2019屆高考數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11節(jié) 第一課時 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性課件 理 新人教版.ppt

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第11節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 考綱展示1 了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 會求函數(shù)的單調區(qū)間 其中多項式函數(shù)不超過三次 2 了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件 會用導數(shù)求函數(shù)的極大值 極小值 其中多項式函數(shù)不超過三次 會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值 最小值 其中多項式函數(shù)不超過三次 3 會用導數(shù)解決實際問題 知識梳理自測 考點專項突破 知識梳理自測把散落的知識連起來 教材導讀 1 若函數(shù)f x 在 a b 內單調遞增 那么一定有f x 0嗎 f x 0是否是f x 在 a b 內單調遞增的充要條件 提示 函數(shù)f x 在 a b 內單調遞增 則f x 0 f x 0是f x 在 a b 內單調遞增的充分不必要條件 2 f x0 0是可導函數(shù)f x 在x x0處取極值的什么條件 提示 必要不充分條件 因為當f x0 0且x0左右兩端的導數(shù)符號變化時 才能說f x 在x x0處取得極值 反過來 如果可導函數(shù)f x 在x x0處取極值 則一定有f x0 0 知識梳理 1 函數(shù)的單調性與導數(shù) 1 函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內可導 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內 單調遞增 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內 如果在某個區(qū)間內恒有f x 0 則f x 為常函數(shù) 2 單調性的應用若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上單調 則y f x 在該區(qū)間上不存在變號零點 2 函數(shù)的極值與導數(shù) 1 函數(shù)極小值的概念 函數(shù)y f x 在點x a的函數(shù)值f a 比它在點x a附近其他點的函數(shù)值都小 單調遞減 f a 0 在點x a附近的左側 右側 則點a叫做函數(shù)y f x 的 f a 叫做函數(shù)y f x 的 2 函數(shù)極大值的概念 函數(shù)y f x 在點x b的函數(shù)值f b 比它在點x b附近其他點的函數(shù)值都大 f b 0 在點x b附近的左側 右側 則點b叫做函數(shù)y f x 的 f b 叫做函數(shù)y f x 的 極小值點與極大值點統(tǒng)稱為 極小值與極大值統(tǒng)稱為 f x 0 f x 0 極小值點 極小值 f x 0 f x 0 極大值點 極大值 極值點 極值 3 函數(shù)的最值與導數(shù)求函數(shù)y f x 在閉區(qū)間 a b 上的最大值與最小值的步驟 1 求y f x 在 a b 內的 2 將函數(shù)y f x 的各極值與端點處的函數(shù)值f a f b 比較 其中的一個為最大值 的一個為最小值 極值 最大 最小 4 利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題 1 分析實際問題中各變量之間的關系 建立實際問題的數(shù)學模型 寫出相應的函數(shù)關系式y(tǒng) f x 并確定定義域 2 求導數(shù)f x 解方程f x 0 3 判斷使f x 0的點是極大值點還是極小值點 4 確定函數(shù)的最大值或最小值 還原到實際問題中作答 重要結論 1 若函數(shù)f x 的圖象連續(xù)不斷 則f x 在 a b 內一定有最值 2 若函數(shù)f x 在 a b 內是單調函數(shù) 則f x 一定在區(qū)間端點處取得最值 3 若函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內只有一個極值點 則相應的極值一定是函數(shù)的最值 4 極值與最值的關系 極值只能在定義域內取得 不包括端點 最值卻可以在端點處取得 有極值的不一定有最值 有最值的也未必有極值 極值有可能成為最值 非常數(shù)可導函數(shù)最值只要不在端點處取 則必定在極值處取 雙基自測 1 下列函數(shù)中 在 2 內為增函數(shù)的是 A 3sinx B x 3 ex C x3 15x D lnx x B 解析 3sinx 3cosx x 3 ex x 3 ex x 3 ex x 2 ex x3 15x 3x2 15 lnx x 1 當x 2時 只有 x 3 ex 0恒成立 故選B 2 已知函數(shù)f x x3 px2 qx的圖象與x軸切于點 1 0 則f x 的極大值 極小值分別為 A 3 若函數(shù)f x kx lnx在區(qū)間 1 單調遞增 則k的取值范圍是 A 2 B 1 C 2 D 1 D 4 函數(shù)y x 1 ex的最小值為 解析 由y x 2 ex 可知x 2為函數(shù)在定義域內唯一的極小值點 也是最小值點 故其最小值為 e 2 答案 e 2 5 給出下列命題 f x 0是f x 為增函數(shù)的充要條件 函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內的極大值是唯一的 函數(shù)的極大值不一定比極小值大 對可導函數(shù)f x f x0 0是x0點為極值點的充要條件 函數(shù)的最大值不一定是極大值 函數(shù)的最小值也不一定是極小值 其中真命題是 寫出所有真命題的序號 解析 錯誤 f x 0能推出f x 為增函數(shù) 反之不一定 如函數(shù)f x x3在 上單調遞增 但f x 0 所以f x 0是f x 為增函數(shù)的充分條件 但不是必要條件 錯誤 一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內的極大值可以不止一個 正確 一個函數(shù)的極大值與極小值沒有確定的大小關系 極大值可能比極小值大 也可能比極小值小 還可能與極小值相等 錯誤 對可導函數(shù)f x f x0 0只是x0點為極值點的必要條件 如y x3在x 0時f 0 0 而函數(shù)在R上為增函數(shù) 所以0不是極值點 正確 當函數(shù)僅在區(qū)間端點處取得最值時 這時的最值不是極值 答案 第一課時利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 考點專項突破在講練中理解知識 考點一 利用導數(shù)研究函數(shù)單調區(qū)間 考查角度1 不含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間 例1 2016 北京卷 設函數(shù)f x xea x bx 曲線y f x 在點 2 f 2 處的切線方程為y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的單調區(qū)間 解 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 與1 x ex 1同號 令g x 1 x ex 1 則g x 1 ex 1 所以 當x 1 時 g x 0 g x 在區(qū)間 1 上單調遞增 故g 1 1是g x 在區(qū)間 上的最小值 從而g x 0 x 綜上可知 f x 0 x 故f x 的單調遞增區(qū)間為 反思歸納用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間的 三個方法 1 當不等式f x 0或f x 0或f x 0或f x 0及方程f x 0均不可解時要對f x 的解析式或部分解析式進行二次求導 從而確定f x 的符號及零點 考查角度2 根據(jù)導函數(shù)零點大小與定義域的關系討論函數(shù)的單調區(qū)間 例2 2017 冀州月考 設函數(shù)f x alnx 其中a為常數(shù) 1 若a 0 求曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 討論函數(shù)f x 的單調性 反思歸納含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間 需根據(jù)參數(shù)取值范圍討論求解 其討論方法主要是考慮導函數(shù)零點是否存在 若存在 有幾個 導函數(shù)零點如何劃分定義域 是否在定義域內 多個零點的大小 導函數(shù)符號是否確定等方面 考查角度3 構造函數(shù)判斷導數(shù)符號 例3 已知函數(shù)f x k為常數(shù) e 2 71828 曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線與x軸平行 1 求k的值 2 求f x 的單調區(qū)間 考點二 函數(shù)導數(shù)與函數(shù)單調性關系的應用 考查角度1 導函數(shù)圖象的理解 例4 導學號38486056 2017 江西臨川模擬 如果函數(shù)y f x 的圖象如圖所示 那么導函數(shù)y f x 的圖象可能是 解析 如圖 由y f x 圖象知 當x0 當x10 當x x2時 y f x 單調遞減 故f x 0 綜上可知 A項符合題意 故選A 反思歸納導函數(shù)f x 圖象在x軸上方時對應的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f x 圖象上升部分對應的區(qū)間 遞增區(qū)間 導函數(shù)f x 圖象在x軸下方時對應的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f x 圖象下降部分對應的區(qū)間 遞減區(qū)間 考查角度2 利用導數(shù)構造函數(shù)解不等式 例5 導學號38486057 2017 沈陽質檢 函數(shù)f x 的定義域為R f 1 2 對任意x R f x 2 則f x 2x 4的解集為 A 1 1 B 1 C 1 D 反思歸納 考查角度3 根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)范圍 1 若函數(shù)g x 在 2 1 內為減函數(shù) 求a的取值范圍 2 若函數(shù)g x 在 2 1 內存在單調遞減區(qū)間 求a的取值范圍 3 若函數(shù)g x 在 2 1 上不單調 求a的取值范圍 反思歸納 1 函數(shù)y f x 在 a b 上是增函數(shù) 或減函數(shù) 則f x 0 或f x 0 在 a b 內恒成立 2 函數(shù)y f x 在 a b 上存在單調遞增 或遞減 區(qū)間 則f x 0 或f x 0 在 a b 內有解 3 函數(shù)y f x 在 a b 內不單調 則y f x 在 a b 內有變號零點 備選例題 例題 2017 滄州質檢 函數(shù)f x ax3 3x2 3x a 0 1 討論f x 的單調性 解 1 f x 3ax2 6x 3 f x 0的判別式 36 1 a 若a 1 則f x 0 且f x 0當且僅當a 1 x 1 故此時f x 在R上是增函數(shù) 2 若f x 在區(qū)間 1 2 是增函數(shù) 求a的取值范圍