2019高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 3.2 拋物線 3.2.2 拋物線的簡單性質(zhì)課件 北師大版選修2-1.ppt

2 2拋物線的簡單性質(zhì) 拋物線的簡單性質(zhì) 做一做1 拋物線y 4x2的焦點到準(zhǔn)線的距離是 答案 C 做一做2 等腰直角三角形ABO內(nèi)接于拋物線y2 2px p 0 O為拋物線的頂點 OA OB 則 ABO的面積是 A 8p2B 4p2C 2p2D p2 答案 B 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 拋物線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形 2 拋物線的頂點一定在過焦點且與準(zhǔn)線垂直的直線上 3 直線與拋物線相交時 直線與拋物線不一定有兩個公共點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 直線與拋物線的位置關(guān)系 例1 已知拋物線的方程為y2 4x 直線l過定點P 2 1 斜率為k 當(dāng)k為何值時 直線l與拋物線 只有一個公共點 有兩個公共點 沒有公共點 思維點撥 用解析法解決這個問題 只要討論直線l的方程與拋物線的方程組成的方程組的解的情況 由方程組解的情況判斷直線l與拋物線的位置關(guān)系 解 由題意 設(shè)直線l的方程為y 1 k x 2 得ky2 4y 4 2k 1 0 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 當(dāng)k 0時 方程 的判別式為 16 2k2 k 1 1 由 0 即2k2 k 1 0 從而方程組 只有一個解 這時 直線l與拋物線只有一個公共點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 于是 當(dāng)k時 方程 沒有實數(shù)解 從而方程組 沒有解 這時 直線l與拋物線沒有公共點 綜上 我們可得 反思感悟解決直線與圓錐曲線的交點問題時 主要方法是構(gòu)建一元二次方程 判斷其解的個數(shù) 確定斜率或直線的傾斜角時 應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在兩種情形 還應(yīng)注意在拋物線中 直線和曲線有一個公共點并不一定相切 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1如圖 已知拋物線y2 x與直線y k x 1 k 0 相交于A B兩點 且直線與x軸交于點N 1 求證 OA OB 2 當(dāng) OAB的面積等于時 求k的值 思維點撥 利用根與系數(shù)的關(guān)系 弦長公式或應(yīng)用向量解題 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 求拋物線方程 例2 已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點 對稱軸為x軸 且與圓x2 y2 4相交的公共弦長等于2 求這條拋物線的方程 思維點撥 因為圓和拋物線都關(guān)于x軸對稱 所以它們的交點也關(guān)于x軸對稱 即公共弦被x軸垂直平分 于是由弦長等于2 可知交點縱坐標(biāo)為 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 設(shè)所求拋物線方程為y2 2px或y2 2px p 0 設(shè)交點A x1 y1 B x2 y2 y1 0 y2 0 所求拋物線方程為y2 3x或y2 3x 反思感悟因為拋物線是軸對稱圖形 所以與對稱軸垂直的弦一定被對稱軸平分 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2拋物線的頂點在原點 以x軸為對稱軸 經(jīng)過焦點且傾斜角為135 的直線被拋物線所截得的弦長為8 試求拋物線的方程 解 如圖 依題意設(shè)拋物線方程為y2 2px p 0 則經(jīng)過焦點且傾斜角為135 的直線方程為y x p 設(shè)直線交拋物線于點A x1 y1 B x2 y2 則由拋物線的定義 又點A x1 y1 B x2 y2 是拋物線和直線的交點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 x1 x2 3p 將其代入 得p 2 所求拋物線的方程為y2 4x 當(dāng)拋物線的方程設(shè)為y2 2px時 同理可求得拋物線的方程為y2 4x 探究一 探究二 探究三 思維辨析 與拋物線有關(guān)的最值問題 例3 如圖所示 已知直線l y 2x 4交拋物線y2 4x于A B兩點 試在拋物線AOB這段曲線上求一點P 使 PAB的面積最大 并求出這個最大面積 思維點撥 通過聯(lián)立方程組求得A B坐標(biāo) 從而可得 AB 的大小 設(shè)出P點坐標(biāo) 利用點到直線的距離公式表示出AB邊上的高 從而表示出 PAB的面積 考慮P點坐標(biāo)變量的范圍求得目標(biāo)函數(shù)的最大值即可 探究一 探究二 探究三 思維辨析 設(shè)P x0 y0 為拋物線AOB這段曲線上一點 d為P點到直線AB的距離 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟解決本題的關(guān)鍵是弦AB為定值 將點P到直線AB的距離的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解 在應(yīng)用配方法求最值時 一定要注意自變量的取值范圍 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3在拋物線y2 2x上求一點P 使P到直線x y 3 0的距離最短 并求出距離的最小值 解 方法一 設(shè)P x0 y0 是y2 2x上任一點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 方法二 設(shè)與拋物線相切且與直線x y 3 0平行的直線方程為x y m 0 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因忽視斜率不存在及二次項系數(shù)而致誤 典例 求過點P 0 1 且與拋物線y2 2x只有一個公共點的直線方程 易錯分析 當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時 直線與拋物線只有一個公共點 另外 設(shè)直線方程時要討論斜率是否存在 解 1 若直線斜率不存在 則過點P 0 1 的直線方程為x 0 直線x 0與拋物線只有一個公共點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 若直線斜率存在 設(shè)為k 則過點P的直線方程為y kx 1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得錯誤之一是遺漏直線斜率不存在的情況 僅考慮斜率存在的直線 錯誤之二是方程組消元后的方程k2x2 2 k 1 x 1 0被認(rèn)定為二次方程 因而由直線與拋物線只有一個公共點 得出 0 事實上方程的二次項系數(shù)為含字母的k2 方程不一定是二次方程 當(dāng)k 0時 方程是一次方程 2x 1 0 此時方程組只有一解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練設(shè)拋物線y2 8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q 若過點Q的直線l與拋物線有公共點 則直線l的斜率的取值范圍是 解析 設(shè)直線方程為y k x 2 與拋物線聯(lián)立方程組整理得ky2 8y 16k 0 當(dāng)k 0時 直線與拋物線有一個交點 當(dāng)k 0時 由 64 64k2 0 解得 1 k 1 所以 1 k 1 答案 C 12345 1 拋物線的頂點在原點 焦點在x軸上 其通徑的兩端與頂點連成的三角形的面積為4 則此拋物線的方程是 答案 B 12345 2 已知A B是拋物線y2 2px p 0 上兩點 O為原點 若 OA OB 且 AOB的垂心恰是此拋物線的焦點 則A B兩點所在的直線方程為 解析 因為 OA OB 所以A B兩點關(guān)于x軸對稱 設(shè)A B兩點的坐標(biāo)分別為 x0 y0 x0 y0 x0 0 由于 AOB的垂心是焦點 焦點坐標(biāo)為 答案 D 12345 3 已知拋物線y2 2px p 0 過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A B兩點 若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2 則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 由線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2 得y1 y2 2p 4 所以p 2 故準(zhǔn)線方程為x 1 答案 x 1 12345 4 如圖所示 過拋物線y2 4x的焦點F 作傾斜角為60 的直線與拋物線交于A B兩點 設(shè)AB的中點為M 則 FM 12345 12345 5 求拋物線y x2上的點到直線4x 3y 8 0的最小距離 解 方法一 設(shè)A t t2 為拋物線上的點 12345 方法二 如圖 設(shè)與直線4x 3y 8 0平行的拋物線的切線方程為