高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 理 新人教A版.ppt

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理 第7節(jié)立體幾何中的向量方法 理解直線的方向向量與平面的法向量 能用向量語(yǔ)言表述直線與直線 直線與平面 平面與平面的垂直 平行關(guān)系 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理 包括三垂線定理 能用向量方法解決直線與直線 直線與平面 平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題 了解向量方法在研究立體幾何中的應(yīng)用 能用向量法解決空間的距離問(wèn)題 整合 主干知識(shí) 1 用向量證明空間中的平行或垂直 1 直線的方向向量 直線的方向向量就是指和這條直線所對(duì)應(yīng)向量 或共線 的向量 顯然一條直線的方向向量有 個(gè) 2 若直線l 取直線l的方向向量a 則向量a叫做平面 的法向量 顯然一個(gè)平面的法向量也有 個(gè) 它們是 向量 平行 無(wú)數(shù) 無(wú)數(shù) 共線 質(zhì)疑探究 在求平面法向量時(shí) 所列方程組中有三個(gè)變量 但只有兩個(gè)方程 如何處理 提示 給其中某一變量恰當(dāng)賦值 求出該方程組的一組非零解 即可以作為平面法向量的坐標(biāo) 3 用向量證明空間中的平行關(guān)系 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 則l1 l2 或l1與l2重合 v1 v2 設(shè)直線l的方向向量為v 與平面 共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2 則l 或l 存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x y使v xv1 yv2 設(shè)直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u 則l 或l v u 設(shè)平面 和 的法向量分別為u1 u2 則 u1 u2 4 用向量證明空間中的垂直關(guān)系 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 則l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 設(shè)直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u 則l v u 設(shè)平面 和 的法向量分別為u1和u2 則 u1 u2 u1 u2 0 2 用向量計(jì)算空間角和距離空間向量與空間角的關(guān)系 1 設(shè)異面直線l1 l2的方向向量分別為m1 m2 則l1與l2所成的角 滿足cos cos m1 m2 2 設(shè)直線l的方向向量和平面 的法向量分別為m n 則直線l與平面 所成角 滿足sin cos m1 m2 如圖 n1 n2分別是二面角 l 的兩個(gè)半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 1 2015 西安模擬 若直線l的方向向量為a 1 1 2 平面 的法向量為u 2 2 4 則 A l B l C l D l與 斜交解析 因?yàn)橹本€l的方向向量a 1 1 2 與平面 的法向量u 2 2 4 共線 則說(shuō)明了直線與平面垂直 故選B 答案 B 2 設(shè)平面 的法向量為 1 2 2 平面 的法向量為 2 4 k 若 則k等于 A 2B 4C 4D 2答案 C 3 如圖所示 在正方體ABCD A1B1C1D1中 O是底面正方形ABCD的中心 M是D1D的中點(diǎn) N是A1B1的中點(diǎn) 則直線NO AM的位置關(guān)系是 A 平行B 相交C 異面垂直D 異面不垂直 答案 C 4 長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 AD 1 E為CC1的中點(diǎn) 則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 答案 聚集 熱點(diǎn)題型 典例賞析1 2015 湖北省八校聯(lián)考 如圖 直三棱柱ABC A B C 的側(cè)棱長(zhǎng)為3 AB BC 且AB BC 3 點(diǎn)E F分別是棱AB BC上的動(dòng)點(diǎn) 且AE BF 1 求證 無(wú)論E在何處 總有B C C E 用向量證明垂直或求異面直線所成的角 2 當(dāng)三棱錐B EB F的體積取得最大值時(shí) 求異面直線A F與AC所成角的余弦值 思路索引 1 借助于線面關(guān)系證明B C 面ABC 從而可證B C C E 當(dāng)VB EB F為最大值確定E F 的位置 解三角形求角的余弦值 2 以B為原點(diǎn)建系 用向量求解 解析 法一 1 證明 由題意知 四邊形BB C C是正方形 連接AC BC 則B C BC 又AB BC BB AB AB 平面BB C C B C AB B C 平面ABC 又C E 平面ABC B C C E 變式訓(xùn)練 1 2014 鄭州第一次質(zhì)檢 如圖 正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直 已知BC 2AD 4 ABC 60 BF AC 1 求證 AC 平面ABF 2 求異面直線BE與AC所成的角的余弦值 典例賞析2 用向量證明平行或求二面角 1 證明 PQ 平面BCD 2 若二面角C BM D的大小為60 求 BDC的大小 思路索引 立體幾何題目一般有兩種思路 傳統(tǒng)法和向量法 傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關(guān)定義 定理 通過(guò)邏輯推理證明來(lái)完成 1 要證明線面平行 根據(jù)判定定理可通過(guò)證明線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn) 2 求二面角要先找到或作出二面角的平面角 再通過(guò)解三角形求解 向量法則是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系 求出相關(guān)的坐標(biāo) 利用向量的計(jì)算完成證明或求解 直線一般求其方向向量 平面一般求其法向量 1 只要說(shuō)明直線的方向向量與對(duì)應(yīng)平面的法向量垂直即可 2 二面角的大小即為兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角 圖 1 2 解 如圖 1 作CG BD于點(diǎn)G 作GH BM于點(diǎn)H 連接CH 因?yàn)锳D 平面BCD CG 平面BCD 所以AD CG 又CG BD AD BD D 故CG 平面ABD 又BM 平面ABD 所以CG BM 又GH BM CG GH G 故BM 平面CGH 所以GH BM CH BM 所以 CHG為二面角C BM D的平面角 圖 2 拓展提高 本題方法一采用了傳統(tǒng)法 在第二問(wèn)中要作出C BM D的平面角 這里采用了棱BM的垂面 面CGH 法 作 證 算于一體 二面角的做法一直是個(gè)難點(diǎn) 不如建系用向量方法求簡(jiǎn)單 如方法二 變式訓(xùn)練 2 2014 四川高考 三棱錐A BCD及其側(cè)視圖 俯視圖如圖所示 設(shè)M N分別為線段AD AB的中點(diǎn) P為線段BC上的點(diǎn) 且MN NP 1 證明 P是線段BC的中點(diǎn) 2 求二面角A NP M的余弦值 1 證明 如圖所示 取BD的中點(diǎn)O 連接AO CO 由側(cè)視圖及俯視圖知 ABD BCD為正三角形 所以AO BD OC BD 因?yàn)锳O OC 平面AOC 且AO OC O 所以BD 平面AOC 又因?yàn)锳C 平面AOC 所以BD AC 取BO的中點(diǎn)H 連接NH PH 又M N H分別為線段AD AB BO的中點(diǎn) 所以MN BD NH AO 因?yàn)锳O BD 所以NH BD 因?yàn)镸N NP 所以NP BD 因?yàn)镹H NP 平面NHP 且NH NP N 所以BD 平面NHP 又因?yàn)镠P 平面NHP 所以BD HP 又OC BD HP 平面BCD OC 平面BCD 所以HP OC 因?yàn)镠為BO的中點(diǎn) 所以P為BC的中點(diǎn) 2 解 方法一 如圖所示 作NQ AC于Q 連接MQ 典例賞析3 2014 福建高考 在平面四邊形ABCD中 AB BD CD 1 AB BD CD BD 將 ABD沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如圖所示 用向量求線面角 1 求證 AB CD 2 若M為AD中點(diǎn) 求直線AD與平面MBC所成角的正弦值 思路索引 1 轉(zhuǎn)化為證明AB 平面BCD 2 利用坐標(biāo)法 解析 1 證明 平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD AB 平面ABD AB BD AB 平面BCD 又CD 平面BCD AB CD 2 解 過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE BD 由 1 知AB 平面BCD BE 平面BCD BD 平面BCD AB BE AB BD 變式訓(xùn)練 3 2015 東北三校模擬 如圖 四棱錐P ABCD中 PD 平面ABCD PD DC 2AD AD DC BCD 45 1 設(shè)PD中點(diǎn)為M 求證 AM 平面PBC 2 求PA與平面PBC所成角的正弦值 典例賞析4 用向量求空間距離 思路索引 借助面SAC 面ABC 建立坐標(biāo)系 求面MNC的法向量 再求距離 解析 取AC的中點(diǎn)O 連接OS OB SA SC AB BC AC SO AC BO 平面SAC 平面ABC 平面SAC 平面ABC AC SO 平面ABC 又 BO 平面ABC SO BO 變式訓(xùn)練 4 2015 天津南開(kāi)調(diào)研 在直三棱柱中 AA1 AB BC 3 AC 2 D是AC的中點(diǎn) 1 求證 B1C 平面A1BD 2 求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離 備課札記 提升 學(xué)科素養(yǎng) 理 向量法求空間角 如圖 已知在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 1 直線BD與平面AA1B1B所成的角為30 AE垂直BD于點(diǎn)E F為A1B1的中點(diǎn) 1 求異面直線AE與BF所成角的余弦值 2 求平面BDF與平面AA1B所成二面角 銳角 的余弦值 審題視角 1 研究的幾何體為長(zhǎng)方體 AB 2 AA1 1 2 所求的是異面直線所成的角和二面角 3 可考慮用空間向量法求解 規(guī)范解答 1 以A為坐標(biāo)原點(diǎn) 以AB AD AA1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 答題模板 利用向量求空間角的步驟 第一步 建立空間直角坐標(biāo)系 第二步 確定點(diǎn)的坐標(biāo) 第三步 求向量 直線的方向向量 平面的法向量 坐標(biāo) 第四步 計(jì)算向量的夾角 或函數(shù)值 第五步 將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角 第六步 反思回顧 查看關(guān)鍵點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范 溫馨提醒 1 利用向量求角是高考的熱點(diǎn) 幾乎每年必考 主要是突出向量的工具性作用 2 本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸 導(dǎo)致建系不規(guī)范 3 將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí) 要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化 否則易錯(cuò) 1 一種思想用向量法解決立體幾何問(wèn)題 是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用 體現(xiàn)了向量的工具性 這種方法可把復(fù)雜的推理證明 輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算 降低了空間想象演繹推理的難度 體現(xiàn)了由 形 轉(zhuǎn) 數(shù) 的轉(zhuǎn)化思想 2 一點(diǎn)注意利用平面的法向量求二面角的大小時(shí) 當(dāng)求出兩半平面 的法向量n1 n2時(shí) 要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向 從而確定二面角與向量n1 n2的夾角是相等 還是互補(bǔ) 這是利用向量求二面角的難點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)