高考數(shù)學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時1 相似三角形的進一步認識課件 理.ppt

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14 1幾何證明選講 課時1相似三角形的進一步認識 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等 那么在任一條 與這組平行線相交的 直線上截得的線段也 推論1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線 必 推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線 必 2 平行線分線段成比例定理兩條直線與一組平行線相交 它們被這組平行線截得的對應線段 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應線段 相等 平分另一腰 平分第三邊 成比例 成比例 知識梳理 1 答案 3 相似三角形的判定及性質 1 判定定理 2 性質定理 相似三角形的對應線段的比等于 面積比等于 兩角 兩邊 夾角 三邊 相似比 相似比的平方 答案 4 直角三角形的射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該 斜邊上的高的平方等于 直角邊在斜邊上的射影與 斜邊的乘積 兩條直角邊在斜邊上射影 的乘積 答案 1 如圖 在四邊形ABCD中 ABC BAD 求證 AB CD 證明由 ABC BAD得 ACB BDA 故A B C D四點共圓 從而 CAB CDB 由 ABC BAD得 CAB DBA 因此 DBA CDB 所以AB CD 考點自測 2 解析答案 1 2 3 2 如圖 BD AE C 90 AB 4 BC 2 AD 3 求EC的長度 依題意得 ADB ACE 解析答案 1 2 3 3 如圖 在 ABC中 D是AC的中點 E是BD的中點 AE交BC于點F 求的值 解如圖 過點D作DG AF 交BC于點G 易得FG GC 又在 BDG中 BE DE 即EF為 BDG的中位線 1 2 3 解析答案 返回 題型分類深度剖析 例1如圖 在四邊形ABCD中 AC BD交于點O 過點O作AB的平行線 與AD BC分別交于點E F 與CD的延長線交于點K 求證 KO2 KE KF 題型一平行截割定理的應用 解析答案 思維升華 證明延長CK BA 設它們交于點H 因為KO HB 因為KF HB 即KO2 KE KF 思維升華 當條件中給出平行線時 應優(yōu)先考慮平行線分線段成比例定理 在有關比例的計算與證明題中 常結合平行線分線段成比例定理構造平行線解題 作平行線常用的方法有利用中點作中位線 利用比例線段作平行線等 思維升華 1 如圖 在梯形ABCD中 AD BC BD與AC相交于點O 過點O的直線分別交AB CD于E F 且EF BC 若AD 12 BC 20 求EF的長度 解 AD BC EF OE OF 15 跟蹤訓練1 解析答案 2 如圖所示 在 ABC中 DE BC EF CD 若BC 3 DE 2 DF 1 求AB的長 解 DE BC 解析答案 例2如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB E為AC的中點 ED CB延長線交于一點F 求證 FD2 FB FC 證明 E是Rt ACD斜邊上的中點 ED EA A 1 1 2 2 A FDC CDB 2 90 2 FBD ACB A 90 A FBD FDC F是公共角 FBD FDC 題型二相似三角形的判定與性質 解析答案 思維升華 1 判定兩個三角形相似要注意結合圖形的性質特點 靈活選擇判定定理 在一個題目中 相似三角形的判定定理和性質定理可能多次用到 2 相似三角形的性質可用來證明線段成比例 角相等 也可間接證明線段相等 思維升華 1 如圖 AB與CD相交于點E 過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P 已知 A C PD 2DA 2 求PE的長 解 BC PE PED C A PDE PEA 又 PD 2DA 2 PA PD DA 3 跟蹤訓練2 解析答案 2 如圖 四邊形ABCD中 DF AB 垂足為F DF 3 AF 2FB 2 延長FB到E 使BE FB 連結BD EC 若BD EC 求四邊形ABCD的面積 解如圖 過點E作EN DB交DB的延長線于點N 在Rt DFB中 DF 3 FB 1 所以EN為 BCD底邊BD上的高 解析答案 例3如圖 在 ABC中 D F分別在AC BC上 且AB AC AF BC BD DC FC 1 求AC的長 題型三射影定理的應用 解析答案 思維升華 解在 ABC中 設AC為x AB AC AF BC 又FC 1 根據(jù)射影定理 得AC2 FC BC 即BC x2 再由射影定理 得AF2 BF FC BC FC FC 在 BDC中 過D作DE BC于E 解析答案 在Rt DEC中 DE2 EC2 DC2 思維升華 1 在使用直角三角形射影定理時 要學會將 乘積式 轉化為相似三角形中的 比例式 2 證題時 作垂線構造直角三角形是解直角三角形常用的方法 思維升華 1 如圖所示 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于D 且AD BD 9 4 求AC BC 解 AC2 AD AB BC2 BD AB AC2 BC2 AD BD 9 4 AC BC 3 2 跟蹤訓練3 解析答案 2 已知圓的直徑AB 13 C為圓上一點 過C作CD AB于D AD BD 若CD 6 求AD的長 解如圖 連結AC CB AB是 O的直徑 ACB 90 設AD x CD AB于D 由射影定理得CD2 AD DB 即62 x 13 x x2 13x 36 0 解得x1 4 x2 9 AD BD AD 9 解析答案 返回 思想方法感悟提高 1 判定兩個三角形相似的常規(guī)思路 1 先找兩對對應角相等 2 若只能找到一對對應角相等 則判斷相等的角的兩夾邊是否對應成比例 3 若找不到角相等 就判斷三邊是否對應成比例 否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的 傳遞性 2 直角三角形中常用的四個結論在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 如圖 1 A BCD B ACD 2 ABC ACD CBD 3 a2 pc b2 qc h2 pq ab ch 其中c p q 4 在a b p q h五個量中 知道兩個量的值 就能求出其他三個量的值 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 如圖 OAB是等腰三角形 P是底邊AB延長線上一點 且PO 3 PA PB 4 求腰長OA的長度 解如圖 作OD AP 垂足為D 則PO2 PD2 OB2 BD2 所以PO2 OB2 PD2 BD2 因為AD BD 所以PD2 BD2 PD2 AD2 PD AD PD AD PA PB 4 所以PO2 OB2 4 所以OB2 9 4 5 解析答案 2 如圖 B D AE BC ACD 90 且AB 6 AC 4 AD 12 求AE的長 解由于 ACD AEB 90 B D ABE ADC 又AC 4 AD 12 AB 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 3 如圖 Rt ABC中 BAC 90 AD是斜邊BC上的高 若AB AC 2 1 求AD BC BAC 90 AD BC AC2 CD BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 4 在 ABC中 ACB 90 CD AB于D AD BD 2 3 求 ACD與 CBD的相似比 解如圖所示 在Rt ACB中 CD AB 由射影定理得 CD2 AD BD 又 AD BD 2 3 令AD 2x 則BD 3x x 0 又 ADC BDC 90 ACD CBD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 證明 BE是 ABC的角平分線 在Rt ABC中 由射影定理知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 如圖所示 在Rt ABC中 ACB 90 M是BC的中點 CN AM 垂足是N 求證 AB BM AM BN 證明 CM2 MN AM 又 M是BC的中點 又 BMN AMB AMB BMN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 7 如圖所示 平行四邊形ABCD中 E是CD延長線上的一點 BE與AD交于點F DE CD 1 求證 ABF CEB 證明 四邊形ABCD是平行四邊形 A C AB CD ABF CEB ABF CEB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 若 DEF的面積為2 求平行四邊形ABCD的面積 解 四邊形ABCD是平行四邊形 AD BC AB CD DEF CEB DEF ABF S DEF 2 S CEB 18 S ABF 8 S四邊形BCDF S CEB S DEF 16 S四邊形ABCD S四邊形BCDF S ABF 16 8 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 8 如圖 在平行四邊形ABCD中 過點B作BE CD 垂足為E 連結AE F為AE上一點 且 BFE C 1 求證 ABF EAD 證明 AB CD BAF AED 又 BFE C BFE BFA C ADE BFA ADE ABF EAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 若 BAE 30 AD 3 求BF的長 解 BAE 30 AEB 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 9 如圖 在梯形ABCD中 AB CD 且AB 2CD E F分別是AB BC的中點 EF與BD相交于點M 1 求證 EDM FBM 證明 E是AB的中點 AB 2EB AB 2CD CD EB 又 AB CD 四邊形CBED是平行四邊形 CB DE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 若DB 9 求BM F是BC的中點 DE 2BF DM 2BM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 10 如圖 在梯形ABCD中 點E F分別在AB CD上 EF AD 假設EF做上下平行移動 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 證明過點A作AH CD分別交EF BC于點G H 又EG GF EG AD EF 即3EF BC 2AD 解析答案 解EF與BC AD的關系式為5EF 2BC 3AD 理由和 1 類似 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 即 m n EF mBC nAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 返回