高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性課件 理.ppt

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第三節(jié)函數的奇偶性與周期性 1 函數的奇偶性 2 函數的周期性 1 周期函數 若f x 對于定義域中任意x均有f x T f x T為不等于0的常數 則f x 為周期函數 T是這個函數的周期 2 最小正周期 如果在周期函數f x 的所有周期中 存在一個最小的正數 那么這個最小的正數就叫做f x 的最小正周期 3 函數的奇偶性與周期性的常用結論表 4 函數的對稱性與周期性的關系 1 若函數f x 關于直線x a x b a b 對稱 則函數f x 為周期函數 且周期T 2 b a 2 若函數f x 關于點 a 0 b 0 a b 對稱 則函數f x 為周期函數 且周期T 2 b a 3 若函數f x 關于點 a 0 與直線x b a b 對稱 則函數f x 為周期函數 且周期T 4 b a 5 常用的數學方法與思想函數奇偶性的判斷方法 數形結合思想 分類討論思想 1 判斷下列說法是否正確 打 或 1 函數f x 是偶函數 若在 0 上單調遞增 則在 0 上必遞減 1 2 若函數f x 0 則x 1 1 函數f x 既是奇函數又是偶函數 2 3 若函數y f x 1 是偶函數 則函數y f x 的圖象關于直線x 1對稱 3 4 若函數f x 在定義域上滿足f x 2 f x 則f x 是周期為4的周期函數 4 C y cosxD y ex e x2 D 解析 由函數的奇偶性知選項A中的函數是非奇非偶函數 選項B中的函數是偶函數 選項C中的函數是偶函數 選項D中的函數f x e x ex f x x R 故其是奇函數 命題角度1 函數奇偶性的判斷典例1判斷下列函數的奇偶性 并證明 1 f x x4 x2 1 2 f x x2 x 1 x 1 4 3 f x x 1 x 1 解題思路 1 2 3 的突破口是函數定義域的對稱性 再找出f x f x 之間的關系 參考答案 1 f x 的定義域為R 且f x f x 則f x 為偶函數 2 由于f x x2 x 1 x 1 4 的定義域不是關于原點對稱的區(qū)間 因此f x 是非奇非偶函數 3 函數的定義域x 關于原點對稱 因為f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x 所以f x x 1 x 1 是奇函數 命題角度2 函數奇偶性的應用典例2 2015 天一大聯考 已知f x g x 分別是定義在R上的偶函數和奇函數 且f x g x x3 2 x 則f 2 g 2 A 4B 4C 2D 2 解題思路 在f x g x x3 2 x中用 x代替x 并利用奇 偶函數的定義求解 f x g x 分別是定義在R上的偶函數和奇函數 故有f x f x g x g x 由f x g x x3 2 x得f x g x x3 2x 即f x g x x3 2x 因此f 2 g 2 23 22 4 參考答案 B 已知函數f x 為奇函數且定義域為R x 0時 f x x 1 則f x 的解析式為 解題思路 設x0 從而f x x 1 f x 為奇函數 f x f x f x f x x 1 x 1 當x 0 變式訓練 1 解析 解法1 f x 的定義域為R 當x 0時 x0 f x x 2 2 x x2 2x f x 對于x R總有f x f x f x 為偶函數 解法2 當x 0時 f x x2 2x x2 2 x 當x 0時 f x x2 2x x2 2 x f x x2 2 x f x x 2 2 x x2 2 x f x f x 為偶函數 2015 北京豐臺區(qū)測試 已知函數f x 是定義在R上的偶函數 當x 0時 f x x2 2x 如果函數g x f x m m R 恰有4個零點 則m的取值范圍是 1 0 解析 函數f x 是定義在R上的偶函數 當x 0時 f x x2 2x 可知x 0 f x x2 2x 所以 典例3 2015 蚌埠質檢 函數y f x 是R上的奇函數 滿足f 3 x f 3 x 當x 0 3 時 f x 2x 則當x 6 3 時 f x 等于 A 2x 6B 2x 6C 2x 6D 2x 6 解題思路 由f 3 x f 3 x 可知f x f 6 x 又y f x 是R上的奇函數 所以f x f x 故 f x f 6 x 即f x f x 6 從而f 6 x f x 6 f x 6 則f x f x 12 即f x 是周期為12的周期函數 當x 3 0 時 x 0 3 f x 2 x 即f x 2 x 當x 6 3 時 x 6 0 3 f x 6 2x 6 f x f x 所以f x 2x 6 參考答案 D 函數的奇偶性 周期性與對稱性的應用 命題角度1 奇偶性與對稱性相互轉化應用于求值典例1已知函數f x 是R上的奇函數 且f x 的圖象關于直線x 1對稱 當x 0 1 時 f x 2x 1 則f 2017 f 2018 A 3B 2C 1D 0 解題思路 利用奇函數得到f x f x 及f 0 0 利用f x 的圖象關于直線x 1對稱 得到f x 2 f x 然后將二者結合求解 因為函數f x 是R上的奇函數 所以f x f x 又f x 的圖象關于直線x 1對稱 所以有f x 2 f x f x 因此f x 4 f x 故函數的周期為4 又函數f x 是R上的奇函數 所以f 0 0 由圖象關于直線x 1對稱得f 2 f 0 0 而f 2017 f 2018 f 1 f 2 f 1 f 0 所以f 2017 f 2018 21 1 20 1 1 參考答案 C 若函數f x 1 為偶函數 則f x 的圖象的對稱軸方程為 解題思路 解法一 因為函數f x 1 為偶函數 所以函數f x 1 的圖象的對稱軸方程為x 0 而f x 的圖象可由函數f x 1 的圖象向右平移一個單位得到 故f x 的圖象的對稱軸方程為x 1 解法二 構造函數法 由題可設f x 1 x2 則令x 1 t 得x t 1 所以f t t 1 2 因此f x x 1 2 其圖象的對稱軸方程為x 1 參考答案 x 1 命題角度2 周期性與對稱性互化應用于求值典例2設函數f x 的定義域為R 其圖象既關于直線x 2對稱 又關于直線x 7對稱 且在閉區(qū)間 0 7 上 只有f 1 f 3 0 則方程f x 0在閉區(qū)間 2016 2016 上的根的個數為 A 806B 804C 802D 800 解題思路 函數f x 的圖象關于直線x 2和直線x 7對稱等價于關系式f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 因為函數f x 的圖象既關于直線x 2對稱 又關于直線x 7對稱 所以有f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 即有f x f 4 x 且f x f 14 x 從而得到f 4 x f 14 x 則f x 10 f x 故函數的周期為T 10 因為f 3 f 1 0 f 11 f 13 f 7 f 9 0 故f x 在 0 10 和 10 0 上均有兩個解 從而可知函數y f x 在 0 2016 上有404個解 在 2016 0 上有402個解 所以函數y f x 在 2016 2016 上有806個解 參考答案 A 針對訓練 2 若函數f x 2 為奇函數 則f x 的圖象的對稱中心為 答案 2 0 解析 解法一 因為函數f x 2 為奇函數 所以函數f x 2 的圖象的對稱中心為 0 0 而f x 的圖象可由函數f x 2 的圖象向左平移2個單位得到 故f x 的圖象的對稱中心為 2 0 解法二 構造函數法 由題可設f x 2 x 則令x 2 t x t 2 所以f t t 2 因此f x x 2 其圖象的對稱中心為 2 0