高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時2 圓的進一步認識課件 理.ppt

《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時2 圓的進一步認識課件 理.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時2 圓的進一步認識課件 理.ppt（42頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

14 1幾何證明選講 課時2圓的進一步認識 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 圓周角與圓心角定理 1 圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于 2 圓周角定理 圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的 推論1 同弧 或等弧 所對的圓周角 同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧相等 推論2 半圓 或直徑 所對的圓周角等于 反之 90 的圓周角所對的弧為半圓 或弦為直徑 其所對弧的度數(shù) 一半 相等 90 知識梳理 1 答案 2 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 1 判定定理 過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的 2 性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的 推論1 經(jīng)過圓心且與切線垂直的直線必經(jīng)過 推論2 經(jīng)過切點且與切線垂直的直線必經(jīng)過 3 切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線 切線長 4 弦切角定理弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的 切線 半徑 切點 圓心 相等 度數(shù)的一半 答案 5 與圓有關(guān)的比例線段 PC PD BDP PC PD PDB 答案 PB PC PCA PB OPB 6 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 1 性質(zhì)定理 圓內(nèi)接四邊形的對角 2 判定定理 如果四邊形的對角互補 則此四邊形內(nèi)接于圓 互補 答案 1 如圖 從圓O外一點P引圓的切線PC及割線PAB C為切點 求證 AP BC AC CP 證明因為PC為圓O的切線 所以 PCA PBC 又 CPA BPC 故 CAP BCP 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 2 2015 重慶 如圖 圓O的弦AB CD相交于點E 過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 求BE的長 解首先由切割線定理得PA2 PC PD 又CE ED 2 1 因此CE 6 ED 3 再由相交弦定理AE EB CE ED 解析答案 1 2 3 4 3 如圖 ABC中 BC 6 以BC為直徑的半圓分別交AB AC于點E F 若AC 2AE 求EF的長 解 A A AEF ACB 解析答案 1 2 3 4 4 如圖 在 ABC中 ACB 90 A 60 AB 20 過C作 ABC的外接圓的切線CD BD CD BD與外接圓交于點E 求DE的長 解在Rt ACB中 ACB 90 A 60 ABC 30 AB 20 CD為切線 BCD A 60 DE 5 1 2 3 4 解析答案 返回 題型分類深度剖析 例1 2015 課標全國 如圖 AB是 O的直徑 AC是 O的切線 BC交 O于點E 1 若D為AC的中點 證明 DE是 O的切線 證明連結(jié)AE 由已知得 AE BC AC AB 在Rt AEC中 由已知得 DE DC 故 DEC DCE 連結(jié)OE 則 OBE OEB 又 ACB ABC 90 所以 DEC OEB 90 故 OED 90 即DE是 O的切線 題型一圓周角 弦切角和圓的切線問題 解析答案 解設(shè)CE 1 AE x 由射影定理可得 AE2 CE BE 解析答案 思維升華 1 圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系 從而證明三角形全等或相似 可求線段或角的大小 2 涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化 關(guān)于圓周上的點 常作直徑 或半徑 或向弦 弧 兩端作圓周角或弦切角 思維升華 1 如圖所示 O的兩條切線PA和PB相交于點P 與 O相切于A B兩點 C是 O上的一點 若 P 70 求 ACB的大小 解如圖所示 連結(jié)OA OB 則OA PA OB PB 故 AOB 110 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 2 如圖 圓O的半徑為1 A B C是圓周上的三點 且滿足 ABC 30 過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P 求PA的長 解如圖 連結(jié)OA 由圓周角定理知 AOC 60 又OA PA 在Rt POA中 解析答案 例2如圖所示 已知AP是 O的切線 P為切點 AC是 O的割線 與 O交于B C兩點 圓心O在 PAC的內(nèi)部 點M是BC的中點 1 證明 A P O M四點共圓 證明如圖 連結(jié)OP OM 因為AP與 O相切于點P 所以O(shè)P AP 因為M是 O的弦BC的中點 所以O(shè)M BC 于是 OPA OMA 180 由圓心O在 PAC的內(nèi)部 可知四邊形APOM的對角互補 所以A P O M四點共圓 題型二四點共圓問題 解析答案 2 求 OAM APM的大小 解由 1 得 A P O M四點共圓 所以 OAM OPM 由 1 得OP AP 因為圓心O在 PAC的內(nèi)部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 解析答案 思維升華 1 如果四點與一定點距離相等 那么這四點共圓 2 如果四邊形的一組對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 3 如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 思維升華 如圖所示 四邊形ABCD是 O的內(nèi)接四邊形 AB的延長線與DC的延長線交于點E 且CB CE 1 證明 D E 證明由題設(shè)知 A B C D四點共圓 所以 D CBE 由已知得 CBE E 故 D E 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 2 設(shè)AD不是 O的直徑 AD的中點為M 且MB MC 證明 ADE為等邊三角形 證明如圖 設(shè)BC的中點為N 連結(jié)MN 則由MB MC知MN BC 故點O在直線MN上 又AD不是 O的直徑 M為AD的中點 故OM AD 即MN AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE為等邊三角形 解析答案 例3 2015 陜西 如圖 AB切 O于點B 直線AO交 O于D E兩點 BC DE 垂足為C 1 證明 CBD DBA 證明因為DE為 O的直徑 則 BED EDB 90 又BC DE 所以 CBD EDB 90 從而 CBD BED 又AB切 O于點B 得 DBA BED 所以 CBD DBA 題型三與圓有關(guān)的比例線段 解析答案 解由 1 知BD平分 CBA 故DE AE AD 3 即 O的直徑為3 解析答案 思維升華 1 應(yīng)用相交弦定理 切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容 如線段成比例與相似三角形 圓的切線及其性質(zhì) 與圓有關(guān)的相似三角形等 2 相交弦定理 切割線定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明 解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角 弦切角 圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用 思維升華 1 如圖 已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F E是AB延長線上一點 且DF CF AF FB BE 4 2 1 若CE與圓相切 求線段CE的長 解由相交弦定理得AF FB DF CF 由于AF 2FB 可解得FB 1 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 2014 湖北 如圖 P為 O外一點 過P點作 O的兩條切線 切點分別為A B 過PA的中點Q作割線交 O于C D兩點 若QC 1 CD 3 求PB的長 解由切割線定理得QA2 QC QD 4 解得QA 2 由切線長定理得PB PA 2QA 4 解析答案 返回 思想方法感悟提高 1 判定切線通常有三種方法 1 和圓有唯一公共點的直線是圓的切線 2 與圓心距離等于半徑的直線是圓的切線 3 過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線 2 四點共圓問題主要結(jié)合圓中有關(guān)邊 角定理進行推理和說明 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或判定對問題求解 3 解決與圓有關(guān)的成比例線段問題的兩種思路 1 直接應(yīng)用相交弦 切割線定理及其推論 2 當(dāng)比例式 等積式 中的線段分別在兩個三角形中時 可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似 一般思路為 相似三角形 比例式 等積式 在證明中有時還要借助中間比來代換 解題時應(yīng)靈活把握 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2015 江蘇 如圖 在 ABC中 AB AC ABC的外接圓 O的弦AE交BC于點D 求證 ABD AEB 證明因為AB AC 所以 ABD C 又因為 C E 所以 ABD E 又 BAE為公共角 可知 ABD AEB 解析答案 2 如圖 AB是圓O的直徑 C D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點 證明 OCB D 證明因為B C是圓O上的兩點 所以O(shè)B OC 故 OCB B 又因為C D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點 故 B D為同弧所對的兩個圓周角 所以 B D 因此 OCB D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 3 2015 湖南 如圖 在 O中 相交于點E的兩弦AB CD的中點分別是M N 直線MO與直線CD相交于點F 證明 MEN NOM 180 證明如圖所示 因為M N分別是弦AB CD的中點 所以O(shè)M AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 因此 OME ENO 180 又四邊形的內(nèi)角和等于360 故 MEN NOM 180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 4 如圖 AB是圓O的直徑 直線CE與圓O相切于點C AD CE于點D 若圓O的面積為4 ABC 30 求AD的長 解由題意可知圓O的半徑為2 由弦切角定理可知 ACD ABC 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 5 如圖 已知CB是 O的一條弦 A是 O上異于B C的任意一點 過點A作 O的切線交直線CB于點P D為 O上一點 且 ABD ABP 求證 AB2 BP BD 證明 AP與 O相切于點A AB為 O的弦 ADB PAB 又在 DBA和 ABP中 DBA ABP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 6 如圖 過 O外一點P作 O的切線PA 切點為A 連結(jié)OP與 O交于點C 過C作AP的垂線 垂足為D 若PA 12cm PC 6cm 求CD的長 解設(shè) O的半徑為r 由切割線定理得AP2 PC PC 2r 即122 6 6 2r 解得r 9 連結(jié)OA 則有OA AP 又CD AP 所以O(shè)A CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 7 如圖 已知AB是 O的直徑 CD是 O的弦 分別延長AB CD相交于點M 點N在 O上 AN AC 證明 MDN 2 ACO 證明如圖 連結(jié)ON 因為AN AC ON OC OA是公共邊 所以 ANO ACO 故 OAC OAN 又 OAC ACO 所以 NAC OAC OAN ACO OAC 2 ACO 因為A C D N四點共圓 所以 MDN NAC 所以 MDN 2 ACO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 8 如圖 PA是圓O的切線 切點為A PA 2 AC是圓O的直徑 PC與圓O交于點B PB 1 求圓O的半徑R 解由切割線定理可得PA2 PB PC 所以BC PC PB 3 因為AC是圓O的直徑 所以 ABC 90 所以AB2 BC BP 3 所以AC2 BC2 AB2 9 3 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 9 如圖 ABC為圓的內(nèi)接三角形 BD為圓的弦 且BD AC 過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E AD與BC交于點F 若AB AC AE 6 BD 5 求線段CF的長 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解設(shè)EB x 則ED x 5 由切割線定理知x x 5 62 x 4 AB AC ABC ACB 又 ACB ADB EAB ADB EAB ABC AE BC 又AC ED 四邊形EBCA為平行四邊形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AC EB 4 BC AE 6 由 AFC DFB 10 如圖 圓O的直徑為BD 過圓上一點A作圓O的切線AE 過點D作DE AE于點E 延長ED與圓O交于點C 1 證明 DA平分 BDE 證明 AE是 O的切線 DAE ABD BD是 O的直徑 BAD 90 ABD ADB 90 又 ADE DAE 90 ADB ADE DA平分 BDE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 若AB 4 AE 2 求CD的長 解由 1 可得 ADE BDA ABD 30 DAE 30 由切割線定理可得AE2 DE CE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 返回