高中數(shù)學(xué) 余弦定理課件 蘇教版必修5

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1、余余 弦弦 定定 理理1 1、向量的數(shù)量積、向量的數(shù)量積：cosbaba2、勾股定理、勾股定理：AaBCbc222cba證明：證明：CBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC2222CBACAB222abcAaBCbc余余 弦弦 定定 理理AcbAbc當(dāng) 時90C222bac當(dāng) 時90C222bac當(dāng) 時90C222bacAB邊的大小與邊的大小與BC、AC邊的大小和角邊的大小和角C的的大小有什么關(guān)系呢？大小有什么關(guān)系呢？怎樣用它們表示怎樣用它們表示AB呢？呢？余余 弦弦 定定 理理思考題思考題：若若 ABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求

2、求AB邊邊c.ABCabcCBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC22)180cos(2220CBCCBACACAB解法解法1:向量法向量法Cabbaccos2222小小 結(jié)結(jié)余余 弦弦 定定 理理定理定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減 去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222bcbcaB2cos222abcbaC2cos222余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊

3、求三個角；）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角，求第三邊和其他兩個角。角。余余 弦弦 定定 理理ABCabcD當(dāng)角C為銳角時證明：過A作AD CB交CB于D在Rt 中ADCCACCDCACADcos,sin在 中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222Rt ABD解法解法2:幾何法幾何法余余 弦弦 定定 理理當(dāng)角C為鈍角時證明：過A作AD CB交BC的延長線于D在Rt 中ACDCACCACCDCACCACADcos)180

4、cos(sin)180sin(在 中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222bAacCBDRt ABD余余 弦弦 定定 理理bAacCB 以CB所在的直線為X軸，過C點(diǎn)垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：)0 , 0(),0 ,(),sin,cos(CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbaCbABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222證法證法3:坐標(biāo)系法坐標(biāo)系法: 利用

5、余弦定理，可以解決：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊及夾角，求第三邊和 其他兩個角.ABCabcc2=a2b22abcosC.a2b2c22abcosC例 1：在ABC中，已知a7，b10， c6，求A、B和C.解：b2c2a22bc cosA 0.725， A44a2b2c22ab cosC 0.8071， C36, B180(AC)100.sinC 0.5954, C 36或144(舍).c sinA a()例 2：在ABC中，已知a2.730，b3.696， C8228，解這個三角形.解：由 c2=a2b22abcosC,得 c4.297.b2c2a22bc cosA 0.776

6、7， A392, B180(AC)5830.a sinC csinA 0.6299， A=39或141(舍).()ABCOxy例 3：ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法一： AB 6-(-2)2+(5-8)2 =73 ,BC (-2-4)2+(8-1)2 =85 ,AC (6-4)2+(5-1)2=25 ,cosA ,2 AB ACAB 2 AC 2 BC 22365 A84.ABCOxy例 3：ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法二： A84. cosA .ABACAB AC( 8)( 2)3( 4)73252365 AB(8

7、，3)，AC(2，4).ABCOxy例 3：ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = + ,tan = ?tan = ?tan(+ ) = 解：在AOB中， |a b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos120 61, |a b|61.例 4：已知向量a、b夾角為120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab與a的夾角.ababBbACa120O ab 21. COA即ab與a的夾角約為49. cosCOA 0.6546,a 2 ab 2 b 22 a ab例 4：已知向量a、b夾角為120， 且|a| 5，|b|4，求|a

8、b| 、 |ab| 及ab與a的夾角.ababBbACa120O在OAC中， |a + b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos60 21,例5 已知四邊形ABCD的四邊長為AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30, 求C.解: BD2 = AB2 + AD2 2ABADcosA 2.60,cosC = = 0.30,DC2 + BC2 BD22DCBCA30DCBC 107.5.思考思考：若A= , 怎樣用表示四邊形ABCD的面積？練習(xí)ABC中,（1）a4，b3，C60，則c_；1314.6（2）a = 2, b = 3, c = 4, 則C = _.104.

9、5（3）a2，b4，C135，則A_.研究題 總結(jié)解三角形的方法：已知三角形邊角中哪三個量，有唯一解或多解或無解？分別用什么方法？余余 弦弦 定定 理理課堂小結(jié)課堂小結(jié)：1、定理、定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減平方的和減 去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍倍。2、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：問題：（1）已知三邊求三個角；）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。他兩個角。小小 結(jié)結(jié)余余 弦弦 定定 理理布置作業(yè)：布置作業(yè)：