高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列課件.ppt

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第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列 專題四數(shù)列 推理與證明 高考真題體驗 熱點分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗 1 2 3 4 1 2015 課標全國 已知 an 是公差為1的等差數(shù)列 Sn為 an 的前n項和 若S8 4S4 則a10等于 解析 公差為1 B 1 2 3 4 2 2015 安徽 已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 a1 a4 9 a2a3 8 則數(shù)列 an 的前n項和等于 解析由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3 a1a4 又a2a3 8 a1 a4 9 又數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 a1 1 a4 8 從而a1q3 8 q 2 2n 1 1 2 3 4 3 2014 廣東 若等比數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) 且a10a11 a9a12 2e5 則lna1 lna2 lna20 解析因為a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10ln a10a11 10lne5 50lne 50 50 1 2 3 4 4 2013 江西 某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵 若第一天植2棵 以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍 則需要的最少天數(shù)n n N 等于 解析每天植樹棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列 an 即2n 1 102 n 6 最少天數(shù)n 6 6 考情考向分析 1 等差 等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點 經(jīng)常以小題形式出現(xiàn) 2 數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合問題是高考考查的重點 考查分析問題 解決問題的綜合能力 熱點一等差數(shù)列 等比數(shù)列的運算 熱點分類突破 1 通項公式等差數(shù)列 an a1 n 1 d 等比數(shù)列 an a1 qn 1 2 求和公式 3 性質(zhì)若m n p q 在等差數(shù)列中am an ap aq 在等比數(shù)列中am an ap aq 例1 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若a1 11 a4 a6 6 則當Sn取最小值時 n 解析設(shè)該數(shù)列的公差為d 則a4 a6 2a1 8d 2 11 8d 6 解得d 2 所以當Sn取最小值時 n 6 6 2 已知等比數(shù)列 an 公比為q 其前n項和為Sn 若S3 S9 S6成等差數(shù)列 則q3等于 解析若q 1 則3a1 6a1 2 9a1 得a1 0 矛盾 故q 1 A 思維升華 在進行等差 比 數(shù)列項與和的運算時 若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯 則均可化成關(guān)于a1和d q 的方程組求解 但要注意消元法及整體計算 以減少計算量 跟蹤演練1 1 2015 浙江 已知 an 是等差數(shù)列 公差d不為零 若a2 a3 a7成等比數(shù)列 且2a1 a2 1 則a1 d 2a1 a2 1 2a1 a1 d 1 即3a1 d 1 1 解析在等比數(shù)列中 a1 a2 q2 a3 a4 即q2 2 所以a2011 a2012 a2013 a2014 a1 a2 a3 a4 q2010 3 21005 1005 熱點二等差數(shù)列 等比數(shù)列的判定與證明 數(shù)列 an 是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法 1 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列的兩種基本方法 利用定義 證明an 1 an n N 為一常數(shù) 利用中項性質(zhì) 即證明2an an 1 an 1 n 2 2 證明 an 是等比數(shù)列的兩種基本方法 例2 2014 大綱全國 數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 設(shè)bn an 1 an 證明 bn 是等差數(shù)列 證明由an 2 2an 1 an 2得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首項為1 公差為2的等差數(shù)列 2 求 an 的通項公式 解由 1 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 an an 1 2n 3 an 1 an 2 2n 5 a2 a1 1 累加得an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通項公式為an n2 2n 2 思維升華 1 判斷一個數(shù)列是等差 比 數(shù)列 也可以利用通項公式及前n項和公式 但不能作為證明方法 2 已知數(shù)列 an 中 a1 1 an 1 2an 3 則an 解析由已知可得an 1 3 2 an 3 又a1 3 4 故 an 3 是以4為首項 2為公比的等比數(shù)列 an 3 4 2n 1 an 2n 1 3 2n 1 3 熱點三等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題 解決等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題 要從兩個數(shù)列的特征入手 理清它們的關(guān)系 數(shù)列與不等式 函數(shù) 方程的交匯問題 可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性 最值求解 例3已知等差數(shù)列 an 的公差為 1 且a2 a7 a12 6 1 求數(shù)列 an 的通項公式an與前n項和Sn 解由a2 a7 a12 6得a7 2 a1 4 2 將數(shù)列 an 的前4項抽去其中一項后 剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列 bn 的前3項 記 bn 的前n項和為Tn 若存在m N 使對任意n N 總有Sn Tm 恒成立 求實數(shù) 的取值范圍 解由題意知b1 4 b2 2 b3 1 Tm 為遞增數(shù)列 得4 Tm 8 故 Sn max S4 S5 10 若存在m N 使對任意n N 總有Sn6 即實數(shù) 的取值范圍為 6 思維升華 1 等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題 常用 基本量法 求解 但有時靈活地運用性質(zhì) 可使運算簡便 2 數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù) 然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題 3 數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù) 通過求數(shù)列的值域求解 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 因為S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即4a5 a3 故等比數(shù)列 an 的通項公式為 當n為奇數(shù)時 Sn隨n的增大而減小 當n為偶數(shù)時 Sn隨n的增大而增大 高考押題精練 1 2 3 4 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且a1 0 a3 a10 0 a6a70的最大自然數(shù)n的值為 A 6B 7C 12D 13 押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和是數(shù)列最基本的知識點 也是高考的熱點 可以考查學生靈活變換的能力 1 2 3 4 解析 a1 0 a6a70 a70 a1 a13 2a70 S130的最大自然數(shù)n的值為12 答案C 1 2 3 4 A 1B 2C 4D 8 押題依據(jù)等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題可反映知識運用的綜合性和靈活性 是高考出題的重點 1 2 3 4 解析設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 解得a7 0 舍去 或a7 2 所以b7 a7 2 答案C 1 2 3 4 押題依據(jù)本題在數(shù)列 方程 不等式的交匯處命題 綜合考查學生應用數(shù)學的能力 是高考命題的方向 1 2 3 4 解析由a7 a6 2a5 得a1q6 a1q5 2a1q4 整理有q2 q 2 0 解得q 2或q 1 與條件中等比數(shù)列的各項都為正數(shù)矛盾 舍去 1 2 3 4 答案A 1 2 3 4 4 已知等比數(shù)列 an 中 a4 a6 10 則a1a7 2a3a7 a3a9 押題依據(jù)等比數(shù)列基本量的計算和等比數(shù)列的性質(zhì)是近幾年高考的熱點 反映了解題中的整體化思想 所以a1a7 2a3a7 a3a9 a4 a6 2 102 100 100