高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第11篇 第4節(jié) 證明方法課件 理 新人教A版 .ppt

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第4節(jié)證明方法 基礎(chǔ)梳理 1 直接證明 1 綜合法定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 經(jīng)過(guò)一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出 的證明方法 所要證明的結(jié)論 成立 2 分析法定義 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為 已知條件 定理 定義 公理等 為止的證明方法 判定一個(gè) 明顯成立的條件 質(zhì)疑探究1 綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系 提示 1 分析法的特點(diǎn)是 從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其逐步推理 實(shí)際上是尋求它成立的充分條件 2 綜合法的特點(diǎn)是 從 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 實(shí)際上是尋找它成立的必要條件 3 分析法易于探索解題思路 綜合法易于過(guò)程表述 在應(yīng)用中視具體情況擇優(yōu)選之 2 間接證明 反證法一般地 假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過(guò)正確的推理 最后得出矛盾 因此說(shuō)明 從而證明了 這樣的證明方法叫做反證法 不成立 假設(shè)錯(cuò)誤 原命題成立 3 數(shù)學(xué)歸納法一般地 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進(jìn)行 1 歸納奠基 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 n0 N 時(shí)命題成立 2 歸納遞推 假設(shè)n k k n0 k N 時(shí)命題成立 證明當(dāng) 時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟 就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 n k 1 質(zhì)疑探究2 數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系 提示 數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想 第一步是遞推的基礎(chǔ) 第二步是遞推的依據(jù) 兩個(gè)步驟缺一不可 否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 1 第一步中 驗(yàn)算n n0中的n0不一定為1 根據(jù)題目要求 有時(shí)可為2或3等 2 第二步中 證明n k 1時(shí)命題成立的過(guò)程中 一定要用到歸納假設(shè) 掌握 一湊假設(shè) 二湊結(jié)論 的技巧 答案 C 解析 因?yàn)閍2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 故選D 答案 D 3 2014東營(yíng)模擬 用反證法證明命題 若a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一個(gè)能被5整除 時(shí) 假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是 A a b都能被5整除B a b都不能被5整除C a b不都能被5整除D a能被5整除解析 至少有一個(gè) 的反面應(yīng)是 一個(gè)都沒(méi)有 故應(yīng)選B 答案 B 4 2014吉林長(zhǎng)春一模 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 時(shí) 當(dāng)n 1時(shí)左邊表達(dá)式是 從k k 1需增添的項(xiàng)是 解析 因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 時(shí) 當(dāng)n 1時(shí)2n 1 3 所以左邊表達(dá)式是1 2 3 從k k 1需增添的項(xiàng)的是4k 5或 2k 2 2k 3 答案 1 2 34k 5 或 2k 2 2k 3 考點(diǎn)突破 例1 2014南昌模擬 對(duì)于定義域?yàn)?0 1 的函數(shù)f x 如果同時(shí)滿足以下三條 對(duì)任意的x 0 1 總有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 則稱函數(shù)f x 為理想函數(shù) 試判斷g x 2x 1 x 0 1 是否為理想函數(shù) 如果是 請(qǐng)予證明 如果不是 請(qǐng)說(shuō)明理由 思維導(dǎo)引 對(duì)三個(gè)條件逐一驗(yàn)證 若都滿足 則g x 是理想函數(shù) 否則不是理想函數(shù) 綜合法 解 g x 2x 1 x 0 1 是理想函數(shù) 證明如下 因?yàn)閤 0 1 所以2x 1 2x 1 0 即對(duì)任意x 0 1 總有g(shù) x 0 滿足條件 g 1 21 1 2 1 1 滿足條件 當(dāng)x1 0 x2 0 x1 x2 1時(shí) g x1 x2 2x1 x2 1 g x1 g x2 2x1 1 2x2 1 于是g x1 x2 g x1 g x2 2x1 x2 1 2x1 1 2x2 1 2x1 2x2 2x1 2x2 1 2x1 1 2x2 1 由于x1 0 x2 0 所以2x1 1 0 2x2 1 0 于是g x1 x2 g x1 g x2 0 因此g x1 x2 g x1 g x2 滿足條件 故函數(shù)g x 2x 1 x 0 1 是理想函數(shù) 1 用綜合法證題是從已知條件出發(fā) 逐步推向結(jié)論 2 在用綜合法證明時(shí) 注意邏輯表達(dá)清晰 因果關(guān)系明確 分析法 1 分析法的證明思路 先從結(jié)論入手 由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件 而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題 定義 公理 定理 法則 公式等 或要證命題的已知條件時(shí)命題得證 2 用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性 常常用 要證 欲證 即要證 就要證 等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng) 再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立 反證法 數(shù)學(xué)歸納法 1 利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與n有關(guān)的命題 也可以解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索性問(wèn)題 其基本模式是 歸納 猜想 證明 證明的關(guān)鍵是 假設(shè)n k k N k n0 時(shí)命題成立 由歸納假設(shè)推證n k 1時(shí)命題成立 2 證明n k 1 k N k n0 時(shí)命題成立的常用技巧 分析n k 1時(shí)命題與n k時(shí)命題形式的差別 確定證明目標(biāo) 證明恒等式時(shí)常用乘法公式 因式分解 添拆項(xiàng)配方等 證明不等式常用分析法 綜合法 放縮法等