高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問(wèn)題課件.ppt

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第2講數(shù)列的求和問(wèn)題 專題四數(shù)列 推理與證明 高考真題體驗(yàn) 熱點(diǎn)分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗(yàn) 1 2 1 2015 福建 在等差數(shù)列 an 中 a2 4 a4 a7 15 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 所以an a1 n 1 d n 2 1 2 2 設(shè)bn n 求b1 b2 b3 b10的值 解由 1 可得bn 2n n 所以b1 b2 b3 b10 2 1 22 2 23 3 210 10 2 22 23 210 1 2 3 10 1 2 2 2014 課標(biāo)全國(guó) 已知 an 是遞增的等差數(shù)列 a2 a4是方程x2 5x 6 0的根 1 求 an 的通項(xiàng)公式 解方程x2 5x 6 0的兩根為2 3 由題意得a2 2 a4 3 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 則a4 a2 2d 1 2 1 2 兩式相減得 考情考向分析 高考對(duì)數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn) 通過(guò)分組轉(zhuǎn)化 錯(cuò)位相減 裂項(xiàng)相消等方法求一般數(shù)列的和 體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想 熱點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化求和 熱點(diǎn)分類突破 有些數(shù)列 既不是等差數(shù)列 也不是等比數(shù)列 若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形 可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差 等比數(shù)列或常見的數(shù)列 即先分別求和 然后再合并 例1等比數(shù)列 an 中 a1 a2 a3分別是下表第一 二 三行中的某一個(gè)數(shù) 且a1 a2 a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解當(dāng)a1 3時(shí) 不合題意 當(dāng)a1 2時(shí) 當(dāng)且僅當(dāng)a2 6 a3 18時(shí) 符合題意 當(dāng)a1 10時(shí) 不合題意 因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 n N 2 若數(shù)列 bn 滿足 bn an 1 nlnan 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Sn 解因?yàn)閎n an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 所以Sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 思維升華 在處理一般數(shù)列求和時(shí) 一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想 把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和 在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列 哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列 清晰正確地求解 在利用分組求和法求和時(shí) 由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的 所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論 最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式 跟蹤演練1在等差數(shù)列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解因?yàn)?an 是一個(gè)等差數(shù)列 所以a3 a4 a5 3a4 84 所以a4 28 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 則5d a9 a4 73 28 45 故d 9 由a4 a1 3d得28 a1 3 9 即a1 1 所以an a1 n 1 d 1 9 n 1 9n 8 n N 2 對(duì)任意m N 將數(shù)列 an 中落入?yún)^(qū)間 9m 92m 內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm 求數(shù)列 bm 的前m項(xiàng)和Sm 解對(duì)m N 若9m an 92m 則9m 8 9n 92m 8 因此9m 1 1 n 92m 1 故得bm 92m 1 9m 1 于是Sm b1 b2 b3 bm 9 93 92m 1 1 9 9m 1 熱點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和 錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法 這種方法主要用于求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和 其中 an bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 例2已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且有a1 2 3Sn 5an an 1 3Sn 1 n 2 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解3Sn 3Sn 1 5an an 1 n 2 又 a1 2 2 若bn 2n 1 an 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn 解bn 2n 1 22 n Tn 1 21 3 20 5 2 1 2n 1 22 n Tn 12 2n 3 22 n 思維升華 1 錯(cuò)位相減法適用于求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和 其中 an 為等差數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 2 所謂 錯(cuò)位 就是要找 同類項(xiàng) 相減 要注意的是相減后得到部分 求等比數(shù)列的和 此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù) 3 為保證結(jié)果正確 可對(duì)得到的和取n 1 2進(jìn)行驗(yàn)證 跟蹤演練2設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a1 1 Sn 1 2Sn n 1 n N 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解 Sn 1 2Sn n 1 當(dāng)n 2時(shí) Sn 2Sn 1 n an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 又S2 2S1 2 a1 S1 1 當(dāng)n 1時(shí) 式也成立 an 1 2n 即an 2n 1 n N 解 an 2n 1 熱點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和 1 求Sn的表達(dá)式 得2SnSn 1 Sn Sn 1 0 由于Sn 0 思維升華 1 裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成an bn k bn k 1 k N 的形式 從而達(dá)到在求和時(shí)某些項(xiàng)相消的目的 在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 使之符合裂項(xiàng)相消的條件 思維升華 2 常化的裂項(xiàng)公式 99 解析 a1 1 an 1 an n 1 a2 a1 2 a3 a2 3 an an 1 n 高考押題精練 1 2 押題依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)以及求和是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容 也是 考試大綱 中明確提出的知識(shí)點(diǎn) 年年在考 年年有變 變的是試題的外殼 即在題設(shè)的條件上有變革 有創(chuàng)新 但在變中有不變性 即解答問(wèn)題的常用方法有規(guī)律可循 1 2 答案1 1 2 2 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn a Sn an 1 a為常數(shù) 且a 0 且4a3是a1與2a2的等差中項(xiàng) 1 求 an 的通項(xiàng)公式 押題依據(jù)錯(cuò)位相減法求和是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn) 本題先利用an Sn的關(guān)系求an 也是高考出題的常見形式 1 2 解 1 當(dāng)n 1時(shí) S1 a S1 a1 1 所以a1 a 當(dāng)n 2時(shí) Sn a Sn an 1 Sn 1 a Sn 1 an 1 1 故 an 是首項(xiàng)a1 a 公比等于a的等比數(shù)列 所以an a an 1 an 故a2 a2 a3 a3 1 2 由4a3是a1與2a2的等差中項(xiàng) 可得8a3 a1 2a2 即8a3 a 2a2 因?yàn)閍 0 整理得8a2 2a 1 0 即 2a 1 4a 1 0 1 2 所以Tn 3 2 5 22 7 23 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2Tn 3 22 5 23 7 24 2n 1 2n 2n 1 2n 1 由 得 Tn 3 2 2 22 23 2n 2n 1 2n 1 1 2 2 2n 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 所以Tn 2 2n 1 2n 1