初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第6講 轉(zhuǎn)化—可化為一元二次方程的方程

第六講 轉(zhuǎn)化可化為一元二次方程的方程 數(shù)學(xué)(家)特有的思維方式是什么?若從量的方面考慮，通常運用符號進行形式化抽象，在一個概念和公理體系內(nèi)實施推理計算，若從“轉(zhuǎn)化”這個側(cè)面又該如何回答?匈牙利女?dāng)?shù)學(xué)家路莎·彼得在無窮的玩藝一書中寫道：“作為數(shù)學(xué)家的思維來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題”轉(zhuǎn)化與化歸是解分式方程和高次方程(次數(shù)高于二次的整式方程)的基本思想解分式方程，通過去分母和換元；解高次方程，利用因式分解和換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程或一元一次方程去求解【例題求解】【例1】 若，則的值為 思路點撥 視為整體，令，用換元法求出即可【例2】 若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是( ) A B C D 思路點撥 通過平方有理化，將無理方程根的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實根個數(shù)的討論，但需注意注的隱含制約注：轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解數(shù)學(xué)題中，我們常常用到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化：實際問題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學(xué)問題，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，一般與特殊的轉(zhuǎn)化等 解下列方程： （1）； (2)； （3） 按照常規(guī)思路求解繁難，應(yīng)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，對于(1)，利用倒數(shù)關(guān)系換元；對于(2)，從受到啟示；對于(3)，設(shè)，則可導(dǎo)出、的結(jié)果注：換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的，換元不拘泥于一元代換，可根據(jù)問題的特點，進行多元代換【例4】 若關(guān)于的方程只有一個解(相等的解也算作一個)，試求的值與方程的解 思路點撥 先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出的值注：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個解，可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運用判別式、增根等知識全面分析【例5】 已知關(guān)于的方程有兩個根相等，求的值思路點撥 通過換元可得到兩個關(guān)于的含參數(shù)的一元二次方程，利用判別式求出的值注：運用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ)，但對轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求 學(xué)歷訓(xùn)練1若關(guān)于的方程有增根，則的值為 ；若關(guān)于的方程 曾一1的解為正數(shù)，則的取值范圍是 2解方程得 3已知方程有一個根是2，則= 4方程的全體實數(shù)根的積為( ) A60 B一60 C10 D一105解關(guān)于的方程不會產(chǎn)生增根，則是的值是( ) A2 B1 C不為2或一2 D無法確定6已知實數(shù)滿足，那么的值為( ) A1或一2 B一1或2 C1 D一2 7(1)如表，方程1、方程2、方程3、，是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1，并將它的解填在表中的空格處； (2)若方程()的解是=6，=10，求、的值該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個方程?如果是，它是第幾個方程? (3)請寫出這列方程中的第個方程和它的解，并驗證所寫出的解適合第個方程序號方 程方程的解1= = 2=4=63 =5=88解下列方程：（1） ；（2）；(3)；(4)9已知關(guān)于的方程，其中為實數(shù)，當(dāng)m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根?求出這三個實數(shù)根 10方程的解是 11解方程得 12方程的解是 13若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 14解下列方程： (1)； (2)；（3）； （4）15當(dāng)取何值時，方程有負(fù)數(shù)解? 16已知，求的值 17已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，AF上AD交BD于E點，交BC于點F(1)求證：AD2= DE×DB；(2)過點E作EGAE交AB于點G，若線段BE、DE(BE<DE)的長為方程(m>0)的兩個根，且菱形ABCD的面積為，求EG的長 參考答案 7