高考數學一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.5 指數與指數函數課件 理.ppt

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第二章函數概念與基本初等函數I 2 5指數與指數函數 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 分數指數冪 1 規(guī)定 正數的正分數指數冪的意義是正數的負分數指數冪的意義是0的正分數指數冪等于 0的負分數指數冪 2 有理數指數冪的運算性質 asat as t ab t 其中a 0 b 0 s t Q 0 沒有意義 as t ast atbt n N 且n 1 a 0 m 知識梳理 1 答案 2 指數函數的圖象與性質 R 答案 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函數 減函數 0 0 1 答案 答案 思考辨析 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析函數f x 的圖象恒過 1 0 點 只有圖象 適合 解析答案 1 2 3 4 5 3 教材改編 已知0 2m 或 n 解析答案 1 2 3 4 5 4 若函數y a2 1 x在 上為減函數 則實數a的取值范圍是 解析由y a2 1 x在 上為減函數 得0 a2 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 函數y 8 23 x x 0 的值域是 解析 x 0 x 0 3 x 3 0 23 x 23 8 0 8 23 x 8 函數y 8 23 x的值域為 0 8 0 8 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 題型一指數冪的運算 例1化簡 1 解析答案 解析答案 思維升華 思維升華 1 指數冪的運算首先將根式 分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪 以便利用法則計算 還應注意 必須同底數冪相乘 指數才能相加 運算的先后順序 2 當底數是負數時 先確定符號 再把底數化為正數 3 運算結果不能同時含有根號和分數指數 也不能既有分母又含有負指數 0 跟蹤訓練1 解析答案 1 解析答案 題型二指數函數的圖象及應用 例2 1 函數f x ax b的圖象如圖所示 其中a b為常數 則下列結論正確的是 a 1 b1 b 0 00 0 a 1 b 0 解析答案 解析由f x ax b的圖象可以觀察出 函數f x ax b在定義域上單調遞減 所以0 a 1 函數f x ax b的圖象是在f x ax的基礎上向左平移得到的 所以b 0 答案 2 若曲線 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b的取值范圍是 解析曲線 y 2x 1與直線y b的圖象如圖所示 由圖象可知 如果 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b應滿足的條件是b 1 1 1 1 解析答案 思維升華 思維升華 1 已知函數解析式判斷其圖象一般是取特殊點 判斷所給的圖象是否過這些點 若不滿足則排除 2 對于有關指數型函數的圖象問題 一般是從最基本的指數函數的圖象入手 通過平移 伸縮 對稱變換而得到 特別地 當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論 3 有關指數方程 不等式問題的求解 往往利用相應的指數型函數圖象 數形結合求解 1 如圖 面積為8的平行四邊形OABC 對角線AC CO AC與BO交于點E 某指數函數y ax a 0 且a 1 經過點E B 則a 解析設點E t at 則點B坐標為 2t 2at 因為2at a2t 所以at 2 因為平行四邊形OABC的面積 OC AC at 2t 4t 又平行四邊形OABC的面積為8 所以4t 8 t 2 跟蹤訓練2 解析答案 2 已知函數f x 2x 1 af c f b 則下列結論中 一定成立的是 a0 2 a 2c 2a 2c 2 解析答案 解析作出函數f x 2x 1 的圖象 如圖 af c f b 結合圖象知00 0 2a 1 f a 2a 1 1 2a 1 f c 1 0 c 1 1 2c 2 解析答案 f c 2c 1 2c 1 又 f a f c 1 2a 2c 1 2a 2c 2 答案 題型三指數函數的圖象和性質 命題點1比較指數式的大小 例3 1 下列各式比較大小正確的是 1 72 5 1 73 0 6 1 0 62 0 8 0 1 1 250 2 1 70 3 0 93 1 解析答案 解析 中 函數y 1 7x在R上是增函數 2 50 62 正確 中 0 8 1 1 25 問題轉化為比較1 250 1與1 250 2的大小 y 1 25x在R上是增函數 0 11 00 93 1 正確 答案 a c 故a c b a c b 2 設則a b c的大小關系是 解析答案 命題點2解簡單的指數方程或不等式 解析答案 所以a 3 此時 3 a 0 所以0 a 1 故a的取值范圍是 3 1 答案 3 1 命題點3和指數函數有關的復合函數的性質 例5設函數f x kax a x a 0且a 1 是定義域為R的奇函數 1 若f 1 0 試求不等式f x2 2x f x 4 0的解集 解析答案 因為f x axlna a xlna ax a x lna 0 所以f x 在R上為增函數 原不等式可化為f x2 2x f 4 x 所以x2 2x 4 x 即x2 3x 4 0 所以x 1或x1或x 4 解因為f x 是定義域為R的奇函數 所以f 0 0 所以k 1 0 即k 1 f x ax a x 又a 0且a 1 所以a 1 解析答案 思維升華 所以g x 22x 2 2x 4 2x 2 x 2x 2 x 2 4 2x 2 x 2 令t x 2x 2 x x 1 解析答案 則t x 在 1 為增函數 由 1 可知 思維升華 所以原函數為 t t2 4t 2 t 2 2 2 思維升華 思維升華 指數函數的性質及應用問題解題策略 1 比較大小問題 常利用指數函數的單調性及中間值 0或1 法 2 簡單的指數方程或不等式的求解問題 解決此類問題應利用指數函數的單調性 要特別注意底數a的取值范圍 并在必要時進行分類討論 3 解決指數函數的綜合問題時 要把指數函數的概念和性質同函數的其他性質 如奇偶性 周期性 相結合 同時要特別注意底數不確定時 對底數的分類討論 1 已知函數f x 2 2x m m為常數 若f x 在區(qū)間 2 上是增函數 則m的取值范圍是 解析令t 2x m 而y 2t為R上的增函數 所以要使函數f x 2 2x m 在 2 上單調遞增 所以m的取值范圍是 4 4 跟蹤訓練3 解析答案 解析答案 2 如果函數y a2x 2ax 1 a 0 a 1 在區(qū)間 1 1 上的最大值是14 則a的值為 返回 解析令ax t 則y a2x 2ax 1 t2 2t 1 t 1 2 2 當a 1時 因為x 1 1 所以ymax a 1 2 2 14 解得a 3 負值舍去 當0 a 1時 因為x 1 1 解析答案 返回 思想與方法系列 思想與方法系列 4 換元法在和指數函數有關的復合函數中的應用 思維點撥 解析答案 當t 8時 ymax 57 解析因為x 3 2 思維點撥根據復合函數的單調性 同增異減 進行探求 解析設u x2 2x 1 又u x2 2x 1的增區(qū)間為 1 f x 的減區(qū)間為 1 1 2 函數的單調減區(qū)間為 函數的減區(qū)間即為函數u x2 2x 1的增區(qū)間 思維點撥 解析答案 返回 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 解決和指數函數有關的復合函數的單調性或值域問題時 要熟練掌握指數函數的單調性 搞清復合函數的結構 利用換元法轉化為基本初等函數的單調性或值域問題 2 換元過程中要注意 元 的取值范圍的變化 思想方法感悟提高 1 通過指數函數圖象比較底數大小的問題 可以先通過令x 1得到底數的值 再進行比較 2 指數函數y ax a 0 a 1 的性質和a的取值有關 一定要分清a 1與0 a 1 3 對與復合函數有關的問題 要弄清復合函數由哪些基本初等函數復合而成 方法與技巧 1 恒成立問題一般與函數最值有關 要與方程有解區(qū)別開來 2 復合函數的問題 一定要注意函數的定義域 3 對可化為a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 形式的方程或不等式 常借助換元法解決 但應注意換元后 新元 的范圍 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 函數f x ax 2 1 a 0且a 1 的圖象經過定點的坐標為 解析 a0 1 f 2 2 故f x 的圖象必過點 2 2 2 2 解析答案 a b c a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由于y 2x 4 在 2 上遞減 在 2 上遞增 所以f x 在 2 上遞增 在 2 上遞減 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若關于x的方程 ax 1 2a a 0且a 1 有兩個不等實根 則a的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 當a 1時 如圖 2 而y 2a 1不符合要求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析方程 ax 1 2a a 0且a 1 有兩個實數根轉化為函數y ax 1 與y 2a有兩個交點 當0 a 1時 如圖 1 0 2a 1 解析原式 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由函數y ax b b 0 的圖象經過點P 1 3 得a b 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 已知正數a滿足a2 2a 3 0 函數f x ax 若實數m n滿足f m f n 則m n的大小關系為 解析 a2 2a 3 0 a 3或a 1 舍 函數f x 3x在R上遞增 由f m f n 得m n m n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以g x g 0 0 所以g x g 0 0 所以函數g x 的最小值是0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以f x 在 2 上單調遞減 在 2 上單調遞增 即函數f x 的單調遞增區(qū)間是 2 單調遞減區(qū)間是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令g x x2 4x 3 由于g x 在 2 上單調遞增 在 2 上單調遞減 2 若f x 有最大值3 求a的值 由于f x 有最大值3 所以g x 應有最小值 1 即當f x 有最大值3時 a的值為1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知函數f x ex e x x R 且e為自然對數的底數 1 判斷函數f x 的單調性與奇偶性 f x 0對任意x R都成立 f x 在R上是增函數 f x 的定義域為R 且f x e x ex f x f x 是奇函數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 是否存在實數t 使不等式f x t f x2 t2 0對一切x R都成立 若存在 求出t 若不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解存在 由 1 知f x 在R上是增函數和奇函數 則f x t f x2 t2 0對一切x R都成立 f x2 t2 f t x 對一切x R都成立 x2 t2 t x對一切x R都成立 11 函數f x a x 1 a 0 a 1 的值域為 1 則f 4 與f 1 的大小關系是 解析由題意知a 1 f 4 a3 f 1 a2 由單調性知a3 a2 f 4 f 1 f 4 f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故 可能成立 不可能成立 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由題意 得x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 當x 1 時 不等式 m2 m 4x 2x 0恒成立 則實數m的取值范圍是 1 2 解得 1 m 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 求函數f x 在 1 1 上的解析式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 f x 是x R上的奇函數 f 0 0 設x 1 0 則 x 0 1 2 判斷f x 在 0 1 上的單調性 0 x1 x2 1 解設0 x1 x2 1 f x1 f x2 0 f x 在 0 1 上為減函數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 當 取何值時 方程f x 在 1 1 上有實數解 解 f x 在 0 1 上為減函數 或 0時 方程f x 在x 1 1 上有實數解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回