2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二篇 專題二 數(shù)學思想方法課件 文.ppt

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專題二數(shù)學思想方法 概述數(shù)學思想方法既是思想也是方法 思想 是統(tǒng)領全局的總綱 方法 是可以具體操作的解題方法 思想 與 方法 是密不可分的整體 在高考中主要考查函數(shù)與方程思想 數(shù)形結合思想 化歸與轉化思想 分類與整合思想等數(shù)學思想方法 1 函數(shù)思想就是通過建立函數(shù)關系或構造函數(shù) 運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題 轉化問題 從而使問題得到解決 方程思想就是將所求的量設成未知數(shù) 根據(jù)題中的等量關系 列方程 組 通過解方程 組 或?qū)Ψ匠?組 進行研究 以求得問題的解決 2 數(shù)形結合思想就是通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想 主要包括以下兩個方面 1 以形助數(shù) 把某些抽象的數(shù)學問題直觀化 生動化 能夠變抽象思維為形象思維 揭示數(shù)學問題的本質(zhì) 2 以數(shù)輔形 把直觀圖形數(shù)量化 使形更加精確 3 轉化與化歸思想就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化 進而解決問題的一種方法 其應用包括以下三個方面 1 將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題 2 將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題 3 將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題 4 分類討論思想是當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時 就需要對研究的對象按某個標準進行分類 然后對每一類分別研究 給出每一類的結論 最終集合各類結果得到整個問題的解答 實質(zhì)上分類討論就是 化整為零 各個擊破 再集零為整 的數(shù)學思想 一 函數(shù)與方程思想 熱點一 函數(shù)與方程思想在不等式中的應用 例1 已知函數(shù)f x 是定義在R上的可導函數(shù) 且對于 x R 均有f x f x 則有 A e2018f 2018 e2018f 0 B e2018f 2018 f 0 f 2018 e2018f 0 D e2018f 2018 f 0 f 2018 e2018f 0 思維建模 函數(shù)與方程思想在不等式中的應用 函數(shù)與不等式的相互轉化 把不等式轉化為函數(shù) 借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關的問題 常涉及不等式恒成立問題 比較大小問題 一般利用函數(shù)思想構造新函數(shù) 建立函數(shù)關系求解 答案 1 B 2 2017 山西三區(qū)八校二模 定義在R上的奇函數(shù)f x 的導函數(shù)滿足f x f x 且f x f x 3 1 若f 2015 e 則不等式f x ex的解集為 答案 2 1 熱點二 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用 例2 2017 全國 卷 記Sn為等比數(shù)列 an 的前n項和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通項公式 2 求Sn 并判斷Sn 1 Sn Sn 2是否成等差數(shù)列 思維建模 數(shù)列的通項與前n項和都是以正整數(shù)為自變量的函數(shù) 可用函數(shù)與方程思想處理數(shù)列問題 涉及特殊數(shù)列 等差 等比數(shù)列 已知Sn與an關系問題 應用方程思想列方程 組 求解 涉及最值問題或參數(shù)范圍問題 應用函數(shù)思想來解決 熱點三 函數(shù)與方程思想在立體幾何 解析幾何中的應用 答案 1 C 思維建模 立體幾何 解析幾何中的求值問題 解析幾何中的位置關系問題常應用方程思想列方程 組 求解 求范圍 最值等問題常選擇恰當?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù) 然后應用有關知識 求函數(shù)的最值或值域 答案 1 C 答案 2 2 二 數(shù)形結合思想 熱點一 利用數(shù)形結合思想研究函數(shù)零點問題 解析 函數(shù)g x f x ax a存在零點等價于方程f x ax a 0 即f x a x 1 有解等價于函數(shù)y f x 與y a x 1 的圖象有交點 思維建模 解函數(shù)零點個數(shù)問題常應用數(shù)形結合思想轉化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題 解函數(shù)零點和問題 常應用數(shù)形結合思想利用圖象的對稱性求解 解析 1 函數(shù)y f x a x 恰有4個零點 須y1 f x 與y2 a x 的圖象有4個不同的交點 如圖所示 由圖可知 當y2 ax x 0 與y1 x2 5x 4 4 x 1 相切時 方程x2 5 a x 4 0有兩個相等實數(shù)根 則 5 a 2 16 0 且a 5 0 解得a 1 a 9舍去 所以當x 0時 y1 x2 5x 4與y2 ax的圖象有3個交點 顯然當1 a 2時 兩函數(shù)的圖象恰有4個不同交點 即函數(shù)y f x a x 恰有4個零點 故選B 2 2018 石家莊市質(zhì)檢 已知M是函數(shù)f x 2x 3 8sin x x R 的所有零點之和 則M的值為 A 3 B 6 C 9 D 12 熱點二 利用數(shù)形結合思想解決最值問題 例5 已知實系數(shù)一元二次方程x2 ax 2b 0有兩個根x1 x2 x1 0 1 x2 1 2 求 1 點 a b 對應區(qū)域的面積 3 a 1 2 b 2 2的值域 解 3 a 1 2 b 2 2表示區(qū)域內(nèi)的點 a b 與定點D 1 2 之間距離的平方因為 AD 2 17 CD 2 8 所以8 a 1 2 b 2 2 17 所以 a 1 2 b 2 2的值域為 8 17 思維建模 在約束條件下求目標函數(shù)最值問題 應用數(shù)形結合思想 畫出可行域 根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義求解 最優(yōu)解一般在可行域的頂點或邊界處取得 因此對于可行域為封閉型的線性規(guī)劃問題 可以直接解出可行域的所有頂點坐標 然后將坐標分別代入目標函數(shù)求出相應的值 從而確定目標函數(shù)的最值 熱點三 利用數(shù)形結合思想解決不等式 參數(shù)問題 例6 1 2018 石家莊市質(zhì)檢 已知f x 為奇函數(shù) 且當x 0時 f x 單調(diào)遞增 f 1 0 若f x 1 0 則x的取值范圍為 A x 02 B x x2 C x x3 D x x1 解析 1 因為函數(shù)f x 為奇函數(shù) 所以f 1 f 1 0 又函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 所以可作出函數(shù)f x 的示意圖 如圖 則不等式f x 1 0可轉化為 11 解得02 故選A 思維建模 利用函數(shù)的圖象解決不等式問題 通常根據(jù)不等式中量的特點 選擇適當?shù)膬蓚€ 或多個 函數(shù) 若函數(shù)為不熟悉的形式 需要做適當?shù)淖冃?轉化為熟悉的函數(shù) 然后在同一坐標系中做出兩個函數(shù)的圖象 利用圖象的位置 找到數(shù)量關系 從而解決不等式的問題 答案 1 D 答案 2 5 三 化歸與轉化思想 熱點一 特殊與一般的轉化 思維建模 把一般問題特殊化 解答選擇題 填空題常能起到事半功倍的效果 既準確又迅速 要注意恰當利用所學知識 恰當選擇特殊量 化一般為特殊的應用 熱點訓練6 1 2017 甘肅蘭州一診 已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若a3 a5 a7 24 則S9等于 A 36 B 72 C 144 D 288 熱點二 函數(shù) 方程 不等式之間的轉化 思維建模 函數(shù) 方程與不等式就像 一胞三兄弟 解決方程 不等式的問題需要函數(shù)幫助 解決函數(shù)的問題需要方程 不等式的幫助 因此借助于函數(shù) 方程 不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡 一般可將不等關系問題轉化為最值 值域 問題 從而求出參變量的范圍 函數(shù) 方程與不等式相互轉化的應用 答案 1 B 答案 2 2 熱點三 正難則反的轉化 思維建模 若問題直接求解困難時 可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題 四 分類討論思想 熱點一 由數(shù)學概念 性質(zhì) 運算引起的分類討論 答案 1 A 2 2017 安徽阜陽二模 等比數(shù)列 an 中 a1 a4 a7 2 a3 a6 a9 18 則 an 的前9項和S9 答案 2 14或26 思維建模 1 由二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)的定義 直線的傾斜角 向量的夾角的范圍等引起分類討論 2 由除法運算中除數(shù)不為零 不等式兩邊同乘以 或除以 同一個數(shù) 或式 時的不等號等引起分類討論 3 由數(shù)學公式 定理 性質(zhì)成立的條件等引起分類討論 數(shù)學概念運算公式中常見的分類 答案 1 C 解析 1 當 7 x 0時 f x x 1 0 6 當e 2 x e時 f x lnx單調(diào)遞增 得f x 2 1 綜上 f x 2 6 若存在實數(shù)m 使f m 2g a 0 則有 2 2g a 6 即 1 a2 2a 3 1 a 3 故選C 2 在等比數(shù)列 an 中 已知a3 4 S3 12 則a1 答案 2 16或4 熱點二 由圖形位置或形狀引起的分類討論 思維建模 圖形位置或形狀的變化中常見的分類圓錐曲線形狀不確定時 常按橢圓 雙曲線來分類討論 求圓錐曲線的方程時 常按焦點的位置不同來分類討論 相關計算中 涉及圖形問題時 也常按圖形的位置不同 大小差異等來分類討論 熱點三 由變量或參數(shù)引起的分類討論 例12 2018 南昌市摸底 設函數(shù)f x 2lnx mx2 1 1 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 2 當f x 有極值時 若存在x0 使得f x0 m 1成立 求實數(shù)m的取值范圍 思維建模 解含參數(shù)不等式 方程 函數(shù)問題及含參數(shù)方程中曲線類型的判定問題 常按參數(shù)的取值不同分類討論