力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有等效值的問(wèn)題。 在均勻場(chǎng)中值等于擺球靜止在平衡位置時(shí)擺線的張力與

16、擺球質(zhì)量的比值，由此找到等效重力加速度代入公式即可求得周期。若，變短；，變長(zhǎng)。 【典型例題】 類(lèi)型一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用 例1．如圖所示，質(zhì)量為的物體放在彈簧上，與彈簧一起在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)振幅為時(shí)，物體對(duì)彈簧的最大壓力是物重的倍． （1）物體對(duì)彈簧的最小壓力是多少？ （2）要使物體在振動(dòng)中不離開(kāi)彈簧，振幅不能超過(guò)多大？ 【思路點(diǎn)撥】對(duì)豎直方向的彈簧振子分析時(shí)要注意四個(gè)位置特點(diǎn)，平衡位置與彈簧原長(zhǎng)處不同，平衡位置，速度最大，彈簧原長(zhǎng)處，彈力為零，加速度為，速度不是最大．最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，速度均為零，加速度等大、反向，相對(duì)于平衡位置對(duì)稱(chēng)

17、，而不是相對(duì)于原長(zhǎng)處對(duì)稱(chēng)． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在最低點(diǎn)時(shí)物體對(duì)彈簧的壓力最大，在最高點(diǎn)時(shí)物體對(duì)彈簧的壓力最?。矬w在最高點(diǎn)的加速度與在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小相等，回復(fù)力的大小相等． 物體在最低點(diǎn)時(shí)： ， ① 物體在最高點(diǎn)時(shí)： ． ② 由①②兩式聯(lián)立解得 ． （2）當(dāng)振幅為A時(shí) ， 即 ． ③ 欲使物體在振動(dòng)中不離開(kāi)彈簧，則最大回復(fù)力可為 ， 即 ④ 由③④得： ． 即要使物體在振動(dòng)中不離開(kāi)彈簧，振幅不能超過(guò)． 【總結(jié)升華】對(duì)

18、豎直方向的彈簧振子分析時(shí)要注意四個(gè)位置特點(diǎn)，平衡位置與彈簧原長(zhǎng)處不同，平衡位置，速度最大，彈簧原長(zhǎng)處，彈力為零，加速度為，速度不是最大．最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，速度均為零，加速度等大、反向，相對(duì)于平衡位置對(duì)稱(chēng)，而不是相對(duì)于原長(zhǎng)處對(duì)稱(chēng)． 舉一反三: 【高清課堂：機(jī)械振動(dòng) 復(fù)習(xí)與鞏固 例1】 【變式1】關(guān)于回復(fù)力的說(shuō)法，正確的是（ ） A．回復(fù)力是指物體受到的指向平衡位置的力； B．回復(fù)力是指物體受的合外力； C．回復(fù)力是從力的作用效果來(lái)命名的，可以是彈力，也可以是重力或摩擦的合力； D．回復(fù)力實(shí)質(zhì)上就是向心力． 【答案】AC 【變

19、式2】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置點(diǎn)附近做機(jī)械振動(dòng)。若從點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)點(diǎn)（如圖所示）；再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過(guò)它第二次經(jīng)過(guò)點(diǎn)；則該質(zhì)點(diǎn)第三次經(jīng)過(guò)點(diǎn)還需的時(shí)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知，質(zhì)點(diǎn)由，；，；，；所用時(shí)間分別對(duì)應(yīng)相等。又因?yàn)殚_(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)方向不明確，故應(yīng)分為兩種情況討論。 （1）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始從點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得， ， ， 而 ， 所以有 ， 故質(zhì)點(diǎn)第三次達(dá)點(diǎn)還需要時(shí)間為 ． （2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，

20、 ，2=2s， 而 ， 所以有 ， ， 故質(zhì)點(diǎn)第三次達(dá)點(diǎn)還需要時(shí)間為 ． 類(lèi)型二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)與運(yùn)動(dòng)合成的綜合 例2．如圖所示，在水平地面上有一段光滑圓弧形槽，弧的半徑是，所對(duì)圓心角小于，現(xiàn)在圓弧的右側(cè)邊緣處放一個(gè)小球，使其由靜止下滑，則： （1）球由至的過(guò)程中所需時(shí)間為多少？在此過(guò)程中能量如何轉(zhuǎn)化？（定性說(shuō)明） （2）若在圓弧上存在兩點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且已測(cè)得球由直達(dá)所需時(shí)間為，則球由至的最短時(shí)間為多少？ （3）若在圓弧的最低點(diǎn)的正上方處由靜止釋放小球，讓其自由下落，同時(shí)球從圓弧右側(cè)由靜止釋放，欲使兩球在圓弧最低點(diǎn)處相遇，則球下落的

21、高度是多少？ 　　【答案】（1）．在由的過(guò)程中球的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。 （2）　?。?） 【解析】（1）由單擺周期公式 知：球的運(yùn)動(dòng)周期 ， 所以 在由的過(guò)程中球的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。 （2）由對(duì)稱(chēng)性可知 ,． 代入數(shù)據(jù)解得至的最短時(shí)間 （3）欲使相遇，則兩球運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，且必須同時(shí)到達(dá)點(diǎn)， 球能到點(diǎn)的時(shí)間可以是，也可以是。故由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性可知兩球相遇所經(jīng)歷的時(shí)間可以是 或 所以球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間必為的奇數(shù)倍，即 所以 。 　　【總結(jié)

22、升華】要抓住圓弧光滑且圓心角小于這個(gè)條件，隱含條件是小球的運(yùn)動(dòng)可等效為單擺，即球在圓弧上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。從而利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱(chēng)性以及機(jī)械能守恒定律解決問(wèn)題。 　　本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤一是不會(huì)利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性；二是不注意周期性帶來(lái)多解問(wèn)題，誤認(rèn)為從到時(shí)間僅為。 【變式】在一加速系統(tǒng)中有一擺長(zhǎng)為的單擺。 （1）當(dāng)加速系統(tǒng)以加速度豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺的周期多大？若豎直向下加速呢？ （2）當(dāng)加速系統(tǒng)在水平方向以加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺的周期多大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 ?。?）當(dāng)單擺隨加速系統(tǒng)向上加速時(shí)，設(shè)在平衡位置相

23、對(duì)靜止的擺球的視重力為，如圖甲所示： 則 ， 故 ， 由 得，視重力加速度 ， 所以單擺周期 同理，當(dāng)升降機(jī)豎直向下加速時(shí)，視重力 ， 則 ， 故 ?。?）當(dāng)在水平方向加速時(shí)，相對(duì)系統(tǒng)靜止時(shí)擺球的位置如圖乙所示： 　　 視重力 ， 故視重力加速度 ， 所以周期 ． 類(lèi)型三、彈簧振子模型 例3．將一勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端系上質(zhì)量為的物塊．將物塊向下拉離平衡位置后松開(kāi)，物塊上下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)周期恰好等于以物塊平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為擺長(zhǎng)的單擺周期．請(qǐng)由單擺的周期

24、公式推算出該物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期． 【思路點(diǎn)撥】認(rèn)真審題，利用相關(guān)公式進(jìn)行替換。 【答案】 【解析】 單擺周期公式 ， 且 解得 ． 【高清課堂：機(jī)械振動(dòng) 復(fù)習(xí)與鞏固 例2】 【變式1】如圖所示為一彈簧振子，設(shè)向右為正方向，振子的運(yùn)動(dòng)（ ） A．時(shí)，位移是正值，速度是正值； B．時(shí)，位移是正值，速度是正值； C．時(shí)，位移是負(fù)值，速度是負(fù)值； D．時(shí)，位移是負(fù)值，速度是負(fù)值． 【答案】B 【解析】由振子運(yùn)動(dòng)知由時(shí)為正，在點(diǎn)右側(cè)的位移為正，故B正確。 【高清課堂：機(jī)械振動(dòng) 復(fù)習(xí)與鞏固

25、例3】 【變式2】一彈簧振子做等幅振動(dòng)時(shí)，振子運(yùn)動(dòng)的加速度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示．則（ ） A．從到振子的速率逐漸增大； B．從到振子的勢(shì)能逐漸減少； C．從到振子的位移由至正向增大； D．從到振子的機(jī)械能逐漸減少． 【答案】B 【高清課堂：機(jī)械振動(dòng) 復(fù)習(xí)與鞏固 例7】 【變式3】做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，回復(fù)力和位移的關(guān)系圖是下圖所給四個(gè)圖像中的（ ） 【答案】D 【解析】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)為． 例4．如圖所示，

26、一升降機(jī)在箱底有若干個(gè)彈簧，設(shè)在某次事故中，升降機(jī)吊索在空中斷裂，忽略摩擦力，則升降機(jī)在從彈簧下端觸地直到被壓到最低點(diǎn)的一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（ ）． A．升降機(jī)的速度不斷減小 B．升降機(jī)的加速度不斷變大 C．先是彈力做的負(fù)功小于重力做的正功，然后是彈力做的負(fù)功大于重力做正功 D．到最低點(diǎn)時(shí)，升降機(jī)加速度的值一定大于重力加速度的值 【答案】C、D 【解析】本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)豎直彈簧振子的物理模型問(wèn)題．當(dāng)升降機(jī)吊索斷裂后升降機(jī)先做自由落體運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)撞繌椈蓜傆|地時(shí)，由于重力大于彈力，所以升降機(jī)仍做向下的加速運(yùn)動(dòng)，隨著彈簧壓縮形

27、變?cè)酱蟆Ｏ蛏系膹椓σ搽S之增大，所以向下的合力及加速度不斷變小，直至?xí)r，，速度達(dá)到最大值，這段運(yùn)動(dòng)是速度增大、加速度減小的運(yùn)動(dòng)．根據(jù)動(dòng)能定理，即，所以，重力做的正功大于彈力做的負(fù)功．當(dāng)電梯從的平衡位置繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于彈力大于重力，所以加速度方向向上，且不斷變大，而速度不斷變小直至為。這段過(guò)程中，，所以，重力做的正功小于彈力做的負(fù)功．由此可知選項(xiàng)A、B錯(cuò)，而C正確． 把升降機(jī)視為一個(gè)豎直方向的彈簧振子，如圖所示．彈簧剛觸地時(shí)升降機(jī)的位置在處，升降機(jī)向下運(yùn)動(dòng)到的最低點(diǎn)位置為處，速度最大時(shí)的位置為平衡位置處．在點(diǎn)時(shí)有向下的速度，則彈簧振子所到點(diǎn)為最大位移處到平衡位置中

28、的一點(diǎn)，即并非最大位移點(diǎn)．而點(diǎn)速度為零。應(yīng)是振子平衡位置下方的最大位移點(diǎn)，故．既然位置的加速度方向向下，那么最大位移處的最大加速度，方向向上．選項(xiàng)D正確． 【總結(jié)升華】本題聯(lián)想到豎直方向的彈簧振子模型，并能運(yùn)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，注意到處與最低點(diǎn)的不對(duì)稱(chēng)，才能比較出，可以巧妙地化解難點(diǎn)． 類(lèi)型四、彈簧振子的振動(dòng)與牛頓第二定律的結(jié)合 例5．（2015 湖北期末）如圖所示，兩木塊和疊放在光滑水平面上，質(zhì)量分別為m和M，與之間的最大靜摩擦力為f，B與勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接構(gòu)成彈簧振子，為使A和B在振動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則（ ）． A．它們的

29、振幅不能大于 B．它們的振幅不能大于 C．它們的加速度不能大于 D．它們的加速度不能大于 【思路點(diǎn)撥】分別對(duì)、整體運(yùn)用牛頓第二定律。 【答案】B、D 【解析】當(dāng)A和B在振動(dòng)過(guò)程中恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，AB間靜摩擦力達(dá)到最大． 對(duì)，由牛頓第二定律 ， 解得 對(duì)整體，由牛頓第二定律 聯(lián)立兩式，得， 故BD正確． 舉一反三: 【高清課堂：機(jī)械振動(dòng) 復(fù)習(xí)與鞏固 例6】 【變式】?jī)赡緣K質(zhì)量分別為，用勁度系數(shù)為的輕彈簧連在一起，放在水平地面上，將木塊壓下一段距離后釋放，它就上下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在振動(dòng)過(guò)程中木塊剛好始終不離

30、開(kāi)地面（即它對(duì)地面最小壓力為零）。 　　　　 求木塊的最大加速度，木塊對(duì)地面的最大壓力。 【答案】 【解析】剛好未離開(kāi)地面時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為， 對(duì)于: 對(duì)于此時(shí)，有最大加速度設(shè)為，且應(yīng)在最高點(diǎn)，那么 可得：． 木塊對(duì)地面有最大壓力時(shí)，應(yīng)在最低點(diǎn)，此時(shí)壓縮量為， 對(duì)于： ， 得 ， 對(duì)于，最大壓力： ． 類(lèi)型五、單擺與天體運(yùn)動(dòng)的綜合 例6．一個(gè)在地球上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，其振動(dòng)圖像如圖甲所示，則此單擺的擺長(zhǎng)約為_(kāi)_______．今將此單擺移至某一行星上，其簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像如圖乙所示．若已知該行星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的倍，則該行星表面的重力加速度為地

31、球表面重力加速度的________倍；該行星的半徑與地球半徑之比為_(kāi)_______。 【答案】 【解析】由圖甲知其在地球表面上振動(dòng)周期 ， 而 ， 有 ， 近似計(jì)算時(shí)可取 ， 取，可解得 ． 由圖乙知其在某行星上振動(dòng)周期 ， 而 ， 則 ． 由 ， ， 可得 。 【總結(jié)升華】單擺周期與重力加速度有關(guān)，因此很容易與萬(wàn)有引力定律結(jié)合． 類(lèi)型六、復(fù)合場(chǎng)中的單擺 例7．（2015 武漢校級(jí)期中）如圖所示，帶電金屬小球用絕緣絲線系住，絲線上端固定，形成一個(gè)單擺。如果在擺球經(jīng)過(guò)的區(qū)域加

32、上如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，不計(jì)摩擦及空氣阻力，下列說(shuō)法中正確的是 A．單擺周期不變 B．單擺周期變大 C．單擺的振幅逐漸減小 D．?dāng)[球在最大位移處所受絲線的拉力大小不變 【思路點(diǎn)撥】單擺處在磁場(chǎng)中時(shí)，由于洛倫茲力始終和速度方向垂直，所以合力的切向分量不變，故等效重力加速度為g，周期不變；由于洛倫茲力不做功，故振幅不變；整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)達(dá)到最大位移時(shí)，只受重力和拉力，所以拉力不變。 【答案】AD 【解析】不加磁場(chǎng)時(shí)，單擺的周期為 ，當(dāng)加上磁場(chǎng)時(shí)，合力的切向分量不變，故等效重力加速度為a=g；根據(jù)單擺周期公式故A正確，B錯(cuò)誤； 在整個(gè)擺動(dòng)過(guò)程中，洛倫茲力不做功，由動(dòng)能定理可知，單

33、擺的振幅不變，故C錯(cuò)誤； 由于在整個(gè)過(guò)程中洛倫茲力不做功，當(dāng)達(dá)到最大位移時(shí)，只受重力和繩子的拉力，故拉力不變，故D正確。 類(lèi)型七、測(cè)質(zhì)量的新方法 例8．某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)量物體質(zhì)量的裝置，如圖所示，其中是光滑水平面，是輕質(zhì)彈簧，是質(zhì)量為、帶夾子的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量金屬塊，是待測(cè)質(zhì)量的物體，已知該裝置的彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為，其中，是振子的質(zhì)量，是與彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)的常數(shù)，當(dāng)只有物體時(shí)，測(cè)得其振動(dòng)周期為，將待測(cè)物體固定在上面后，振動(dòng)周期為，則待測(cè)物體的質(zhì)量為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】依題意可知，只有標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量金屬塊時(shí)， ．

34、 ① 當(dāng)振子為與的整體時(shí)（設(shè)的質(zhì)量為）有 ． ② 用①比②得， ， 整理得 。 【總結(jié)升華】（1）這種測(cè)量質(zhì)量的方法比較新穎，通過(guò)測(cè)量周期直接求出質(zhì)量．當(dāng)振子質(zhì)量改變時(shí)，由周期公式知振動(dòng)的周期也發(fā)生相應(yīng)變化． （2）這種測(cè)量質(zhì)量的方法可以在失重狀態(tài)下進(jìn)行。而天平在失重狀態(tài)下無(wú)法使用． 類(lèi)型八、共振 例9．如圖為一單擺的共振曲線，根據(jù)圖象解答： （1）該單擺的擺長(zhǎng)約為多少？ （2）共振時(shí)單擺的振幅多大？ 【思路點(diǎn)撥】由共振曲線結(jié)合頻率公式。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）該題考查共振曲線．從共

35、振曲線可知，單擺的固有頻率 ， 因?yàn)? ， 所以 ， 代入數(shù)據(jù)解得 ． （2）從共振曲線可知：?jiǎn)螖[發(fā)生共振時(shí)，振幅 ． 舉一反三: 【變式】實(shí)驗(yàn)室可以做“聲波碎杯”的實(shí)驗(yàn)。用手指輕彈一只酒杯，可以聽(tīng)到清脆的聲音，測(cè)得這聲音的頻率為。將這只酒杯放在兩只大功率的聲波發(fā)生器之間，操作人員通過(guò)調(diào)整其發(fā)出的聲波，就能使酒杯碎掉。下列說(shuō)法中正確的是（ ） A．操作人員一定是把聲波發(fā)生器的功率調(diào)到很大 B．操作人員可能是使聲波發(fā)生器發(fā)出了頻率很高的超聲波 C．操作人員一定是同時(shí)增大了聲波發(fā)生器發(fā)出聲波的頻率和功率 D．操作人員一定要將聲波發(fā)生器發(fā)出的聲波頻率調(diào)到 【答案】D 【解析】通過(guò)調(diào)整發(fā)生器發(fā)出的聲波就能使酒杯碎掉，是利用共振的原理，因此操作人員一定要將聲波發(fā)生器發(fā)出的聲波頻率調(diào)到，故D選項(xiàng)正確。