高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.8 圓錐曲線的綜合問題 課時(shí)3 定點(diǎn)、定值、探索性問題課件 文.ppt

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9 8圓錐曲線的綜合問題 課時(shí)3定點(diǎn) 定值 探索性問題 內(nèi)容索引 題型一定點(diǎn)問題 題型二定值問題 題型三探索性問題 思想方法感悟提高 思想與方法系列 練出高分 題型一定點(diǎn)問題 1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解設(shè)橢圓的焦距為2c 由題意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 所以a2 3 題型一定點(diǎn)問題 解析答案 2 若 1 2 3 試證明 直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn) 解析答案 思維升華 解由題意設(shè)P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 設(shè)l方程為x t y m 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 解析答案 思維升華 由題意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由題意mt 0 mt 1 滿足 得l方程為x ty 1 過定點(diǎn) 1 0 即Q為定點(diǎn) 思維升華 思維升華 圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法 1 引進(jìn)參數(shù)法 引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量 再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系 找到定點(diǎn) 2 特殊到一般法 根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn) 再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān) 1 求橢圓E的方程 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析答案 返回 即QC QD 所以Q點(diǎn)在y軸上 可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 y0 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí) 設(shè)直線l與橢圓相交于M N兩點(diǎn) 解當(dāng)直線l與x軸平行時(shí) 設(shè)直線l與橢圓相交于C D兩點(diǎn) 解析答案 解得y0 1或y0 2 所以 若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件 則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為 0 2 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) 由上可知 結(jié)論成立 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 可設(shè)直線l的方程為y kx 1 A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 解析答案 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 易知 點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 x2 y2 解析答案 返回 題型二定值問題 題型二定值問題 解析答案 解析答案 思維升華 證明由題意可得A1 2 0 A2 2 0 設(shè)P x0 y0 由題意可得 2 x0 2 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 1 求代數(shù)式為定值 依題意設(shè)條件 得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式 代入代數(shù)式 化簡(jiǎn)即可得出定值 2 求點(diǎn)到直線的距離為定值 利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式 再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn) 變形求得 3 求某線段長度為定值 利用長度公式求得解析式 再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn) 變形即可求得 1 求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 解依題意知 點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn) 且RQ FP RQ是線段FP的垂直平分線 點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上 PQ QF 又PQ是點(diǎn)Q到直線l的距離 故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn) l為準(zhǔn)線的拋物線 其方程為y2 2x x 0 2 設(shè)圓M過A 1 0 且圓心M在曲線C上 TS是圓M在y軸上截得的弦 當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí) 弦長TS是否為定值 請(qǐng)說明理由 解弦長TS為定值 理由如下 取曲線C上點(diǎn)M x0 y0 M到y(tǒng)軸的距離為d x0 x0 解析答案 返回 題型三探索性問題 例3 2015 湖北 一種畫橢圓的工具如圖1所示 O是滑槽AB的中點(diǎn) 短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng) 長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連結(jié) MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng) 且DN ON 1 MN 3 當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí) 帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng) M處的筆尖畫出的橢圓記為C 以O(shè)為原點(diǎn) AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系 1 求橢圓C的方程 題型三探索性問題 解析答案 解因?yàn)镺M MN NO 3 1 4 當(dāng)M N在x軸上時(shí) 等號(hào)成立 同理OM MN NO 3 1 2 當(dāng)D O重合 即MN x軸時(shí) 等號(hào)成立 2 設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1 x 2y 0和l2 x 2y 0分別交于P Q兩點(diǎn) 若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 試探究 OPQ的面積是否存在最小值 若存在 求出該最小值 若不存在 說明理由 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 消去y 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 所以 64k2m2 4 1 4k2 4m2 16 0 即m2 16k2 4 1 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 所以當(dāng)k 0時(shí) S OPQ的最小值為8 綜合 可知 當(dāng)直線l與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí) OPQ的面積取得最小值8 思維升華 思維升華 解決探索性問題的注意事項(xiàng)探索性問題 先假設(shè)存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確則存在 若結(jié)論不正確則不存在 1 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論 2 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí) 先假設(shè)成立 再推出條件 3 當(dāng)條件和結(jié)論都不知 按常規(guī)方法解題很難時(shí) 要開放思維 采取另外合適的方法 解拋物線y2 8x的焦點(diǎn)為橢圓E的頂點(diǎn) 即a 2 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 解析答案 返回 解設(shè)A x1 y1 B x2 y2 P x1 x2 y1 y2 解析答案 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 設(shè)T t 0 Q 4 m 4k 解析答案 4k2 3 4m2 解析答案 則1 t 0 t 1 返回 思想與方法系列 思想與方法系列 20 設(shè)而不求 整體代換 解析答案 規(guī)范解答解由于c2 a2 b2 2 點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn) 連結(jié)PF1 PF2 設(shè) F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn)M m 0 求m的取值范圍 解析答案 解設(shè)P x0 y0 y0 0 PF1 PF2 解析答案 思維點(diǎn)撥 解析答案 返回 溫馨提醒 解設(shè)P x0 y0 y0 0 則直線l的方程為y y0 k x x0 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 對(duì)題目涉及的變量巧妙地引進(jìn)參數(shù) 如設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 動(dòng)直線方程等 利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組 再化為一元二次方程 從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換 達(dá)到 設(shè)而不求 減少計(jì)算 的效果 直接得定值 思想方法感悟提高 1 求定值問題常見的方法有兩種 1 從特殊入手 求出定值 再證明這個(gè)值與變量無關(guān) 2 直接推理 計(jì)算 并在計(jì)算推理的過程中消去變量 從而得到定值 2 定點(diǎn)的探索與證明問題 1 探索直線過定點(diǎn)時(shí) 可設(shè)出直線方程為y kx b 然后利用條件建立b k等量關(guān)系進(jìn)行消元 借助于直線系的思想找出定點(diǎn) 2 從特殊情況入手 先探求定點(diǎn) 再證明與變量無關(guān) 方法與技巧 1 在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí) 要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況 2 中點(diǎn)弦問題 可以利用 點(diǎn)差法 但不要忘記驗(yàn)證 0或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部 3 解決定值 定點(diǎn)問題 不要忘記特值法 失誤與防范 返回 練出高分 又a2 b2 c2 所以b2 12 1 2 3 4 5 解析答案 2 是否存在平行于OA的直線l 使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn) 且直線OA與l的距離等于4 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請(qǐng)說明理由 1 2 3 4 5 解析答案 解假設(shè)存在符合題意的直線l 1 2 3 4 5 解析答案 因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn) 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 1 2 3 4 5 解析答案 所以不存在符合題意的直線l 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解由已知 點(diǎn)C D的坐標(biāo)分別為 0 b 0 b 1 2 3 4 5 解析答案 解當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí) 設(shè)直線AB的方程為y kx 1 A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 1 2 3 4 5 解析答案 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí) 直線AB即為直線CD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 2 過點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓C于A B兩點(diǎn) 試問 在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q 使得以線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q 若存在 求出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 1 2 3 4 5 解析答案 當(dāng)l與y軸平行時(shí) 以線段AB為直徑的圓的方程為x2 y2 1 1 2 3 4 5 解析答案 故若存在定點(diǎn)Q 則Q的坐標(biāo)只可能為Q 0 1 下面證明Q 0 1 為所求 若直線l的斜率不存在 上述已經(jīng)證明 A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 144k2 64 9 18k2 0 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 2 過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線 若切線都存在斜率 求證兩切線斜率之積為定值 1 2 3 4 5 解析答案 證明設(shè)點(diǎn)P x0 y0 過點(diǎn)P的橢圓E的切線l0的方程為y y0 k x x0 整理得y kx y0 kx0 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 5 2014 福建 已知曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)F 0 1 的距離比它到直線y 3的距離小2 1 求曲線 的方程 1 2 3 4 5 解析答案 解方法一 1 設(shè)S x y 為曲線 上任意一點(diǎn) 依題意 點(diǎn)S到F 0 1 的距離與它到直線y 1的距離相等 所以曲線 是以點(diǎn)F 0 1 為焦點(diǎn) 直線y 1為準(zhǔn)線的拋物線 所以曲線 的方程為x2 4y 方法二設(shè)S x y 為曲線 上任意一點(diǎn) 1 2 3 4 5 解析答案 依題意 點(diǎn)S x y 只能在直線y 3的上方 1 2 3 4 5 化簡(jiǎn) 得曲線 的方程為x2 4y 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 1 2 3 4 5 解析答案 返回 解當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng)時(shí) 線段AB的長度不變 證明如下 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 所以點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng)時(shí) 線段AB的長度不變 1 2 3 4 5 返回