2019屆高考數(shù)學二輪復習 第一篇 思想、方法與技巧 1.1 函數(shù)與方程思想課件.ppt

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第一篇思想方法技巧第一講函數(shù)與方程思想 微題型一函數(shù)與方程思想在函數(shù) 方程 不等式中的應用 典例1 1 已知f x log2x x 2 16 對于函數(shù)f x 值域內的任意實數(shù)m 則使x2 mx 4 2m 4x 恒成立的實數(shù)x的取值范圍為 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 2 直線y a分別與曲線y 2 x 1 y x lnx交于A B兩點 則 AB 的最小值 為 A 3B 2C D 思路點撥 解析 1 選D 因為x 2 16 所以f x log2x 1 4 即m 1 4 不等式x2 mx 4 2m 4x恒成立 即為m x 2 x 2 2 0恒成立 設g m x 2 m x 2 2 則此函數(shù)在 1 4 上恒大于0 解得x2 2 選D 當y a時 2 x 1 a 所以 設方程x lnx a的根為t t 0 則t lnt a 則設令g t 0 得t 1 當t 0 1 時 g t 0 所以所以 AB 的最小值為 方法點睛 函數(shù)與方程思想在函數(shù) 方程 不等式中的應用技巧 1 求字母 式子 的值的問題往往要根據(jù)題設條件構建以待求字母 式子 為元的方程 組 然后由方程 組 求得 2 求參數(shù)的取值范圍一般有兩種途徑 其一 充分挖掘題設條件中的不等關系 構建以待求字母為元的不等式 組 求解 其二 充分應用題設中的等量關系 將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù) 然后應用函數(shù)知識求值域 3 在解決不等式問題時 一種最重要的思想方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù) 利用函數(shù)的圖象和性質解決問題 同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中 需要確定合適的變量和參數(shù) 從而揭示函數(shù)關系 使問題更明朗化 一般地 已知存在范圍的量為變量 而待求范圍的量為參數(shù) 跟蹤訓練 1 已知函數(shù)g x x2 2bx 4 若對任意x1 0 2 x2 1 2 不等式f x1 g x2 恒成立 則實數(shù)b的取值范圍為 解析 對任意x1 0 2 x2 1 2 不等式f x1 g x2 恒成立 等價于f x min g x max 令f x 0得x2 4x 3 0 解得1 x 3 故函數(shù)f x 的單調遞增區(qū)間是 1 3 單調遞減區(qū)間是 0 1 和 3 故在區(qū)間 0 2 上 1是函數(shù)f x 的極小值點 這個極小值點是唯一的 故也是最小值點 所以f x min f 1 x 0 2 由于函數(shù)g x x2 2bx 4 x 1 2 當b2時 g x max g 2 4b 8 故問題等價于答案 微題型二函數(shù)與方程思想在三角函數(shù) 平面向量中的應用 典例2 1 若方程cos2x sinx a 0在上有解 則a的取值范圍是 2 2018 秦皇島一模 已知向量a 1 b 2 1 若 a b a b 則實數(shù) 的值為 A 1B 2C 1D 2 思路點撥 解析 1 方法一 把方程變形為a cos2x sinx 設f x cos2x sinx x 顯然 當且僅當a屬于f x 的值域時有解 因為f x 1 sin2x sinx 且由x 知sinx 0 1 易求得f x 的值域為 1 1 故a的取值范圍是 1 1 方法二 令t sinx 由x 可得t 0 1 將方程變?yōu)閠2 t 1 a 0 依題意 該方程在 0 1 上有解 設f t t2 t 1 a 其圖象是開口向上的拋物線 對稱軸 t 如圖所示 因此 f t 0在 0 1 上有解等價于所以 1 a 1 故a的取值范圍是 1 1 答案 1 1 2 選A 方法一 由 a b a b 可得a2 b2 2a b a2 b2 2a b 所以a b 0 故a b 1 2 1 2 2 1 0 解得 1 方法二 a b 2 2 2 a b 2 0 由 a b a b 可得 2 2 2 4 4 解得 1 方法點睛 函數(shù)與方程思想在三角函數(shù) 平面向量中的應用技巧 1 研究此類含參數(shù)的三角函數(shù)方程的問題 通常有兩種處理思路 一是分離參數(shù)構建函數(shù) 將方程有解轉化為求函數(shù)的值域 二是換元 將復雜方程問題轉化熟悉的二次方程 進而利用二次方程解的分布情況構建不等式或構造函數(shù)加以解決 2 平面向量中含函數(shù) 方程 的相關知識 對平面向量的模進行平方處理 把模問題轉化為數(shù)量積問題 再利用函數(shù)與方程思想來分析與處理 這是解決此類問題的一種比較常見的思維方式 跟蹤訓練 2 如圖 A是單位圓與x軸的交點 點P在單位圓上 AOP 0 四邊形OAQP的面積為S 當取得最大值時 的值為 解析 選B 因為所以四邊形OAQP是平行四邊形 于是S 2S AOP 1 1 sin sin 因為所以 cos sin 故的最大值為 此時 微題型三函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的應用 典例3 1 已知數(shù)列 an 滿足a1 33 an 1 an 2n 則的最小值 為 2 2017 全國卷 已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 等比數(shù)列 bn 的前n項和為Tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 若a3 b3 5 求 bn 的通項公式 若T3 21 求S3 思路點撥 解析 1 因為an 1 an 2n 所以當n 2時 an an 1 2 n 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33 1 1 33 故a1滿足上式 所以an n2 n 33 n N 所以f x 在區(qū)間 0 上單調遞減 在區(qū)間 上單調遞增 又5 6 且f 5 5 1 所以當n 6時 有最小值 答案 2 設 an 的公差為d bn 的公比為q 則an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 由a3 b3 5得2d q2 6 聯(lián)立 和 解得 因此 bn 的通項公式bn 2n 1 由b1 1 T3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 當q 5時 由 得d 8 則S3 21 當q 4時 由 得d 1 則S3 6 方法點睛 數(shù)列問題函數(shù) 方程 化法數(shù)列問題函數(shù) 方程 化法與形式結構函數(shù) 方程 化法類似 但要注意數(shù)列問題中n的取值范圍為正整數(shù) 涉及的函數(shù)具有離散性特點 其一般解題步驟是 第一步 分析數(shù)列式子的結構特征 第二步 根據(jù)結構特征構造函數(shù) 方程 轉化問題形式 第三步 研究函數(shù)性質 結合解決問題的需要研究函數(shù) 方程 的相關性質 主要涉及函數(shù)單調性與最值 值域問題的研究 第四步 回歸問題 結合對函數(shù) 方程 相關性質的研究 回歸問題 跟蹤訓練 3 已知數(shù)列 an 是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列 a1 2 且a2 a3 a4 1成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式an 2 設數(shù)列 an 的前n項和為 若對任意的n N 不等式bn k恒成立 求實數(shù)k的最小值 解析 1 因為a1 2 a2 a4 1 又因為 an 是正項等差數(shù)列 故公差d 0 所以 2 2d 2 2 d 3 3d 列出方程 解得d 2或d 1 舍去 所以數(shù)列 an 的通項公式an 2n 2 由 1 知Sn n n 1 令f x 2x x 1 構造函數(shù) 則f x 2 當x 1時 f x 0恒成立 所以f x 在 1 上是增函數(shù) 故當x 1時 f x min f 1 3 即當n 1時 bn max 要使對任意的正整數(shù)n 不等式bn k恒成立 則需使k bn max 所以實數(shù)k的最小值為 微題型四函數(shù)與方程思想在解析幾何問題中的應用 典例4 1 2016 全國卷 以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A B兩點 交C的準線于D E兩點 已知 AB 4 DE 2 則C的焦點到準線的距離為 世紀金榜導學號 A 2B 4C 6D 8 2 已知橢圓的右焦點為F 1 0 如圖 設左頂點為A 上頂點為B 且 求橢圓C的方程 若過F的直線l交橢圓于M N兩點 試確定 的取值范圍 思路點撥 解析 1 選B 以開口向右的拋物線為例來解答 其他開口同理可得 設拋物線為y2 2px p 0 設圓的方程為x2 y2 r2 題目條件翻譯如圖 設點A x0 2 在拋物線y2 2px上 所以8 2px0 點在圓x2 y2 r2上 所以5 r2 點A x0 2 在圓x2 y2 r2上 所以 8 r2 聯(lián)立 解得 p 4 焦點到準線的距離為p 4 2 由已知 得A a 0 B 0 b F 1 0 則由 得b2 a 1 0 列出方程 因為b2 a2 1 所以a2 a 2 0 解得a 2 所以a2 4 b2 3 所以橢圓C的方程為 若直線l斜率不存在 則l x 1 此時 若直線l斜率存在 設l y k x 1 M x1 y1 N x2 y2 則由消去y得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 列出方程 所以所以 x1 1 y1 x2 1 y2 1 k2 x1x2 x1 x2 1 轉化為函數(shù) 因為k2 0 方法點睛 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用 1 利用方程求橢圓離心率的方法第一步 設橢圓的標準方程 第二步 轉化幾何 向量 三角等關系為數(shù)量關系 第三步 利用方程思想建立a b c的關系式 構建離心率 a b 0 2 解析幾何中的最值問題解析幾何中的最值是高考的熱點 在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn) 求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中 抓住函數(shù)關系 將目標量表示為一個 或者多個 變量的函數(shù) 然后借助函數(shù)最值的探求來使問題得以解決 4 2018 安慶一模 已知圓M x2 y2 r2 r 0 與直線l1 x y 4 0相切 設點A為圓上一動點 AB x軸于點B 且動點N滿足 設動點N的軌跡為曲線C 1 求曲線C的方程 2 直線l與直線l1垂直且與曲線C交于P Q兩點 求 OPQ O為坐標原點 面積的最大值 解析 1 設動點N x y A x0 y0 因為AB x軸于B 所以B x0 0 由題意得 所以圓M的方程為M x2 y2 4 因為 所以 0 y0 2 x0 x y 即將A x 2y 代入圓M x2 y2 4中 得動點N的軌跡方程為 2 由題意 設直線l x y m 0 P x1 y1 Q x2 y2 聯(lián)立直線l與橢圓C的方程得消去y 得13x2 8mx 4m2 4 0 192m2 4 13 4m2 4 16 m2 13 0 解得m2 13 又點O到直線l的距離 當且僅當m2 13 m2 即m 時 等號成立 所以 OPQ面積的最大值為1