高等數(shù)學：1-2 數(shù)列的極限

1二二 、收斂數(shù)列的性質(zhì)、收斂數(shù)列的性質(zhì) 三三 、極限存在準則、極限存在準則 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限 第一章第一章 2數(shù)學語言描述數(shù)學語言描述:r一一 、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義引例引例. 設(shè)有半徑為設(shè)有半徑為 r 的圓的圓 ,nA逼近圓面積逼近圓面積 S . n如圖所示如圖所示 , 可知可知 nAnnnr cossin2),5,4,3( n當當 n 無限增大時無限增大時, nA無限逼近無限逼近 S (劉徽割圓術(shù)劉徽割圓術(shù)) , ,0 ,N正整數(shù)正整數(shù) 當當 n N 時時, SAn用其內(nèi)接正用其內(nèi)接正 n 邊形的面積邊形的面積總有總有 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 3定義定義: 自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列,記作記作)(nfxn 或或 .nxnx稱為稱為通項通項(一般項一般項) .若數(shù)列若數(shù)列 nx及常數(shù)及常數(shù) a 有下列關(guān)系有下列關(guān)系 :,0 ,N正數(shù)正數(shù) 當當 n N 時時, 總有總有記作記作此時也稱數(shù)列此時也稱數(shù)列收斂收斂 , 否則稱數(shù)列否則稱數(shù)列發(fā)散發(fā)散 .幾何解釋幾何解釋 :a a a)( axan)(Nn 即即),( axn )(Nn axnn lim或或)( naxn1 Nx2 Nx axn則稱該數(shù)列則稱該數(shù)列 nx的極限為的極限為 a , 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 4例如例如,1,43,32,21 nn1 nnxn)(1 n,)1(,43,34,21,21nnn nnxnn1)1( )(1 n,2,8,4,2nnnx2 )( n,)1( ,1,1,11 n1)1( nnx趨勢不定趨勢不定收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 5例例1. 已知已知,)1(nnxnn 證明數(shù)列證明數(shù)列 nx的極限為的極限為1. 證證: 1nx1)1( nnnn1 ,0 欲使欲使,1 nx即即,1 n只要只要 1 n因此因此 , 取取, 1 N則當則當Nn 時時, 就有就有 1)1(nnn故故1)1(limlim nnxnnnn 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 6例例2. 已知已知,)1()1(2 nxnn證明證明.0lim nnx證證: 0nx0)1()1(2 nn2)1(1 n11 n, )1 ,0( 欲使欲使,0 nx只要只要,11 n即即 n取取, 11 N則當則當Nn 時時, 就有就有,0 nx故故0)1()1(limlim2 nxnnnn,0111nnnx故也故也可取可取1N也可由也可由2)1(10 nnx.11 N 與與 有關(guān)有關(guān), 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .說明說明: 取取 11 N 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 7例例3. 設(shè)設(shè),1 q證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列,112 nqqq證證:0 nx01 nq, )1 ,0( 欲使欲使,0 nx只要只要,1 nq即即,lnln)1( qn亦即亦即因此因此 , 取取 qNlnln1 , 則當則當 n N 時時, 就有就有 01nq故故0lim1 nnq.lnln1qn 的極限為的極限為 0 . 1 nq823baab22abnabax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證證: 用反證法用反證法.axnn lim及及,limbxnn 且且. ba 取取,2ab 因因,limaxnn 故故存在存在 N1 , ,2abnax 從而從而2banx 同理同理, 因因,limbxnn 故故存在存在 N2 , 使當使當 n N2 時時, 有有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當使當 n N1 時時, 2ba 2ab 2ab 假設(shè)假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx 從而從而2banx 矛盾矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當則當 n N 時時, ,max21NNN 取取故假設(shè)不真故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式滿足的不等式 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 9例例4. 證明數(shù)列證明數(shù)列),2,1()1(1 nxnn是是發(fā)散的發(fā)散的. 證證: 用反證法用反證法.假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列 nx收斂收斂 , 則有則有唯一極限唯一極限 a 存在存在 .取取,21 則則存在存在 N ,2121 axan但因但因nx交替取值交替取值 1 與與1 , ),(2121 aa內(nèi)內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在而此二數(shù)不可能同時落在長度為長度為 1 的開區(qū)間的開區(qū)間 使當使當 n N 時時 , 有有因此該數(shù)列發(fā)散因此該數(shù)列發(fā)散 . 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 21 a21 aa102. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設(shè)設(shè),limaxnn 取取,1 ,N 則則當當Nn 時時, 從而有從而有nxaaxn a 1取取 ,max21NxxxM a 1則有則有. ),2,1( nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界由此證明收斂數(shù)列必有界.說明說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立此性質(zhì)反過來不一定成立 . 例如例如, 1)1( n雖雖有界但不收斂有界但不收斂 .aaxn )(,1 axn有有數(shù)列數(shù)列 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 113. 收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性.若若,limaxnn 且且0 a,N N則則Nn 當當時時, 有有0 nx, )0( . )0( 證證: 對對 a 0 , 取取,2a ,N N則則,時時當當Nn axn2a nx02 aaax2a2a推論推論: 若若數(shù)列從某項起數(shù)列從某項起0 nx,limaxnn 且且0 a則則)0( . )0( (用反證法證明用反證法證明) 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 12*, axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .證證: 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列knx是是數(shù)列數(shù)列nx的的任一子數(shù)列任一子數(shù)列 .若若,limaxnn 則則,0 ,N 當當 Nn 時時, 有有 axn現(xiàn)取現(xiàn)取正整數(shù)正整數(shù) K , 使使,NnK 于是當于是當Kk 時時, 有有 knKnN 從而有從而有由此證明由此證明 .limaxknk *NKnNxKnx 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 13三、極限存在準則三、極限存在準則由此性質(zhì)可知由此性質(zhì)可知 , 若若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限限 ,例如，例如， ),2,1()1(1 nxnn;1lim12 kkx1lim2 kkx發(fā)散發(fā)散 !夾逼準則夾逼準則; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則; 柯西審斂準則柯西審斂準則 .則原數(shù)列一定發(fā)散則原數(shù)列一定發(fā)散 .說明說明: 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 14azynnnn limlim)2(1. 夾逼準則夾逼準則 (準則準則1) (P49),2,1()1( nzxynnnaxnn lim證證: 由由條件條件 (2) ,0 ,1N 當當1Nn 時時, ayn當當2Nn 時時,azn令令 ,max21NNN 則當則當Nn 時時, 有有, ayan, azan由由條件條件 (1)nnnzxy a a即即, axn故故 .limaxnn ,2N 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 15例例5. 證明證明11211lim222 nnnnnn證證: 利用夾逼準則利用夾逼準則 . nnnnn2221211 nnn22 22nn且且 nnnn 22limnn 11lim1 22limnnn211limnn 1 nn lim nnnn22212111 由由 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 162. 單調(diào)單調(diào)有界數(shù)列必有極限有界數(shù)列必有極限 ( 準則準則2 ) ( P52 ) Mxxxxnn 121mxxxxnn 121)(limMaxnn )(limmbxnn nx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略證明略 )ab 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 17例例6. 設(shè)設(shè), ),2,1()1(1 nxnnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx極限存在極限存在 . (P52P54)證證: 利用二項式公式利用二項式公式 , 有有nnnx)1(1 1nn 1!121!2)1(nnn 31!3)2)(1(nnnn nnnnnnn1!)1()1( 11) 1(1!1nn ) 1(2n ) 1(1nn )1(1!21n )1(1!31n )1(2n 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 18 11nx) 1(1!1nn ) 1(2n ) 1(1nn )1(1!21n )1(1!31n )1(2n 111nx)1(11!21 n)1)(1(1211!31 nn)1()1)(1(11211! )1(1 nnnnn大大 大大 正正),2,1(1 nxxnn 11)1(1nnnx!21!31 !1n 又又比較可知比較可知 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 19根據(jù)準則根據(jù)準則 2 可知數(shù)列可知數(shù)列 nx記此極限為記此極限為 e ,ennn )1(lim1 e 為無理數(shù)為無理數(shù) , 其值為其值為590457182818284. 2 e即即有有極限極限 . 11)1(1nnnx!21!31 !1n 1121221 121 n又又3 2121111 n1213 n 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 20*3. 柯西極限存在準則柯西極限存在準則(柯西審斂原理柯西審斂原理) (P55)數(shù)列數(shù)列 nx極限存在的充要條件是極限存在的充要條件是:,0 存在正整數(shù)存在正整數(shù) N ,使當使當NnNm ,時時, mnxx證證: “必要性必要性”.設(shè)設(shè)!1n 則則,0 NnNm ,時時, 有有 使當使當,2 axn2 axm因此因此 mnxx)()(axaxmn axnaxm “充分性充分性” 證明從略證明從略 .,N 有有 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 21內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)定義及應(yīng)用用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保號性保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 極限存在準則極限存在準則:夾逼準則夾逼準則 ; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 ; 柯西準則柯西準則 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 22思考與練習思考與練習1. 如何判斷極限不存在如何判斷極限不存在?方法方法1. 找一個趨于找一個趨于的子數(shù)列的子數(shù)列;方法方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知已知),2,1(21,111 nxxxnn, 求求nnx lim時時, 下述作法是否正確下述作法是否正確? 說明理由說明理由.設(shè)設(shè),limaxnn 由由遞推式兩邊取極限得遞推式兩邊取極限得aa21 1 a不對不對!此處此處 nnxlim 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 23作業(yè)作業(yè)P30 3 (2) , (3) , 4 , 6P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示提示: :222 nx12 nx可用數(shù)學歸納法證可用數(shù)學歸納法證 2 nx 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 24故極限存在，故極限存在，備用題備用題 1 1. .設(shè)設(shè) )(211nnnxaxx ),2,1( n,0 a,01 x, 且且求求.limnnx 解：解：設(shè)設(shè)Axnn lim則由遞推則由遞推公式有公式有)(21AaAA aA )(211nnnxaxx nxnxa a nnxx1 )1(212nxa )1(21aa 1 數(shù)列單調(diào)遞減有下界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01 x故故axnn lim利用極限存在準則利用極限存在準則,0 nx 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 25 2. 設(shè)設(shè), ),2,1(0 iai證證: 顯然顯然,1 nnxx證明下述數(shù)列有極限證明下述數(shù)列有極限 .)1()1)(1()1)(1(12121211nnaaaaaaaaanx ),2,1( n即即 nx單調(diào)增單調(diào)增, 又又 nkkknaaax11)1()1( 1111a 1(1) nkkaa211)1()1(1 )1()1(11kaa)1()1(111naa 1nnx lim存在存在“拆項相拆項相消消” 法法 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 26劉徽劉徽(約約225 295年年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家. 他撰寫的他撰寫的重重 差差對對九章算術(shù)九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評中的方法和公式作了全面的評 注注, 指出并糾正了其中的錯誤指出并糾正了其中的錯誤 , 在數(shù)學方法和數(shù)學在數(shù)學方法和數(shù)學 理論上作出了杰出的貢獻理論上作出了杰出的貢獻 .他的他的 “ 割圓術(shù)割圓術(shù) ” 求圓周率求圓周率 “ 割之彌細割之彌細 , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精確用近似逼近精確”的重要的重要極限思想極限思想 . 的方法的方法 : 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié) 27柯西柯西(1789 1857)法國數(shù)學家法國數(shù)學家, 他對他對數(shù)學的貢獻主要集中數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學在微積分學,柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學其中最重要的的是為巴黎綜合學 校編寫的校編寫的分析教程分析教程, 無窮小分析概論無窮小分析概論, 微積微積分在幾何上的應(yīng)用分在幾何上的應(yīng)用 等等, 有有思想有創(chuàng)建思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠響廣泛而深遠 .對對數(shù)學的影數(shù)學的影他是他是經(jīng)典分析的奠人之一經(jīng)典分析的奠人之一, 他為微積分他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文一生發(fā)表論文800余篇余篇, 著書著書 7 本本 , 第一章第二節(jié)第一章第二節(jié)