2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題九 第十七講 不等式選講課件 文.ppt

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第十七講不等式選講 總綱目錄 考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法 1 ax b c ax b c型不等式的解法 1 若c 0 則 ax b c等價(jià)于 c ax b c ax b c等價(jià)于ax b c或ax b c 然后根據(jù)a b的值求解即可 2 若c 0 則 ax b c的解集為 ax b c的解集為R 2 x a x b c c 0 x a x b c c 0 型不等式的解法 1 令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的一次式為0 求出相應(yīng)的根 2 把這些根由小到大排序 它們把數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間 3 在所分區(qū)間上 根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào) 討論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上的解集 4 這些解集的并集就是原不等式的解集 2018河南洛陽第一次統(tǒng)考 已知函數(shù)f x x a a R 1 當(dāng)a 2時(shí) 解不等式 f x 1 2 設(shè)不等式 f x x的解集為M 若 M 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 1 當(dāng)a 2時(shí) 原不等式可化為 3x 1 x 2 3 當(dāng)x 時(shí) 原不等式可化為 3x 1 2 x 3 解得x 0 所以x 0 當(dāng) x 2時(shí) 原不等式可化為3x 1 2 x 3 解得x 1 所以1 x 2 當(dāng)x 2時(shí) 原不等式可化為3x 1 x 2 3 解得x 所以x 2 綜上所述 當(dāng)a 2時(shí) 原不等式的解集為 x x 0或x 1 2 不等式 f x x可化為 3x 1 x a 3x 依題意知不等式 3x 1 x a 3x在上恒成立 所以3x 1 x a 3x 即 x a 1 即a 1 x a 1 所以解得 a 故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是 方法歸納 x a x b c 或 c c 0 x a x b c 或 c c 0 型不等式的解法可通過零點(diǎn)分區(qū)間法或利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解 1 零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟 令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為零 并求出相應(yīng)的根 將這些根按從小到大排列 把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間 由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式 解這些不等式 求出解集 取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用絕對(duì)值的幾何意義解題 由于 x a x b 與 x a x b 分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差 因此對(duì)形如 x a x b c c 0 或 x a x b c c 0 的不等式 用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀 1 2018課標(biāo)全國(guó) 23 10分 設(shè)函數(shù)f x 5 x a x 2 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x 0的解集 2 若f x 1 求a的取值范圍 解析 1 當(dāng)a 1時(shí) f x 可得f x 0的解集為 x 2 x 3 2 f x 1等價(jià)于 x a x 2 4 而 x a x 2 a 2 且當(dāng)x 2時(shí)等號(hào)成立 故f x 1等價(jià)于 a 2 4 由 a 2 4可得a 6或a 2 所以a的取值范圍是 6 2 2 已知函數(shù)f x x a 其中a 1 1 當(dāng)a 2時(shí) 求不等式f x 4 x 4 的解集 2 已知關(guān)于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集為 x 1 x 2 求a的值 解析 1 當(dāng)a 2時(shí) f x x 4 當(dāng)x 2時(shí) 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 當(dāng)2 x 4時(shí) f x 4 x 4 無解 當(dāng)x 4時(shí) 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 所以f x 4 x 4 的解集為 x x 1或x 5 2 記h x f 2x a 2f x 則h x 由 h x 2 解得 x 又已知 h x 2的解集為 x 1 x 2 所以于是a 3 已知函數(shù)f x x 1 1 求不等式f x 3 2 x 的解集 2 若函數(shù)g x f x x 3 的最小值為m 正數(shù)a b滿足a b m 求證 4 解析 1 當(dāng)x 1時(shí) x 1 3 2x 解得x x 當(dāng)0 x 1時(shí) 1 x 3 2x 解得x 2 無解 當(dāng)x 0時(shí) 1 x 3 2x x x 原不等式的解集為 2 g x x 1 x 3 x 1 x 3 4 m 4 即a b 4 又 b 2a a 2b 兩式相加得 2a 2b a b 4 當(dāng)且僅當(dāng)a b 2時(shí)等號(hào)成立 方法歸納證明不等式的方法和技巧 1 如果已知條件與待證明的結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯 可考慮用分析法 如果待證的命題以 至少 至多 等方式給出 或是否定性命題 唯一性命題 則考慮用反證法 2 在必要的情況下 可能還需要使用換元法 構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問題的表述和證明 尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法和證明 其簡(jiǎn)化的基本思路是化去絕對(duì)值符號(hào) 轉(zhuǎn)化為常見的不等式 組 求解 多以絕對(duì)值的幾何意義或 找零點(diǎn) 分區(qū)間 逐個(gè)解 并起來 為簡(jiǎn)化策略 而絕對(duì)值三角不等式 往往作為不等式放縮的依據(jù) 已知函數(shù)f x x 1 1 求不等式f x f a f b 解析 1 當(dāng)x 1時(shí) 原不等式可化為 x 11 綜上 M x x1 2 證明 因?yàn)閒 a f b a 1 b 1 a 1 b 1 a b 所以要證f ab f a f b 只需證 ab 1 a b 即證 ab 1 2 a b 2 即證a2b2 2ab 1 a2 2ab b2 即證a2b2 a2 b2 1 0 即證 a2 1 b2 1 0 因?yàn)閍 b M 所以a2 1 b2 1 所以 a2 1 b2 1 0成立 所以原不等式成立 考點(diǎn)三絕對(duì)值不等式的恒成立問題 1 f x a恒成立 f x min a f x a有解 f x max a f x a無解 f x max a f x a無解 f x min a 2 定理1 如果a b是實(shí)數(shù) 則 a b a b 當(dāng)且僅當(dāng)ab 0時(shí) 等號(hào)成立 定理2 如果a b c是實(shí)數(shù) 那么 a c a b b c 當(dāng)且僅當(dāng) a b b c 0時(shí) 等號(hào)成立 1 2018課標(biāo)全國(guó) 23 已知f x x 1 ax 1 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x 1的解集 2 若x 0 1 時(shí)不等式f x x成立 求a的取值范圍 解析 1 當(dāng)a 1時(shí) f x x 1 x 1 即f x 故不等式f x 1的解集為 2 當(dāng)x 0 1 時(shí) x 1 ax 1 x成立等價(jià)于當(dāng)x 0 1 時(shí) ax 1 0 則 ax 1 1的解集為 所以 1 故0 a 2 綜上 a的取值范圍為 0 2 方法歸納解決含絕對(duì)值不等式的恒成立問題 用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 1 利用三角不等式求出最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化 2 利用分類討論思想 轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域 3 數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化 2018陜西西安八校聯(lián)考 已知函數(shù)f x 和g x 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 且f x x2 2x 1 解關(guān)于x的不等式g x f x x 1 2 如果 x R 不等式g x c f x x 1 恒成立 求實(shí)數(shù)c的取值范圍 解析 1 函數(shù)f x 和g x 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 g x f x x2 2x 原不等式可化為 x 1 2x2 即x 1 2x2或x 1 2x2 解得 1 x 故不等式的解集為 2 不等式g x c f x x 1 可化為 x 1 2x2 c 即c 2x2 x 1 恒成立 令函數(shù)F x 當(dāng)x 1時(shí) F x min F 1 2 當(dāng)x 1時(shí) F x min F 綜上 F x min 故c的取值范圍是