2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 微型專題 熱點重點難點專題透析 專題1 函數(shù)與導數(shù)課件 理.ppt

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2019 專題1 函數(shù)與導數(shù) 01 目錄 微專題01函數(shù)的基本性質與基本初等函數(shù) 微專題02函數(shù)的圖象與函數(shù)的應用 微專題03導數(shù)及其應用 微專題04函數(shù)與導數(shù)的綜合應用 點擊 出答案 1 函數(shù)的三要素是什么 定義域 值域和對應關系是函數(shù)的三要素 是一個整體 研究函數(shù)問題時必須 定義域優(yōu)先 2 求函數(shù)的定義域應注意什么 求函數(shù)的定義域時 若已知函數(shù)的解析式 則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍 只需構建并解不等式 組 在實際問題中 除要考慮解析式有意義外 還要使實際問題有意義 已知f x 的定義域是 a b 求f g x 的定義域 是指滿足a g x b的x的取值范圍 而已知f g x 的定義域是 a b 指的是x a b 3 判斷函數(shù)的單調性有哪些方法 單調性是函數(shù)在其定義域上的局部性質 常見判定方法 定義法 取值 作差 變形 定號 其中變形是關鍵 常用的方法有通分 配方 因式分解 圖象法 復合函數(shù)的單調性遵循 同增異減 的原則 導數(shù)法 4 函數(shù)的奇偶性有什么特征 奇偶性的特征及常用結論 若f x 是奇函數(shù) 0在其定義域內 則f 0 0 f x 是偶函數(shù) f x 的圖象關于y軸對稱 f x 是奇函數(shù) f x 的圖象關于原點對稱 奇函數(shù)在對稱 關于原點對稱 的單調區(qū)間內有相同的單調性 偶函數(shù)在對稱 關于原點對稱 的單調區(qū)間內有相反的單調性 若f x a 為奇函數(shù) 則f x 的圖象關于點 a 0 對稱 若f x a 為偶函數(shù) 則f x 的圖象關于直線x a對稱 5 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質有哪些 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質 6 函數(shù)圖象的推導應注意哪些 探尋函數(shù)圖象與解析式之間的對應關系的方法 1 知圖選式 從圖象的左右 上下分布 觀察函數(shù)的定義域 值域 從圖象的變化趨勢 觀察函數(shù)的單調性 從圖象的對稱性方面 觀察函數(shù)的奇偶性 從圖象的循環(huán)往復 觀察函數(shù)的周期性 2 知式選圖 從函數(shù)的定義域 判斷圖象左右的位置 從函數(shù)的值域 判斷圖象的上下位置 從函數(shù)的單調性 判斷圖象的變化趨勢 從函數(shù)的奇偶性 判斷圖象的對稱性 從函數(shù)的周期性 判斷圖象的循環(huán)往復 7 確定函數(shù)零點的常用方法有哪些 函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法 1 直接法 令f x 0 則方程解的個數(shù)為函數(shù)零點的個數(shù) 2 零點存在性定理 利用該定理不僅要求曲線f x 在 a b 上是連續(xù)的 且f a f b 0 還必須結合函數(shù)的圖象和性質 如單調性 才能確定函數(shù)有多少個零點 3 數(shù)形結合 對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖象 常會通過分解轉化為兩個函數(shù)的圖象 然后通過數(shù)形結合 看其交點的個數(shù)有幾個 其中交點的橫坐標有幾個不同的值 就有幾個不同的零點 1 如何利用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性有什么應用 在某個區(qū)間 a b 內 如果f x 0 f x 0 那么函數(shù)y f x 在這個區(qū)間內單調遞增 單調遞減 利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的應用 1 利用導數(shù)判斷函數(shù)的圖象 2 利用導數(shù)解不等式 3 求參數(shù)的取值范圍 y f x 在 a b 上單調 則 a b 是相應單調區(qū)間的子集 若函數(shù)單調遞增 則f x 0 若函數(shù)單調遞減 則f x 0 2 如何判斷函數(shù)的極值 如何確定函數(shù)的最值 當f x0 0時 若在x0附近左側f x 0 右側f x 0 則f x0 為函數(shù)f x 的極小值 將函數(shù)y f x 在 a b 上的各極值與端點處的函數(shù)值f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 3 利用導數(shù)可以解決哪些不等式問題 1 利用導數(shù)證明不等式 證明f x g x 對一切x I恒成立 I是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x I x I 使f x g x 成立 I與f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x I 對 x1 x2 I f x1 g x2 f x max g x min 對 x1 I x2 I f x1 g x2 f x min g x min 函數(shù)是一條主線 貫穿于整個高中數(shù)學 導數(shù)是重要的解題工具 是解決函數(shù)問題的利器 因此 函數(shù)與導數(shù)在高考數(shù)學中的地位不言而喻 本專題內容也是高考中重要的考點之一 從近年高考的命題情況來看 本專題在高考分值中占20 左右 試題的易 中 難比例相當 選擇題 填空題和解答題均有考查 一 選擇題和填空題的命題特點 一 考查函數(shù)圖象的判斷及簡單應用 試題難度中檔 綜合考查函數(shù)的解析式 定義域 值域及單調性 奇偶性等性質的綜合 命題特點 B 答案 解析 A 答案 解析 解析 因為函數(shù)為奇函數(shù) 所以其圖象關于原點對稱 所以選項C D錯誤 又當x 0時 y 0 所以選項B錯誤 故選A 二 考查函數(shù)的基本性質及簡單應用 試題難度中檔 綜合考查函數(shù)的奇偶性 單調性 周期性及圖象的推理能力等 3 2018年 全國 卷 理T11改編 已知f x 是定義域為R的奇函數(shù) 滿足f 1 x f 1 x 若f 1 2 則f 1 f 2 f 3 f 2018 A 2018B 0C 2D 50 C 答案 解析 解析 f x 是奇函數(shù) 且f 1 x f 1 x f 1 x f 1 x f x 1 f 0 0 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 即函數(shù)f x 是周期為4的周期函數(shù) f 1 2 f 2 f 0 0 f 3 f 1 2 f 4 f 0 0 f 1 f 2 f 3 f 4 2 0 2 0 0 f 1 f 2 f 3 f 2018 504 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2017 f 2018 f 1 f 2 2 0 2 故選C 1 答案 解析 5 2018 全國 卷 文T13改編 已知函數(shù)f x log3 x2 a 若f 2 1 則a 1 答案 解析 解析 f 2 1 log3 4 a 1 4 a 3 a 1 6 2017 全國 卷 文T8改編 函數(shù)y ln x2 2x 3 的單調遞減區(qū)間是 A 1 1 B 1 3 C 1 D 1 B 答案 解析 解析 令t x2 2x 3 由t 0 求得 1 x 3 故函數(shù)的定義域為 1 3 且y lnt 故本題為求函數(shù)t x2 2x 3在定義域內的單調遞減區(qū)間 利用二次函數(shù)的性質求得t x 1 2 4在定義域內的單調遞減區(qū)間為 1 3 故選B 四 考查函數(shù)零點的判斷及應用 同時考查函數(shù)與方程的思想 轉化思想及數(shù)形結合思想 試題難度較大 7 2017 全國 卷 理T11改編 已知函數(shù)f x x2 4x a 10 x 2 10 x 2 有唯一零點 則a A 4B 3C 2D 2 C 答案 解析 解析 函數(shù)f x 有唯一零點等價于方程4x x2 a 10 x 2 10 x 2 有唯一解 等價于函數(shù)y 4x x2的圖象與y a 10 x 2 10 x 2 的圖象只有一個交點 當a 0時 f x x2 4x 此時函數(shù)有兩個零點 矛盾 當a0時 由于y 4x x2在 2 上單調遞增 在 2 上單調遞減 且y a 10 x 2 10 x 2 在 2 上單調遞減 在 2 上單調遞增 所以函數(shù)y 4x x2的圖象的最高點為A 2 4 y a 10 x 2 10 x 2 的圖象的最低點為B 2 2a 由題意可知點A與點B重合時滿足條件 即2a 4 解得a 2 符合條件 故選C 五 考查導數(shù)的幾何意義及簡單的導數(shù)計算 導數(shù)的幾何意義一直是高考的熱點和重點 試題綜合考查導數(shù)的計算及直線方程的知識 難度較小 8 2018 全國 卷 理T5改編 設函數(shù)f x x3 a 1 x2 ax 若f x 為奇函數(shù) 則曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為 y x 答案 解析 解析 因為函數(shù)f x 是奇函數(shù) 所以a 1 0 解得a 1 所以f x x3 x f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為y x 1 在 0 2 上單調遞增 在 2 上單調遞減 答案 解析 2 2017 全國 卷 文T21改編 已知函數(shù)f x ex ex a a2x 其中參數(shù)a 0 1 討論f x 的單調性 2 若f x 0 求a的取值范圍 答案 解析 1 識別函數(shù)圖象的常用方法 1 直接法 直接求出函數(shù)的解析式并畫出其圖象 2 特例排除法 例如 根據(jù)已知函數(shù)的圖象或已知函數(shù)的解析式 取特殊點 判斷各選項的圖象是否經(jīng)過該特殊點 3 性質 單調性 奇偶性 過定點等 驗證法 4 較復雜函數(shù)的圖象 常借助導數(shù)這一工具 先對原函數(shù)進行求導 再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性 極值或最值 從而對選項進行篩選 2 函數(shù)性質綜合問題的常見類型及解題策略 1 單調性與奇偶性結合 解決此類問題要注意函數(shù)單調性及奇偶性的定義 以及奇 偶函數(shù)圖象的對稱性 2 周期性與奇偶性結合 此類問題多考查求值 常利用奇偶性及周期性進行交換 將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解 3 周期性 奇偶性與單調性結合 解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間 然后利用奇偶性和單調性求解 規(guī)律方法 3 對于函數(shù)零點 方程的根 的確定問題 高考常從以下幾個方面進行考查 1 函數(shù)零點值大致所在區(qū)間的確定 2 零點個數(shù)的確定 3 兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定 解決此類問題的常用方法有解方程法 利用零點存在的判定或數(shù)形結合法 尤其是方程兩邊對應的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結合法求解 4 利用導數(shù)的幾何意義解題主要是利用導數(shù) 切點坐標 切線斜率之間的關系來轉化 關鍵是求出切點的坐標 5 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 1 已知函數(shù)解析式求單調區(qū)間 實質上是求f x 0 f x 0的解集 求單調區(qū)間應遵循定義域優(yōu)先的原則 2 含參函數(shù)的單調性要分類討論 通過確定導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性 3 注意兩種表述 函數(shù)f x 在 a b 上為減函數(shù) 與 函數(shù)f x 的減區(qū)間為 a b 的區(qū)別 6 利用導數(shù)研究函數(shù)極值 最值的方法 1 若求極值 則先求方程f x 0的根 再檢查f x 在方程根的左右函數(shù)值的符號 2 若已知極值大小或存在情況 則轉化為已知方程f x 0根的大小或存在情況來求解 3 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值時 在得到極值的基礎上 結合區(qū)間端點的函數(shù)值f a f b 與f x 的各極值進行比較得到函數(shù)的最值 A 答案 解析 微專題01函數(shù)的基本性質與基本初等函數(shù)數(shù) 返 A 答案 解析 解析 由題意知 f 2 5 4 1 f 1 e0 1 所以f f 2 1 故選A 3 已知定義在R上的函數(shù)f x 2 x 記a f log0 53 b f log25 c f 0 則a b c的大小關系是 A a b cB c b aC a c bD b a c D 答案 解析 解析 易知f x 2 x 是偶函數(shù) 且在 0 上單調遞減 又f log0 53 f log23 f log23 而log25 log23 0 f log25 f log23 f 0 即b a c 故選D 8 答案 解析 解析 由條件可得f x 6 f x 所以函數(shù)f x 的周期為6 所以f 2018 f 6 336 2 f 2 f 2 8 答案 解析 典型例題 1 函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的集合 求函數(shù)定義域只需構建不等式 組 求解即可 2 求分段函數(shù)的函數(shù)值 要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間 然后代入該段的解析式求值 當出現(xiàn)f f a 的形式時 應從內到外依次求值 3 當給出函數(shù)值求自變量的值時 先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上 然后求出相應自變量的值 切記要代入檢驗 看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍 方法歸納 3 4 答案 解析 變式訓練 2 答案 解析 解析 f 2 log 2 2 1 0 f f 2 f 0 20 1 2 1 答案 解析 解析 f 0 30 1 2 f 2 4a 2 由4a 2 2得a 1 答案 解析 典型例題 1 對于分段函數(shù)的單調性 應考慮各段的單調性 且要注意分界點處的函數(shù)值的大小 2 對于抽象函數(shù)不等式 應根據(jù)函數(shù)的單調性去掉 f 轉化成解不等式 要注意函數(shù)定義域的運用 方法歸納 2 答案 解析 變式訓練 2 已知奇函數(shù)f x 為R上的減函數(shù) 若f 3a2 f 2a 1 0 則a的取值范圍是 答案 解析 答案 解析 典型例題 函數(shù)的奇偶性 周期性及單調性是函數(shù)的三大性質 在高考中常常將它們綜合在一起命題 其中奇偶性多與單調性結合 而周期性多與抽象函數(shù)結合 并結合奇偶性求函數(shù)值 函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關系 而函數(shù)的單調性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律 因此 在解題時 往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調性 即實現(xiàn)區(qū)間的轉換 再利用單調性解決相關問題 方法歸納 1 已知偶函數(shù)f x 在 0 上單調遞增 若f 2 2 則滿足f x 1 2的x的取值范圍是 A 1 3 B 1 3 C 1 3 D 2 2 B 答案 解析 變式訓練 解析 由題意知偶函數(shù)f x 在 0 上單調遞增 若f 2 2 則f x 1 2 f x 1 f 2 f x 1 f 2 即 x 1 2 解得x 1或x 3 故選B 2 設函數(shù)f x 是以2為周期的奇函數(shù) 已知當x 0 1 時 f x 2x 則f x 在 2017 2018 上是 A 增函數(shù) 且f x 0B 減函數(shù) 且f x 0 C 答案 解析 解析 函數(shù)f x 的周期是2 函數(shù)f x 在 2017 2018 上的單調性和 1 0 上的單調性相同 當x 0 1 時 f x 2x為增函數(shù) 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 當x 1 0 時 f x 為增函數(shù) 當x 0 1 時 f x 2x 0 當x 1 0 時 f x 0 當x 2017 2018 時 f x 0 即f x 在 2017 2018 上是增函數(shù) 且f x 0 故選C 例4 1 若a b c滿足2a 3 b log25 3c 2 則 A c a bB b c aC a b cD c b a 2 已知f x x3 3x a 20 3 b 0 32 c log20 3 則 A f a f b f c B f b f c f a C f c f b f a D f b f a f c 答案 解析 典型例題 解析 1 因為2a 3 3c 2 所以a log23 c log32 因為y log2x y log3x是增函數(shù) 所以log25 log23 log22 log33 log32 因此b a c 故選A 2 由指數(shù)函數(shù)的性質可得 1b c 又 f x x3 3x在R上單調遞增 f c f b f a 故選C 利用指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質比較實數(shù)或式子的大小時 一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同 另一方面要注意特殊值的應用 有時候可以借助其 橋梁 作用 來比較大小 方法歸納 A 答案 解析 變式訓練 C 答案 解析 解析 f 2 x f x 函數(shù)f x 圖象的對稱軸為直線x 1 當x 1時 f x lnx f x 在 1 上單調遞減 在 1 上單調遞增 故當x 1時 函數(shù)f x 有最小值 離x 1越遠 函數(shù)值越大 故選C 1 函數(shù)y 13 log3x 的圖象是 A 答案 解析 微專題02函數(shù)的圖象與函數(shù)的應用 返 解析 當x 1時 y 13 log3x 13log3x 1x 當0 x 1時 y 13 log3x 3log3x x y 13 log3x 1x x 1 x 0 x 1 其圖象為選項A中的圖象 故選A C 答案 解析 C 答案 解析 解析 當x 2時 由 x2 4x 0 得x 0 當x 2時 令f x log2x a 0 得x 2a 又函數(shù)f x 有兩個不同的零點 2a 2 解得a 1 故選C 4 某企業(yè)為節(jié)能減排 用9萬元購進一臺新設備用于生產(chǎn) 第一年需運營費用2萬元 從第二年起 每年運營費用均比上一年增加3萬元 該設備每年生產(chǎn)的收入均為21萬元 設該設備使用了n n N 年后 盈利總額達到最大值 盈利額等于收入減去成本 則n等于 A 6B 7C 8D 7或8 B 答案 解析 A 答案 解析 典型例題 例1 函數(shù)y sinx ln x 在區(qū)間 3 3 上的圖象大致為 解析 設f x sinx ln x 當x 0時 f x sinx lnx 則f x cosx 1x 當x 0 1 時 f x 0 即函數(shù)f x 在 0 1 上為單調遞增函數(shù) 排除B 當x 1時 f 1 sin1 0 排除D 因為f x sin x ln x sinx ln x 所以f x f x 所以函數(shù)f x 為非奇非偶函數(shù) 排除C 故選A B 答案 解析 例2 函數(shù)y sinx 1 cos2x 在區(qū)間 2 2 上的圖象大致為 解析 函數(shù)y sinx 1 cos2x 的定義域為 2 2 其關于原點對稱 且f x sin x 1 cos2x sinx 1 cos2x f x 則f x 為奇函數(shù) 其圖象關于原點對稱 排除D 當00 排除C 又2sinxcos2x 0 可得x 2或x 2或x 0 排除A 故選B 函數(shù)圖象的辨識主要從以下幾個方面入手 1 函數(shù)圖象的對稱性 2 函數(shù)圖象的單調性 3 特殊點 方法歸納 D 答案 解析 變式訓練 解析 當x 0時 f x 2x 1 根據(jù)指數(shù)函數(shù)g x 2x的圖象向下平移一個單位 即可得到函數(shù)f x 的圖象 當x 0時 f x x2 2x 根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質 可得到相應的圖象 綜上 函數(shù)f x 的圖象為選項D中的圖象 D 答案 解析 D 答案 解析 典型例題 例3 已知函數(shù)f x 滿足f x 1 f x 1 且f x 是偶函數(shù) 當x 1 0 時 f x x2 若在區(qū)間 1 3 內 函數(shù)g x f x loga x 2 有4個零點 則實數(shù)a的取值范圍是 A 1 5 B 1 5 C 5 D 5 解析 由題意可知函數(shù)f x 是周期為2的偶函數(shù) 結合當x 1 0 時 f x x2 繪制函數(shù)圖象如圖所示 函數(shù)g x 有4個零點 則函數(shù)f x 與函數(shù)y loga x 2 的圖象在區(qū)間 1 3 內有4個交點 結合函數(shù)圖象可得 loga 3 2 1 解得a 5 即實數(shù)a的取值范圍是 5 C 答案 解析 函數(shù)零點的求解與判斷方法 1 直接求零點 令f x 0 如果能求出解 那么有幾個解就有幾個零點 2 零點存在性定理 利用定理不僅要函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 且f a f b 0 還必須結合函數(shù)的圖象與性質 如單調性 奇偶性 才能確定函數(shù)有多少個零點 3 利用圖象交點的個數(shù) 將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差 畫出這兩個函數(shù)的圖象 看其交點的橫坐標有幾個不同的值 就有幾個不同的零點 方法歸納 B 答案 解析 變式訓練 D 答案 解析 解析 設t f x 則a f t 在同一坐標系內作y a與y f t 的圖象 如圖 當a 1時 兩個圖象有兩個交點 設交點的橫坐標分別為t1 t2 且t1 1 t2 1 當t1 1時 t1 f x 有一個解 當t2 1時 t2 f x 有兩個解 綜上可知 當a 1時 g x f f x a有三個不同的零點 故選D B 答案 解析 典型例題 例5 某高校為提升科研能力 計劃逐年加大科研經(jīng)費投入 若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費1300萬元 在此基礎上 每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12 則該高校全年投入的科研經(jīng)費開始超過2000萬元的年份是 參考數(shù)據(jù) lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 A 2020年B 2021年C 2022年D 2023年 解析 若2018年是第1年 則第n年科研經(jīng)費為1300 1 12n 由1300 1 12n 2000 可得lg1 3 nlg1 12 lg2 得n 0 05 0 19 n 3 8 n 4 即4年后 到2021年科研經(jīng)費超過2000萬元 故選B 方法歸納 C 答案 解析 變式訓練 D 答案 解析 微專題03導數(shù)及其應用 返 1 如圖 函數(shù)y f x 的圖象在點P處的切線方程為x y 2 0 則f 1 f 1 A 1B 2C 3D 4 解析 由條件知 1 f 1 在直線x y 2 0上 且f 1 1 f 1 f 1 3 1 4 故選D A 答案 解析 A 答案 解析 解析 當x1時 f x 0 此時函數(shù)f x 單調遞增 即當x 1時 函數(shù)f x 取得極小值同時也取得最小值f 1 所以f 0 f 1 f 2 f 1 則f 0 f 2 2f 1 故選A 0 答案 解析 答案 解析 典型例題 1 求曲線y f x 的切線方程的三種類型及方法 1 已知切點P x0 y0 求y f x 過點P的切線方程 先求出切線的斜率f x0 由點斜式寫出方程 2 已知切線的斜率k 求y f x 的切線方程 設切點P x0 y0 通過方程k f x0 解得x0 再由點斜式寫出方程 3 已知切線上一點 非切點 求y f x 的切線方程 設切點P x0 y0 利用導數(shù)求得切線斜率f x0 然后由斜率公式求得切線斜率 列方程 組 解得x0 再由點斜式或兩點式寫出方程 2 利用切線 或方程 與其他曲線的關系求參數(shù) 已知過某點的切線方程 斜率 或其與某直線平行 垂直 利用導數(shù)的幾何意義 切點坐標 切線斜率之間的關系構建方程 組 或函數(shù)求解 方法歸納 1 1 答案 解析 變式訓練 2 已知曲線y x lnx在點 1 1 處的切線與曲線y ax2 a 2 x 1相切 則a 8 答案 解析 答案 解析 典型例題 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 1 已知函數(shù)解析式求單調區(qū)間 實質上是求f x 0 f x 0的解集 求單調區(qū)間應遵循定義域優(yōu)先的原則 2 含參函數(shù)的單調性要分類討論 通過確定導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性 3 注意兩種表述 函數(shù)f x 在 a b 上為減函數(shù) 與 函數(shù)f x 的減區(qū)間為 a b 的區(qū)別 方法歸納 1 答案 解析 變式訓練 答案 解析 例3 若x 3是函數(shù)f x x2 ax 1 ex的極值點 則f x 的極大值等于 A 1B 3C 2e3D 6e 1 D 答案 解析 典型例題 解析 函數(shù)f x x2 ax 1e x f x x2 2 a x a 1 ex x 3是函數(shù)f x x2 ax 1 ex的極值點 f 3 0 解得a 4 故f x x2 2x 3 ex 當x 1時 f x 取得極大值 極大值為f 1 6e 1 故選D 答案 解析 利用導數(shù)研究函數(shù)極值 最值的方法 1 若求極值 則先求方程f x 0的根 再檢查f x 在方程根的左右兩邊函數(shù)值的符號 2 若已知極值大小或存在情況 則將問題轉化為已知方程f x 0根的大小或存在情況來求解 3 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值時 在得到極值的基礎上 結合區(qū)間端點的函數(shù)值f a f b 與f x 的各極值進行比較得到函數(shù)的最值 4 研究函數(shù)的極值或最值時應注意的問題 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值時 應先考慮函數(shù)的定義域 導數(shù)值為0的點不一定是函數(shù)的極值點 它是函數(shù)在該點取得極值的必要不充分條件 方法歸納 答案 解析 變式訓練 1 若關于x的不等式x3 3x2 9x 2 m對任意x 2 2 恒成立 則m的取值范圍是 A 7 B 20 C 0 D 12 7 B 答案 解析 微專題04函數(shù)與導數(shù)的綜合應用 返 解析 令f x x3 3x2 9x 2 則f x 3x2 6x 9 令f x 0得x 1或x 3 舍去 f 1 7 f 2 0 f 2 20 f x 的最小值為f 2 20 故m 20 2 已知函數(shù)f x x3 3x 1 若對于區(qū)間 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 則實數(shù)t的最小值是 A 20B 18C 3D 0 A 答案 解析 解析 對于區(qū)間 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 等價于在區(qū)間 3 2 上 f x max f x min t f x x3 3x 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 x 3 2 函數(shù)f x 在 3 1 1 2 上單調遞增 在 1 1 上單調遞減 又 f 3 19 f 1 3 f 1 1 f 2 1 f x max f 2 f 1 1 f x min f 3 19 f x max f x min 20 t 20 即實數(shù)t的最小值是20 3 已知y f x 為R上的連續(xù)可導函數(shù) 且xf x f x 0 則函數(shù)g x xf x 1 x 0 的零點個數(shù)為 A 0B 1C 0或1D 無數(shù)個 A 答案 解析 解析 因為g x f x xf x 0 所以函數(shù)g x 在 0 上為增函數(shù) 因為g 0 0 所以g x 0 故函數(shù)g x xf x 1 x 0 的零點個數(shù)為0 4 做一個無蓋的圓柱形水桶 若要使其體積是27 dm3 且用料最省 則圓柱的底面半徑為dm 3 答案 解析 答案 解析 典型例題 已知函數(shù)有零點求參數(shù)的常用方法和思路 1 直接法 直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式 再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍 2 分離參數(shù)法 將參數(shù)分離 轉化成函數(shù)的值域問題解決 3 數(shù)形結合法 先對解析式變形 在同一個平面直角坐標系中 畫出函數(shù)的圖象 然后通過數(shù)形結合求解 方法歸納 1 如果函數(shù)f x ax2 bx clnx a b c為常數(shù) a 0 在區(qū)間 0 1 和 2 上均單調遞增 在 1 2 上單調遞減 則函數(shù)f x 的零點個數(shù)為 A 0B 1C 2D 3 B 答案 解析 變式訓練 1 答案 解析 解析 當x 0時 G x 0 G x 在 0 上單調遞增 又G 0 10 G x 存在唯一零點c 0 1 且當x 0 c 時 G x 0 當x 0 c 時 g x 0 g x 在 0 c 上單調遞減 在 c 上單調遞增 g x g c G c cec 1 0 00 g x g c 0 函數(shù)g x 無零點 例2 2018年天津市南開中學高三模擬考試 已知f x ex alnx a 其中常數(shù)a 0 1 當a e時 求函數(shù)f x 的極值 2 當0 a e時 求證 f x 0 3 求證 e2x 2 ex 1lnx x 0 答案 解析 典型例題 利用導數(shù)證明不等式f x g x 在區(qū)間D上恒成立的基本方法是先構造函數(shù)h x f x g x 然后根據(jù)函數(shù)的單調性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h x 0 其中找到函數(shù)h x f x g x 的零點是解題的突破口 方法歸納 1 答案 解析 變式訓練 答案 解析 典型例題 解析 答案 解析 1 對于恒成立和存在性的問題 常用的解法是分離參數(shù) 將問題轉化為求函數(shù)最值的問題處理 解題時常用的結論 若a f x 有解 則a f x min 若a f x 有解 則a f x max 2 對于含參數(shù)的不等式 如果易分離參數(shù) 那么可先分離參數(shù) 構造函數(shù) 將問題直接轉化為求函數(shù)的最值 否則應進行分類討論 在解題過程中 必要時 可畫出函數(shù)圖象的草圖 借助幾何圖形直觀分析 方法歸納 答案 解析 1 已知函數(shù)f x axex x R g x lnx kx 1 k R 1 若k 1 求函數(shù)g x 的單調區(qū)間 2 當k 1時 f x g x 恒成立 求a的取值范圍 變式訓練 2 廣西2018屆高三下學期第二次模擬 已知函數(shù)f x ln 1 x ln 1 x k x3 3x k R 1 當k 3時 求曲線y f x 在原點O處的切線方程 2 若f x 0對x 0 1 恒成立 求k的取值范圍 答案 解析 答案 解析 典型例題 由上表可得 當x 4時 函數(shù)f x 取得極大值 也是最大值 所以 當x 4時 函數(shù)f x 取得最大值 且最大值等于42 故當銷售價格為4元 千克時 商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟 1 建模 分析實際問題中各量之間的關系 列出實際問題的數(shù)學模型 寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng) f x 2 求導 求函數(shù)的導數(shù)f x 解方程f x 0 3 求最值 比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f x 0的點的函數(shù)值的大小 最大 小 者為最大 小 值 4 結論 回歸實際問題作答 方法歸納 答案 解析 變式訓練 謝 謝 觀 賞