高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)與解三角形 第8講 解三角形應(yīng)用舉例課件 文.ppt

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第8講解三角形應(yīng)用舉例 1 解三角形的常見(jiàn)類型及解法 在三角形的6個(gè)元素中要已知三個(gè) 除三個(gè)角外 才能求解 常見(jiàn)類型及其解法如下表所示 續(xù)表 2 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型 測(cè)量距離問(wèn)題 高度問(wèn)題 角度問(wèn)題 計(jì)算面積問(wèn)題 航 海問(wèn)題等 3 實(shí)際問(wèn)題中的常用角 1 仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角 目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角 目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角 如圖3 8 1 1 圖3 8 1 2 方向角 相對(duì)于某正方向的水平角 如南偏東30 北偏西45 等 3 方位角 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角 如B點(diǎn)的 方位角為 如圖3 8 1 2 4 坡度 坡面與水平面所成的二面角的度數(shù) 1 若點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西30 則點(diǎn)B在點(diǎn)A的 A 北偏西30 C 南偏東30 B 北偏西60 D 東偏南30 解析 如圖D15 點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東30 圖D15 C 2 如圖3 8 2 某河段的兩岸可視為平行 在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A B 觀察對(duì)岸的點(diǎn)C 測(cè)得 CAB 75 CBA A 45 且AB 200m 則A C兩點(diǎn)的距離為 圖3 8 2 3 江岸邊有一炮臺(tái)高30m 江中有兩條船 由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45 和30 且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30 角 則兩條船相距 解析 如圖D16 過(guò)炮臺(tái)頂點(diǎn)A作水平面的垂線 垂足為B 設(shè)A處測(cè)得船D的俯角為30 連接BC BD 在Rt ABC中 ACB 45 則AB BC 30m 在Rt ABD中 ADB 30 30 m CBD 30 由余弦定理 得 CD2 BC2 BD2 2BC BD cos CBD 900 2700 2 30 900 CD 30m 答案 D 圖D16 4 一船向正北航行 看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上 繼續(xù)航行半小時(shí)后 看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60 另一燈塔在船的南偏西75 則這艘船的 速度是 A 5海里 時(shí) B 5 海里 時(shí) C 10海里 時(shí) D 10 海里 時(shí) 圖D17答案 C 考點(diǎn)1測(cè)量距離問(wèn)題例1 2014年四川 如圖3 8 3 從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B C的俯角分別為75 30 此時(shí)氣球的高是 60m 則河流的寬度BC 圖3 8 3 答案 C 規(guī)律方法 1 利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中 建立一個(gè)解三角形的模型 2 利用正弦 余弦定理解出所需要的邊和角 求得該數(shù)學(xué)模型的解 互動(dòng)探究 1 在相距2km的A B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)C 若A 75 B 60 則A C兩點(diǎn)之間的距離為 km 考點(diǎn)2 測(cè)量高度問(wèn)題 例2 1 2015年湖北 如圖3 8 4 一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛 到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30 的方向上 行駛600m后到達(dá)B處 測(cè)得此山頂在西偏北75 的方向上 仰角為30 則此山的高度CD m 圖3 8 4 2 2014年新課標(biāo) 如圖3 8 5 為測(cè)量山高M(jìn)N 選擇點(diǎn)A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn) 從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角為 MAN 60 點(diǎn)C的仰角為 CAB 45 以及 MAC 75 從點(diǎn)C測(cè)得 MCA 60 已知山高BC 100m 則山高 MN m 圖3 8 5 答案 150 規(guī)律方法 1 測(cè)量高度時(shí) 要準(zhǔn)確理解仰角 俯角的 概念 2 分清已知量和待求量 分析 畫(huà)出 示意圖 明確在哪個(gè) 三角形內(nèi)運(yùn)用正弦或余弦定理 互動(dòng)探究 2 在200m高的山頂上 測(cè)得山下一塔頂和塔底的俯角分 別是30 60 則塔高為 m 解析 如圖D18 由已知可得 BAC 30 CAD 30 BCA 60 ACD 30 ADC 120 又AB 200m AC 在 ACD中 由余弦定理 得AC2 2CD2 2CD2 cos120 3CD2 圖D18 考點(diǎn)3 測(cè)量角度問(wèn)題 例3 如圖3 8 6 漁船甲位于島嶼A的南偏西60 方向的B處 且與島嶼A相距12海里 漁船乙以10海里 時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行 若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東 的方向追趕漁船乙 剛好用2小時(shí)追上 1 求漁船甲的速度 2 求sin 的值 圖3 8 6 14 海里 時(shí) 解 1 依題意 得 BAC 120 AB 12 AC 10 2 20 海里 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos120 784 解得BC 28 故漁船甲的速度為 BC2 答 漁船甲的速度為14海里 時(shí) 2 在 ABC中 AB 12 BAC 120 BC 28 BCA 規(guī)律方法 關(guān)于角度的問(wèn)題同樣需要在三角形中進(jìn)行 同時(shí)要理解實(shí)際問(wèn)題中常用角的概念 仰角和俯角 方向角 方位角 坡度等 互動(dòng)探究 3 兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等 燈塔A在觀察站北偏東40 燈塔B在觀察站南偏東60 則燈塔A 在燈塔B的 B A 北偏東10 C 南偏東10 B 北偏西10 D 南偏西10 難點(diǎn)突破 三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用 例題 2014年新課標(biāo) 四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ) AB 1 BC 3 CD DA 2 1 求角C和BD 2 求四邊形ABCD的面積 解 1 由題設(shè)及余弦定理 得 BD2 BC2 CD2 2BC CDcosC 13 12cosC BD2 AB2 DA2 2AB DAcosA 5 4cosC 規(guī)律方法 本題與某年北京高考題幾乎完全相同 請(qǐng)思考 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB 2 BC 6 CD DA 4 求四邊形ABCD的面積 解 如圖3 8 7 連接BD 則有四邊形ABCD的面積 圖3 8 7 1 運(yùn)用正弦定理 余弦定理與三角形面積公式可以求有關(guān)三角形的邊 角 外接圓半徑 面積的值或范圍等基本問(wèn)題 2 本節(jié)的難點(diǎn)是三角形形狀的判斷與三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解決 主要是學(xué)生看不到問(wèn)題的本質(zhì) 受到許多非本質(zhì)問(wèn)題的干擾 要加強(qiáng)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力的訓(xùn)練