高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓課件 文.ppt

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第九章平面解析幾何 9 5橢圓 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 高頻小考點(diǎn) 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 橢圓的概念平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1 F2的距離的和等于常數(shù) 大于F1F2 的點(diǎn)的軌跡叫做 兩個定點(diǎn)F1 F2叫做橢圓的 兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a 0 c 0 且a c為常數(shù) 1 若 則集合P為橢圓 2 若 則集合P為線段 3 若 則集合P為空集 橢圓 焦點(diǎn) a c a c a c 焦距 知識梳理 1 答案 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 2a 2b 2c a2 b2 c2 答案 點(diǎn)P x0 y0 和橢圓的關(guān)系 知識拓展 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1 F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓 2 橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1 F2構(gòu)成 PF1F2的周長為2a 2c 其中a為橢圓的長半軸長 c為橢圓的半焦距 3 橢圓的離心率e越大 橢圓就越圓 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲線是橢圓 思考辨析 答案 答案 解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時 10 m m 2 0 10 m m 2 4 m 4 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時 m 2 10 m 0 m 2 10 m 4 m 8 4或8 考點(diǎn)自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由題意知25 m2 16 解得m2 9 又m 0 所以m 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 如果方程x2 ky2 2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 那么實數(shù)k的取值范圍是 又k 0 所以0 k 1 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 解析設(shè)P x y 由題意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 則F1 1 0 F2 1 0 由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1如圖所示 一圓形紙片的圓心為O F是圓內(nèi)一定點(diǎn) M是圓周上一動點(diǎn) 把紙片折疊使M與F重合 然后抹平紙片 折痕為CD 設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P 則點(diǎn)P的軌跡是 解析由條件知PM PF PO PF PO PM OM R OF P點(diǎn)的軌跡是以O(shè) F為焦點(diǎn)的橢圓 命題點(diǎn)1橢圓定義的應(yīng)用 橢圓 題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 解析答案 例2 1 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸 且長軸是短軸的3倍 并且過點(diǎn)P 3 0 則橢圓的方程為 命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求橢圓方程 解析答案 解析答案 解析設(shè)橢圓方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 橢圓經(jīng)過點(diǎn)P1 P2 點(diǎn)P1 P2的坐標(biāo)適合橢圓方程 解析答案 思維升華 思維升華 1 求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法 利用橢圓的定義定形狀時 一定要注意常數(shù)2a F1F2這一條件 2 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法 具體過程是先定形 再定量 即首先確定焦點(diǎn)所在位置 然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a b的方程組 如果焦點(diǎn)位置不確定 要考慮是否有兩解 有時為了解題方便 也可把橢圓方程設(shè)為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 已知圓 x 2 2 y2 36的圓心為M 設(shè)A為圓上任一點(diǎn) 且點(diǎn)N 2 0 線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P 則動點(diǎn)P的軌跡是 解析點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上 故PA PN 又AM是圓的半徑 PM PN PM PA AM 6 MN 由橢圓定義知 P的軌跡是橢圓 橢圓 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析答案 由c2 a2 b2可得b2 4 解析答案 c2 16 且c2 a2 b2 故a2 b2 16 其焦點(diǎn)在y軸上 且c2 25 9 16 解析答案 由 得b2 4 a2 20 解析答案 解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 x0 y0 解析答案 題型二橢圓的幾何性質(zhì) 2 解析答案 解析答案 思維升華 由題意知M為線段QF的中點(diǎn) 且OM FQ 又O為線段F1F的中點(diǎn) F1Q OM F1Q QF F1Q 2OM 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 1 利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧 注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍 或者最大值 最小值時 經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x y的范圍 離心率的范圍等不等關(guān)系 利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時 要結(jié)合圖形進(jìn)行分析 當(dāng)涉及頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 長軸 短軸等橢圓的基本量時 要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系 2 求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時 一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得離心率或離心率的范圍 解析在雙曲線中m2 n2 c2 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 解析答案 命題點(diǎn)1由直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的性質(zhì) 解析答案 題型三直線與橢圓的綜合問題 設(shè)橢圓的半焦距為c 由已知PF1 PF2 解由橢圓的定義 解析答案 解如圖 連結(jié)F1Q 由PF1 PQ PQ PF1 得 解析答案 由橢圓的定義 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 進(jìn)而PF1 PQ QF1 4a 解析答案 命題點(diǎn)2由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線的性質(zhì) 解析答案 2 過F的直線與橢圓交于A B兩點(diǎn) 線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P C 若PC 2AB 求直線AB的方程 解析答案 思維升華 當(dāng)AB與x軸不垂直時 設(shè)直線AB的方程為y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 將AB的方程代入橢圓方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 解析答案 若k 0 則線段AB的垂直平分線為y軸 與左準(zhǔn)線平行 不合題意 思維升華 解得k 1 此時直線AB的方程為y x 1或y x 1 思維升華 思維升華 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題 其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元 化簡 然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程 解決相關(guān)問題 涉及弦中點(diǎn)的問題時用 點(diǎn)差法 解決 往往會更簡單 2015 北京 已知橢圓C x2 3y2 3 過點(diǎn)D 1 0 且不過點(diǎn)E 2 1 的直線與橢圓C交于A B兩點(diǎn) 直線AE與直線x 3交于點(diǎn)M 1 求橢圓C的離心率 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 若AB垂直于x軸 求直線BM的斜率 解因為AB過點(diǎn)D 1 0 且垂直于x軸 所以可設(shè)A 1 y1 B 1 y1 直線AE的方程為y 1 1 y1 x 2 令x 3 得M 3 2 y1 解析答案 3 試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系 并說明理由 解析答案 解直線BM與直線DE平行 證明如下 當(dāng)直線AB的斜率不存在時 由 2 可知kBM 1 解析答案 解析答案 所以kBM 1 kDE 所以BM DE 綜上可知 直線BM與直線DE平行 返回 高頻小考點(diǎn) 8 高考中求橢圓的離心率問題 高頻小考點(diǎn) 解析答案 AF BF 4 AF AF0 4 a 2 解析如圖 設(shè)左焦點(diǎn)為F0 連結(jié)F0A F0B 則四邊形AFBF0為平行四邊形 解析答案 溫馨提醒 返回 解析答案 溫馨提醒 3b4 4a2c2 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 溫馨提醒 離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì) 是高考重點(diǎn)考查的一個知識點(diǎn) 這類問題一般有兩類 一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率 另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍 無論是哪類問題 其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a b c的關(guān)系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表達(dá) 轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式 這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點(diǎn)的根本方法 返回 思想方法感悟提高 1 橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性 正確理解 掌握定義是關(guān)鍵 應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于F1F2 避免了動點(diǎn)軌跡是線段或不存在的情況 方法與技巧 3 討論橢圓的幾何性質(zhì)時 離心率問題是重點(diǎn) 求離心率的常用方法有以下兩種 2 列出關(guān)于a b c的齊次方程 或不等式 然后根據(jù)b2 a2 c2 消去b 轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程 或不等式 求解 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 PF2 6 PF1 2a PF2 10 6 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A B兩點(diǎn) 且AB 3 3 已知F1 1 0 F2 1 0 是橢圓C的兩個焦點(diǎn) 過F2且垂直于x的直線與橢圓C交于A B兩點(diǎn) 且AB 3 則C的方程為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析當(dāng) PF1F2為直角時 根據(jù)橢圓的對稱性知 這樣的點(diǎn)P有2個 同理當(dāng) PF2F1為直角時 這樣的點(diǎn)P有2個 當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時 F1PF2最大 且為直角 此時這樣的點(diǎn)P有2個 故符合要求的點(diǎn)P有6個 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析圓M的方程可化為 x m 2 y2 3 m2 則由題意得m2 3 4 即m2 1 m 0 m 1 則圓心M的坐標(biāo)為 1 0 由題意知直線l的方程為x c 又 直線l與圓M相切 c 1 a2 3 1 a 2 答案2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題意知橢圓的兩個焦點(diǎn)F1 F2分別是兩圓的圓心 且PF1 PF2 10 從而PM PN的最小值為PF1 PF2 1 2 7 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因為點(diǎn)C在橢圓上 所以由橢圓定義知CA CB 2a 而AB 2c 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又x2 0 a2 2c2 a2 3c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以a c 1 又因為橢圓C的右準(zhǔn)線為x 4 代入上式解得a 2 c 1 所以b2 3 解由題意知 直線l的方程為y 2 x a 即2x y 2a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn) 它與橢圓C相交于另一點(diǎn)P 當(dāng)B F P三點(diǎn)共線時 試確定直線l的斜率 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 b N為線段AC的中點(diǎn) 證明 MN AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 1 的計算結(jié)果可知a2 5b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題意可設(shè)P c y0 c為半焦距 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由OP OF OF 知 PFF FPO OF P OPF 解析答案 所以 PFF OF P FPO OPF 180 知 FPO OPF 90 即FP PF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由橢圓定義 得PF PF 2a 4 8 12 從而a 6 得a2 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為 x y 即x2 3 y2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解設(shè)橢圓的焦距為2c 則F1 c 0 F2 c 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若F1C AB 求橢圓離心率e的值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解因為B 0 b F2 c 0 在直線AB上 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又AC垂直于x軸 由橢圓的對稱性 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又b2 a2 c2 整理得a2 5c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解得a2 4 b2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 求 ABQ面積的最大值 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解設(shè)A x1 y1 B x2 y2 將y kx m代入橢圓E的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 由 0 可得m2 4 16k2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因為直線y kx m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 將y kx m代入橢圓C的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 由 0 可得m2 1 4k2 由 可知0 t 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 知 ABQ面積為3S 返回