高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題7.1 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想課件 理.ppt

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第1講函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 一 函數(shù)與方程思想 思想概述 函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念 它們之間有著密切的聯(lián)系 函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想 主要依據(jù)題意 構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 或建立相應(yīng)的方程來(lái)解決問(wèn)題 是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn) 方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān) 方程f x 0的解就是函數(shù)y f x 的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 函數(shù)y f x 也可以看作二元方程f x y 0 通過(guò)方程進(jìn)行研究 方程f x a有解 當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f x 的值域 函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要 函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用可從以下幾個(gè)方面思考 1 函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化 對(duì)函數(shù)y f x 當(dāng)y 0時(shí) 就轉(zhuǎn)化為不等式f x 0 借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題 而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開(kāi)不等式 2 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù) 用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要 數(shù)列也可用方程思想求解 3 1 解析幾何中的許多問(wèn)題 需要通過(guò)解二元方程組才能解決 這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論 2 立體幾何中有關(guān)線段 角 面積 體積的計(jì)算 經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決 建立空間直角坐標(biāo)系后 立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切 類型講解 類型一函數(shù)方程思想在不等式恒成立 函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用 例1 已知函數(shù)f x ex ax 其中a 0 1 若對(duì)一切x R f x 1恒成立 求a的取值集合 2 在函數(shù)f x 的圖象上取定兩點(diǎn)A x1 f x1 B x2 f x2 x1 x2 記直線AB的斜率為k 證明 存在x0 x1 x2 使f x0 k成立 1 解f x ex a 令f x 0 得x lna 當(dāng)x lna時(shí) f x 0 當(dāng)x lna時(shí) f x 0 f x 在 lna 上是減函數(shù) 在 lna 上是增函數(shù) 故當(dāng)x lna時(shí) f x 取最小值f lna a alna 于是對(duì)一切x R f x 1恒成立 當(dāng)且僅當(dāng)a alna 1 令g t t tlnt 則g t lnt 當(dāng)0 t 1時(shí) g t 0 g t 單調(diào)遞增 當(dāng)t 1時(shí) g t 0 g t 單調(diào)遞減 故當(dāng)t 1時(shí) g t 取最大值g 1 1 因此 當(dāng)且僅當(dāng)a 1時(shí) 式成立 綜上所述 a的取值集合為 1 規(guī)律方法 1 本題求解的關(guān)鍵在于恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù) 第 1 問(wèn)中x R 恒有f x 1 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f x min 1 即轉(zhuǎn)化為a alna 1 構(gòu)造函數(shù) 求a alna最大值為1 從而把不等式 轉(zhuǎn)化為方程 第 2 問(wèn)中在第 1 問(wèn)中判定 x1 x2 符號(hào) 構(gòu)建函數(shù)F t et t 1 利用單調(diào)性加以確定 抓住函數(shù)這一靈魂 找到解題的利器 2 題目綜合考查導(dǎo)數(shù) 斜率公式 函數(shù)的零點(diǎn) 不等式等基礎(chǔ)知識(shí) 靈活利用函數(shù)方程思想 有效實(shí)施方程 不等式 函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)化 規(guī)律方法 1 等差 等比數(shù)列中 通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和公式 可以看成n的函數(shù) 可以用函數(shù)方法解決 2 而數(shù)列求值問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是解方程 所以 方程思想在數(shù)列問(wèn)題中也有著重要的作用 2 幾何最值是高考的熱點(diǎn) 在圓錐曲線的綜合問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn) 求解此類問(wèn)題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中 抓住函數(shù)關(guān)系 將目標(biāo)量表示為一個(gè) 或者多個(gè) 變量的函數(shù) 然后借助于函數(shù)最值的探求來(lái)使得問(wèn)題得以解決 二 數(shù)形結(jié)合思想 思想概述 數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)結(jié)合 達(dá)到抽象思維和形象思維的和諧統(tǒng)一 通過(guò)對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析 化抽象為直觀 化直觀為精確 從而使問(wèn)題得到解決 數(shù)形結(jié)合包含 以形助數(shù) 和 以數(shù)輔形 兩個(gè)方面 其應(yīng)用大致可以分為兩種情形 一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)形之間的聯(lián)系 即以形作為手段 數(shù)作為目的 比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì) 二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性 即以數(shù)作為手段 形作為目的 如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì) 在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí) 要注意三點(diǎn) 1 要徹底明白一些概念和運(yùn)算法則的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征 對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義 2 選擇好突破口 恰當(dāng)設(shè)參 合理用參 建立關(guān)系 由數(shù)思形 以形想數(shù) 做好數(shù)形轉(zhuǎn)化 3 挖掘隱含條件 準(zhǔn)確界定參數(shù)的取值范圍 參數(shù)的范圍決定圖形的范圍 數(shù)形結(jié)合思想是重要的思維方式 在高考中占有非常重要的地位 近幾年的高考題中的曲線方程問(wèn)題 函數(shù)與不等式問(wèn)題 參數(shù)范圍問(wèn)題 可行域與目標(biāo)函數(shù)最值 向量?jī)芍匦缘?都用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法 它不僅是我們解題的一種思想方法 還是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí) 研究數(shù)學(xué)的有力武器 解析 1 畫可行域如圖所示 類型二解析幾何中的數(shù)形結(jié)合思想 例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 過(guò)定點(diǎn)C 0 p 作直線與拋物線x2 2py p 0 相交于A B兩點(diǎn) 1 若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn) 求 ABN面積的最小值 2 是否存在垂直于y軸的直線l 使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值 若存在 求出l的方程 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解 1 如圖所示 依題意 點(diǎn)N的坐標(biāo)為N 0 p 可設(shè)A x1 y1 B x2 y2 直線AB的方程為y kx p 與x2 2py聯(lián)立消去y得x2 2pkx 2p2 0 2 如圖所示 假設(shè)滿足條件的直線l存在 其方程為y a 設(shè)AC的中點(diǎn)為O l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P Q PQ的中點(diǎn)為H 規(guī)律方法 1 本題是一個(gè)考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的開(kāi)放性問(wèn)題 數(shù)形結(jié)合思想中一個(gè)非常重要的方面是以數(shù)解形 通過(guò)方程等代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題 也就是解析法 解析法與幾何法結(jié)合來(lái)解題 會(huì)有更大的功效 2 此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì) 將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起 觀察圖形特征 轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言 即方程 組 或不等式 組 從而將問(wèn)題解決