數(shù)學(xué)總第四章 幾何初步與三角形 第三節(jié) 等腰三角形與直角三角形

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1、第三節(jié)等腰三角形與直角三角形知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 等腰三角形等腰三角形 1 1等腰三角形：有等腰三角形：有 _ _ 相等的三角形是等腰三角形相等的三角形是等腰三角形2 2等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)(1)(1)等腰三角形的兩個(gè)底角等腰三角形的兩個(gè)底角 _ (_ (簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等等邊對(duì)等角角”) )兩邊兩邊相等相等(2)(2)等腰三角形的頂角等腰三角形的頂角 _、底邊上的、底邊上的 _ _ 、底邊上的高相互重合底邊上的高相互重合( (簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成“三線合一三線合一”) )(3)(3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有 _ _ 條對(duì)稱軸條對(duì)稱軸平分線平分線中線中線1 13

2、 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(2)(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)如果一個(gè)三角形有兩個(gè) _ _ 相等，那么這兩個(gè)角所相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等對(duì)的邊也相等( (簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊”) )角角逆向運(yùn)用等腰三角形逆向運(yùn)用等腰三角形“三線合一三線合一”的性質(zhì)也可以判定三的性質(zhì)也可以判定三角形是等腰三角形角形是等腰三角形(1)(1)一邊上的高線與這邊上的中線重合的三角形是等腰三一邊上的高線與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形角形(2)(2)一邊上的高線與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是一邊上的高線與這

3、邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(3)(3)一邊上的中線與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是一邊上的中線與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形等腰三角形知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 等邊三角形等邊三角形 1 1等邊三角形：三條邊都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形：三條邊都相等的三角形是等邊三角形2 2等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)(1)(1)等邊三角形的三條邊等邊三角形的三條邊 _，三個(gè)角都等于，三個(gè)角都等于 _(2)(2)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有 _ _ 條對(duì)稱軸條對(duì)稱軸都相等都相等60603 33 3等邊三角形的判定等邊三角形的判定(1)(1)三條

4、邊都相等的三角形是等邊三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形(2)(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形(3)(3)有一個(gè)角等于有一個(gè)角等于6060的的 _ _ 是等邊三角形是等邊三角形(4)(4)有兩個(gè)角等于有兩個(gè)角等于 _的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形等腰三角形等腰三角形6060知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三 直角三角形直角三角形 1 1勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理(1)(1)勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方如果用邊的平方如果用a a，b b和和c c分別表示直角三角形的兩直角分別表示直

5、角三角形的兩直角邊和斜邊，那么邊和斜邊，那么a a2 2b b2 2c c2 2. .(2)(2)逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形方，那么這個(gè)三角形是直角三角形勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是直角三角形或勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是直角三角形或證明線段垂直的重要依據(jù)證明線段垂直的重要依據(jù)2 2直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)(1)(1)直角三角形的兩個(gè)銳角直角三角形的兩個(gè)銳角 _(2)(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的 _ _ (3)(3)在直角三角形中，如果一個(gè)銳

6、角等于在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于3030，那么它，那么它所對(duì)的直角邊等于所對(duì)的直角邊等于 _(4)(4)直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于那么這條直角邊所對(duì)的角等于 _互余互余一半一半斜邊的一半斜邊的一半30303 3直角三角形的判定直角三角形的判定(1)(1)有一個(gè)角是有一個(gè)角是 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(2)(2)有兩個(gè)角有兩個(gè)角 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(3)(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a a，b b，c c滿足滿足a

7、 a2 2b b2 2c c2 2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形是直角三角形(4)(4)如果三角形一邊上的如果三角形一邊上的 _ _ 等于這邊的一半，那么等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形這個(gè)三角形是直角三角形9090互余互余中線中線知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四 角平分線與線段的垂直平分線角平分線與線段的垂直平分線1 1角平分線角平分線(1)(1)性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離 _ _ (2)(2)判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離 _的的點(diǎn)在角的平分線上點(diǎn)在角的平分線上相等相等相等相等2 2線段

8、的垂直平分線線段的垂直平分線(1)(1)線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(2)(2)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離端點(diǎn)的距離 _ _ (3)(3)判定定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在判定定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的這條線段的 _ _ 上上相等相等垂直平分線垂直平分線知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 1 1尺規(guī)作圖：我們把只能使用尺規(guī)作圖：我們把只能使用 _ _ 和和 _

9、的的直尺這兩種工具去作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖直尺這兩種工具去作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖圓規(guī)圓規(guī)沒有刻度沒有刻度2 2常見的五種基本作圖：常見的五種基本作圖：(1)(1)作一條線段等于已知線段；作一條線段等于已知線段；(2)(2)作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角等于已知角；(3)(3)作角平分線；作角平分線；(4)(4)過一點(diǎn)作已知直線的垂線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線；(5)(5)作線段的垂直平分線作線段的垂直平分線考點(diǎn)一考點(diǎn)一 等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 (5(5年年2 2考考) )命題角度命題角度等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為

10、在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)如圖是格點(diǎn)如圖是3 33 3的正方形網(wǎng)格，已知的正方形網(wǎng)格，已知A A，B B是兩格點(diǎn)，在網(wǎng)格中找一點(diǎn)是兩格點(diǎn)，在網(wǎng)格中找一點(diǎn)C C，使得，使得ABCABC為為等腰直角三角形，則這樣的點(diǎn)等腰直角三角形，則這樣的點(diǎn)C C有有( ( ) )A A6 6個(gè)個(gè) B B7 7個(gè)個(gè) C C8 8個(gè)個(gè) D D9 9個(gè)個(gè)【分析】【分析】 根據(jù)已知條件，分情況進(jìn)行討論根據(jù)已知條件，分情況進(jìn)行討論【自主解答】【自主解答】 如圖，如圖，ABAB是腰長(zhǎng)時(shí)，有是腰長(zhǎng)時(shí)，有4 4個(gè)點(diǎn)可以作為點(diǎn)個(gè)點(diǎn)可以作為點(diǎn)C C；ABAB是底邊時(shí)，有是底邊時(shí)，有2 2個(gè)點(diǎn)可以作為點(diǎn)個(gè)點(diǎn)可以作為點(diǎn)C.C

11、.所以滿足條件的點(diǎn)所以滿足條件的點(diǎn)C C的個(gè)數(shù)是的個(gè)數(shù)是4 42 26.6.故選故選A.A.講：分類討論解等腰三角形問題講：分類討論解等腰三角形問題在求解與等腰三角形有關(guān)的問題時(shí)，如果腰或者頂角不在求解與等腰三角形有關(guān)的問題時(shí)，如果腰或者頂角不確定，那么需要分類討論進(jìn)行求解，最易犯錯(cuò)的地方就確定，那么需要分類討論進(jìn)行求解，最易犯錯(cuò)的地方就是忽略分類討論，導(dǎo)致漏解是忽略分類討論，導(dǎo)致漏解練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練1 11 1(2017(2017石家莊二模石家莊二模) )若等腰三角形中有一個(gè)角等于若等腰三角形中有一個(gè)角等于7070，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)

12、是( )( )A A7070 B B4040C C7070或或4040 D D7070或或5555C C2 2(2013(2013河北河北) )如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P P的南偏東的南偏東7070方向的方向的M M處，它以每小時(shí)處，它以每小時(shí)4040海里的速度向正北方向航行，海里的速度向正北方向航行，2 2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P P的北偏東的北偏東4040的的N N處，則處，則N N處與燈處與燈塔塔P P的距離為的距離為( )( )A A4040海里海里 B B6060海里海里 C C7070海里海里 D D8080海里海里D D3 3已知等腰三角形的底邊

13、長(zhǎng)為已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10 10 cmcm，一腰上的中線把三，一腰上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為兩部分，其中一部分比另一部分長(zhǎng)角形的周長(zhǎng)分為兩部分，其中一部分比另一部分長(zhǎng)5 5 cmcm，那么這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為那么這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為 _cmcm. .命題角度命題角度 1515命題角度命題角度等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的性質(zhì)與判定 (2016(2016河北河北) )如圖，如圖，AOBAOB120120，OPOP平分平分AOBAOB，且且OPOP2.2.若點(diǎn)若點(diǎn)M M，N N分別在分別在OAOA，OBOB上，且上，且PMNPMN為等邊三角為等邊三角形，則滿足上述條件的形，則滿足上述條件的P

14、MNPMN有有( )( )A A1 1個(gè)個(gè) B B2 2個(gè)個(gè)C C3 3個(gè)個(gè) D D3 3個(gè)以上個(gè)以上【分析】【分析】 在在OAOA，OBOB上截取上截取OEOEOFOFOPOP，作，作MPNMPN6060，只要證明只要證明PEMPEMPONPON即可推出即可推出PMNPMN是等邊三角形，是等邊三角形，由此即可得出結(jié)論由此即可得出結(jié)論4 4(2017(2017河北模擬河北模擬) )如圖，如圖，ABCABC是等邊三角形，點(diǎn)是等邊三角形，點(diǎn)P P是是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，PDABPDAB，PEBCPEBC，PFACPFAC，若，若ABCABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為1212，則，則PDP

15、DPEPEPFPF( )( )A A12 B12 B8 C8 C4 D4 D3 3C C考點(diǎn)二考點(diǎn)二 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 (5(5年年0 0考考) )【分析】【分析】 BCBC邊上的高邊上的高ADAD可能在可能在ABCABC內(nèi)部，也可能在內(nèi)部，也可能在ABCABC外部，故需分情況討論外部，故需分情況討論講：應(yīng)用勾股定理的誤區(qū)講：應(yīng)用勾股定理的誤區(qū)在應(yīng)用勾股定理時(shí)，注意以下兩個(gè)問題：在應(yīng)用勾股定理時(shí)，注意以下兩個(gè)問題：(1)(1)使用勾股定使用勾股定理的前提必須是在直角三角形中；理的前提必須是在直角三角形中；(2)(2)當(dāng)直角三角形的斜當(dāng)直角三角形的斜邊不確定時(shí)，要注意分類討論

16、邊不確定時(shí)，要注意分類討論練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練5 5考點(diǎn)三考點(diǎn)三 直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì) (5(5年年0 0考考) ) 如圖，已知如圖，已知AOBAOB6060，點(diǎn)點(diǎn)P P在邊在邊OAOA上，上，OPOP1010，點(diǎn)，點(diǎn)M M，N N在邊在邊OBOB上，上，PMPMPN.PN.若若MNMN2 2，則則OMOM( )( )A A3 B3 B4 C4 C5 D5 D6 6【分析】【分析】 過點(diǎn)過點(diǎn)P P作作PHPHMNMN于于H H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出求出MHMH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OHOH，計(jì)算即可，計(jì)算即可直角三

17、角形的性質(zhì)：直角三角形的性質(zhì)：(1)(1)兩銳角互余；兩銳角互余；(2)(2)勾股定理；勾股定理；(3)(3)斜邊的中線等于斜邊的一半；斜邊的中線等于斜邊的一半；(4)30(4)30角所對(duì)的直角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半角邊等于斜邊的一半8 8如圖，如圖，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，AA5555，將其折疊，使點(diǎn)將其折疊，使點(diǎn)A A落在邊落在邊CBCB上上AA處，折痕為處，折痕為CDCD，則則ADBADB( )( )A A4040 B B3030 C C2020 D D1010C C考點(diǎn)四考點(diǎn)四 角平分線與線段的垂直平分線角平分線與線段的垂直平分線 (5(5年年3 3考考)

18、 ) 如圖，如圖，ABCABC中，中，BACBAC6060，BACBAC的平分線的平分線ADAD與邊與邊BCBC的垂直平分線的垂直平分線MDMD相交于相交于D D，DEABDEAB交交ABAB的延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線于線于E E，DFACDFAC于于F F，現(xiàn)有下列結(jié)論：，現(xiàn)有下列結(jié)論：DEDEDFDF；DEDEDFDFADAD；DMDM平分平分EDFEDF；ABABACAC2AE.2AE.其中正確的有其中正確的有( )( )A A1 1個(gè)個(gè) B B2 2個(gè)個(gè) C C3 3個(gè)個(gè) D D4 4個(gè)個(gè)【分析】【分析】 利用角平分線和垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答，利用角平分線和垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答，同時(shí)注意與全

19、等三角形知識(shí)的綜合應(yīng)用同時(shí)注意與全等三角形知識(shí)的綜合應(yīng)用1010(2017(2017石家莊模擬石家莊模擬) )如圖，如圖，ABCABC的三邊的三邊ABAB，BCBC，ACAC的長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)分別為1212，1818，2424，O O是是ABCABC三條角平分線的三條角平分線的交點(diǎn)，則交點(diǎn)，則S SOABOABSSOBCOBCSSOACOAC( )( )A A111 B111 B123 123 C C234 D234 D345345C C1111如圖，如圖，ABCABC中，中，BDBD平分平分ABCABC，BCBC的中垂線交的中垂線交BCBC于于點(diǎn)點(diǎn)E E，交，交BDBD于點(diǎn)于點(diǎn)F F，連接，連接

20、CF.CF.若若AA6060，ACFACF4848，則則ABCABC的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A A4848 B B3636 C C3030 D D2424A A考點(diǎn)五考點(diǎn)五 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 (5(5年年5 5考考) ) (2017 (2017河北河北) )如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算計(jì)算 【分析】【分析】 首先根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡進(jìn)行判斷，然后利用首先根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡進(jìn)行判斷，然后利用矩形、平行線、角平分線、垂直平分線的性質(zhì)求解即可矩形、平行線、角平分線、垂直平分線的性質(zhì)求解即可講：不理解尺規(guī)作圖的依據(jù)致錯(cuò)講：不理解尺規(guī)作圖的依據(jù)致錯(cuò)常見的尺規(guī)作圖一般有五種，

21、在復(fù)習(xí)時(shí)，要掌握每一種常見的尺規(guī)作圖一般有五種，在復(fù)習(xí)時(shí)，要掌握每一種尺規(guī)作圖的基本步驟，并理解其中的作圖依據(jù)，往往因尺規(guī)作圖的基本步驟，并理解其中的作圖依據(jù)，往往因?yàn)椴焕斫馄渲械淖鲌D依據(jù)而出錯(cuò)為不理解其中的作圖依據(jù)而出錯(cuò)練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練12121212(2014(2014河北河北) )如圖，已知如圖，已知ABC(ACABC(ACBC)BC)，用尺規(guī)，用尺規(guī)在在BCBC上確定一點(diǎn)上確定一點(diǎn)P P，使，使PAPAPCPCBCBC，則符合要求的作圖，則符合要求的作圖痕跡是痕跡是( )( )D D1313(2016(2016河北河北) )如圖，已知鈍角如圖，已知鈍角ABCABC，依，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡步驟步驟1 1：以：以C C為圓心，為圓心，CACA為半徑畫弧為半徑畫弧；步驟步驟2 2：以：以B B為圓心，為圓心，BABA為半徑畫弧為半徑畫弧，交弧交弧于點(diǎn)于點(diǎn)D D；步驟步驟3 3：連接：連接ADAD，交，交BCBC延長(zhǎng)線于點(diǎn)延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.H.下列敘述正確的是下列敘述正確的是( )( )A ABHBH垂直平分線段垂直平分線段ADADB BACAC平分平分BADBADC CS SABCABCBCBCAHAHD DABABADADA A