高考數學一輪復習 第九章 平面解析幾何 9.1 直線的方程課件 文.ppt

第九章平面解析幾何 9 1直線的方程 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 直線的傾斜角 1 定義 在平面直角坐標系中 對于一條與x軸相交的直線 把x軸所在的直線繞著交點按方向旋轉到和直線重合時所轉過的稱為這條直線的傾斜角 當直線l與x軸時 規(guī)定它的傾斜角為0 2 范圍 直線l傾斜角的范圍是 逆時針 最小正角 平行或重合 0 180 知識梳理 1 答案 2 斜率公式 1 若直線l的傾斜角 90 則斜率k 2 P1 x1 y1 P2 x2 y2 在直線l上 且x1 x2 則l的斜率k tan 答案 3 直線方程的五種形式 y y1 k x x1 y kx b Ax By C 0 A B不全為0 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 根據直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置 2 坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率 3 直線的傾斜角越大 其斜率就越大 4 直線的斜率為tan 則其傾斜角為 5 斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等 6 經過定點A 0 b 的直線都可以用方程y kx b表示 答案 思考辨析 7 不經過原點的直線都可以用表示 8 經過任意兩個不同的點P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直線都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 答案 1 直線x y a 0的傾斜角為 0 180 60 60 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 如果A C 0 且B C 0 那么直線Ax By C 0不通過第象限 故直線經過一 二 四象限 不經過第三象限 三 解析答案 1 2 3 4 5 3 過點P 2 3 且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為 解析當截距為0時 直線方程為3x 2y 0 所以直線方程為x y 5 0 綜上 直線方程為3x 2y 0或x y 5 0 3x 2y 0或x y 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改編 若過點A m 4 與點B 1 m 的直線與直線x 2y 4 0平行 則m的值為 m 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 5 直線l經過A 2 1 B 1 m2 m R 兩點 則直線l的傾斜角的取值范圍為 若l的傾斜角為 則tan 1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 題型一直線的傾斜角與斜率 解析答案 解析直線2xcos y 3 0的斜率k 2cos 解析答案 設直線的傾斜角為 解析答案 1 若將題 2 中P 1 0 改為P 1 0 其他條件不變 求直線l斜率的取值范圍 引申探究 解析答案 2 將題 2 中的B點坐標改為B 2 1 其他條件不變 求直線l傾斜角的范圍 解如圖 直線PA的傾斜角為45 直線PB的傾斜角為135 由圖象知l的傾斜角的范圍為 0 45 135 180 解析答案 思維升華 思維升華 1 cos 1 跟蹤訓練1 解析答案 解析答案 解析本題可先作出函數y 8 2x 2 x 3 的圖象 解析答案 例2根據所給條件求直線的方程 解由題設知 該直線的斜率存在 故可采用點斜式 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 題型二求直線的方程 解析答案 2 直線過點 3 4 且在兩坐標軸上的截距之和為12 又直線過點 3 4 故所求直線方程為4x y 16 0或x 3y 9 0 解析答案 3 直線過點 5 10 且到原點的距離為5 解當斜率不存在時 所求直線方程為x 5 0 當斜率存在時 設其為k 則所求直線方程為y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 故所求直線方程為3x 4y 25 0 綜上知 所求直線方程為x 5 0或3x 4y 25 0 解析答案 思維升華 思維升華 在求直線方程時 應先選擇適當的直線方程的形式 并注意各種形式的適用條件 用斜截式及點斜式時 直線的斜率必須存在 而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線 截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線 故在解題時 若采用截距式 應注意分類討論 判斷截距是否為零 若采用點斜式 應先考慮斜率不存在的情況 求適合下列條件的直線方程 1 經過點P 4 1 且在兩坐標軸上的截距相等 跟蹤訓練2 解析答案 解設直線l在x y軸上的截距均為a 若a 0 即l過點 0 0 及 4 1 l過點 4 1 解析答案 a 5 l的方程為x y 5 0 綜上可知 直線l的方程為x 4y 0或x y 5 0 2 經過點A 1 3 傾斜角等于直線y 3x的傾斜角的2倍 解由已知 設直線y 3x的傾斜角為 則所求直線的傾斜角為2 tan 3 又直線經過點A 1 3 即3x 4y 15 0 解析答案 命題點1與基本不等式相結合求最值問題 例3已知直線l過點P 3 2 且與x軸 y軸的正半軸分別交于A B兩點 如圖所示 求 ABO的面積的最小值及此時直線l的方程 題型三直線方程的綜合應用 解析答案 從而所求直線方程為2x 3y 12 0 所以 ABO的面積的最小值為12 此時直線l的方程為2x 3y 12 0 解析答案 方法二依題意知 直線l的斜率k存在且k 0 則直線l的方程為y 2 k x 3 k 0 解析答案 即 ABO的面積的最小值為12 故所求直線的方程為2x 3y 12 0 命題點2由直線方程解決參數問題 例4已知直線l1 ax 2y 2a 4 l2 2x a2y 2a2 4 當0 a 2時 直線l1 l2與兩坐標軸圍成一個四邊形 當四邊形的面積最小時 求實數a的值 解由題意知直線l1 l2恒過定點P 2 2 直線l1的縱截距為2 a 直線l2的橫截距為a2 2 解析答案 思維升華 與直線方程有關問題的常見類型及解題策略 1 求解與直線方程有關的最值問題 先設出直線方程 建立目標函數 再利用基本不等式求解最值 2 求直線方程 弄清確定直線的兩個條件 由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程 3 求參數值或范圍 注意點在直線上 則點的坐標適合直線的方程 再結合函數的單調性或基本不等式求解 思維升華 1 2014 四川 設m R 過定點A的動直線x my 0和過定點B的動直線mx y m 3 0交于點P x y 則PA PB的最大值是 跟蹤訓練3 解析答案 解析 直線x my 0與mx y m 3 0分別過定點A B A 0 0 B 1 3 當點P與點A 或B 重合時 PA PB為零 當點P與點A B均不重合時 P為直線x my 0與mx y m 3 0的交點 且易知此兩直線垂直 APB為直角三角形 解析答案 AP2 BP2 AB2 10 當且僅當PA PB時 上式等號成立 答案5 解析答案 返回 易錯警示系列 典例 14分 設直線l的方程為 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若l在兩坐標軸上截距相等 求l的方程 易錯分析本題易錯點求直線方程時 漏掉直線過原點的情況 10 求直線方程忽視零截距致誤 易錯警示系列 解析答案 易錯分析 a 0 方程即為x y 2 0 6分 綜上 l的方程為3x y 0或x y 2 0 7分 規(guī)范解答解當直線過原點時 該直線在x軸和y軸上的截距為零 a 2 方程即為3x y 0 3分 當直線不經過原點時 截距存在且均不為0 2 若l不經過第二象限 求實數a的取值范圍 解將l的方程化為y a 1 x a 2 a 1 13分 綜上可知a的取值范圍是a 1 14分 解析答案 溫馨提醒 返回 返回 溫馨提醒 1 在求與截距有關的直線方程時 注意對直線的截距是否為零進行分類討論 防止忽視截距為零的情形 導致產生漏解 2 常見的與截距問題有關的易誤點有 截距互為相反數 一截距是另一截距的幾倍 等 解決此類問題時 要先考慮零截距情形 注意分類討論思想的運用 思想方法感悟提高 直線的傾斜角和斜率的關系 1 任何直線都存在傾斜角 但并不是任意直線都存在斜率 2 直線的傾斜角 和斜率k之間的對應法則 方法與技巧 與直線方程的適用條件 截距 斜率有關問題的注意點 1 明確直線方程各種形式的適用條件點斜式 斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線 兩點式方程不能表示垂直于x y軸的直線 截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線 2 截距不是距離 距離是非負值 而截距可正可負 可為零 在與截距有關的問題中 要注意討論截距是否為零 3 求直線方程時 若不能斷定直線是否具有斜率時 應注意分類討論 即應對斜率是否存在加以討論 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若A m m 3 B 2 m 1 C 1 4 直線AC的斜率等于直線BC的斜率的三倍 則實數m的值為 解得m 1或m 2 經驗證均符合題意 1或2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 直線x a2 1 y 1 0的傾斜角的取值范圍是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 如圖中的直線l1 l2 l3的斜率分別為k1 k2 k3 則k1 k2 k3的大小關系為 解析直線l1的傾斜角 1是鈍角 故k1 0 直線l2與l3的傾斜角 2與 3均為銳角 且 2 3 所以0 k3 k2 因此k1 k3 k2 k1 k3 k2 解析答案 4 斜率為2的直線經過 3 5 a 7 1 b 三點 則a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故a b 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 一條直線經過點A 2 2 并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1 則此直線的方程為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 2 2 在此直線上 又 直線與坐標軸圍成的三角形面積為1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即x 2y 2 0或2x y 2 0為所求直線的方程 答案x 2y 2 0或2x y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若ab 0 且A a 0 B 0 b C 2 2 三點共線 則ab的最小值為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又C 2 2 在該直線上 所以 2 a b ab 又ab 0 故a 0 b 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即ab的最小值為16 答案16 9 設直線l m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 2m 6 0 m 1 根據下列條件分別確定m的值 1 直線l在x軸上的截距為 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解 l在x軸上的截距為 3 2m 6 0 即m 3 又m 1 m2 2m 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 直線l的斜率為1 解由題意知2m2 m 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知點P 2 1 1 求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解過點P的直線l與原點的距離為2 而點P的坐標為 2 1 顯然 過點P 2 1 且垂直于x軸的直線滿足條件 此時l的斜率不存在 其方程為x 2 若斜率存在 設l的方程為y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 此時直線l的方程為3x 4y 10 0 綜上 可得直線l的方程為x 2或3x 4y 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程 最大距離是多少 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線 如圖所示 由l OP 得klkOP 1 由直線方程的點斜式 得y 1 2 x 2 即2x y 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 若直線ax by ab a 0 b 0 過點 1 1 則該直線在x軸 y軸上的截距之和的最小值為 解析 直線ax by ab a 0 b 0 過點 1 1 當且僅當a b 2時上式等號成立 直線在x軸 y軸上的截距之和的最小值為4 4 解析答案 12 已知A 3 0 B 0 4 直線AB上一動點P x y 則xy的最大值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 設點A 1 0 B 1 0 直線2x y b 0與線段AB相交 則b的取值范圍是 解析b為直線y 2x b在y軸上的截距 如圖 當直線y 2x b過點A 1 0 和點B 1 0 時 b分別取得最小值和最大值 b的取值范圍是 2 2 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由題意可得kOA tan45 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知直線l kx y 1 2k 0 k R 1 證明 直線l過定點 證明直線l的方程是k x 2 1 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 無論k取何值 直線總經過定點 2 1 解析答案 2 若直線不經過第四象限 求k的取值范圍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 當k 0時 直線為y 1 符合題意 故k 0 解析答案 3 若直線l交x軸負半軸于A 交y軸正半軸于B AOB的面積為S O為坐標原點 求S的最小值并求此時直線l的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得k 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Smin 4 此時直線l的方程為x 2y 4 0 返回