高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí) 23直接證明與間接證明課件 蘇教版

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1、綜合法的應(yīng)用綜合法的應(yīng)用 222.abcabcabcbca已知 ， ， 都是正數(shù)，求證：【】例1222222222222222.abcabcbacbacbcaabcabcabcbcaabcabcbca因?yàn)?， ， 都是正數(shù)，所以， ， ，三式相加得 ，即【】證明22 ababbb 綜證題從條發(fā)結(jié)為條獲問題終結(jié)題證從條項(xiàng)，這樣結(jié)論關(guān)這題關(guān)鍵 合法，是已知的件出，把每一步的果作件，直到得的最果本明件中，想到只要填就可由用到基本不等式，便與有，是突破本的1111(1) (1) (1)18.abcabcabcR已知 ， ，且 ，求證： 【變式練習(xí)】111(1) (1) (1)22288abcbc ac

2、 ababcbcacababcabcabcabc 【證 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立所以不等明】式成立分析法的應(yīng)用分析法的應(yīng)用 2222xycxyyxxycxyxyyx是否存在常數(shù) ，使得不等式對(duì)任意的正整數(shù) 、 恒成立？證明你【例2】的結(jié)論*222221.3332.22322233 (2 )3 (2 )2(2 )(2 )22223xyccxyxyyxxyxyxyyxx xyy yxxyyxxyxyxyxyyxN當(dāng) 時(shí)，有，則 先證因?yàn)?，故要證，只需證，即 ，顯然成立，所【以解析】；2222233 (2)3 (2 )2(2 )(2 )22.223232222xyxyyxxxyy xyxyyxxyx

3、yxyxyyxcxxyxyycxyyxxyyx再證，只需證 ，即 ，顯然成立，所以綜上所述，存在常數(shù) ，使對(duì)任意的正整數(shù) 、，不等式恒成立 本題主要考查用分析法證明不等式及分析問題、解決問題的能力此題是一個(gè)開放性問題，尋找常數(shù)c需要根據(jù)題目條件，觀察問題的特點(diǎn)，確定c的值，這是解決此類問題的關(guān)鍵；其次由于不等式的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，從已知入手，非常困難，采用分析法，化繁為簡(jiǎn)，順利找到不等式成立的必要條件當(dāng)要證的不等式較為復(fù)雜，已知與待證間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般采用分析法 22211022.aaaaa【變式練習(xí) 】已知，證明： 2222222211221122.011(2)(2)aaaaaaaaaaaaa要

4、證 ，只要證+因【為，所以只要證+證明】，2222222222222211114442 2()11212.121122aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa即證 ，只需證 ，即證 而 ，由基本不等式可知成立所以 得證反證法的應(yīng)用反證法的應(yīng)用 22222223360.abcaxybyzczxabc若 、 、 都是實(shí)數(shù)，且 ， ， ，求證：、 、 中至少有一個(gè)大【于例 】2222222220000(2)(2)(2)236(1)(1)(1)3.30 (1)(1)(1)0000.abcabcabcxyyzzxxyzxyzabcabcabc使用反證法：若 、 、 都不大于 ，即，則 因?yàn)?， ，所以

5、，與 矛盾因此【證明】，假設(shè)不成立故 、 、 中至少有一個(gè)大于 反證法是間接證法中的一種重要方法，體現(xiàn)了同一問題的另一種研究方法當(dāng)問題處于“否定性”“唯一性”或“無限性”背景時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)“至多”“至少”或“全都”等詞，這類命題一般都采用反證法 【變式練習(xí)3】求證：三條拋物線ycx22axb，yax22bxc，ybx22cxa(a、b、c為非零實(shí)數(shù))中至少有一條與x軸有交點(diǎn) 【證明】假設(shè)三條拋物線都與x軸均無交點(diǎn)，則方程 cx22axb0的判別式14a24bc0.同理，24b24ac0，34c24ab0，則1234a24b24c24ab4bc4ac0，所以2(ab)22(bc)22(ca)20

6、，這與2(ab)22(bc)22(ca)20相矛盾，故假設(shè)不成立所以三條拋物線中至少有一條與x軸有交點(diǎn) 1.已知p：關(guān)于x的不等式x22axa0的解集是R，q：1a0，則p是q的_【解析】由4a24a0，可得1aa0)，其濃度為_；若再加入m(m0)千克糖，糖水更甜了，根據(jù)這一生活常識(shí)，提煉出一個(gè)常見的不等式為_abaambbm4.證明：a2ab與b2ab(其中a，bR)中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù) 2222222()0200()0aabbababaabaabbbababR假【證明】設(shè) 與 其中 ，都是負(fù)數(shù)，即，兩式相加得 ，即 ，顯然不成立，所以假設(shè)不成立，原命題成立25.1(0)() .ababx

7、yabxyxyab 若 、 、 、，求證： 210()()()2() .ababxyabxyabxyxyxyaybxabxyaabbab因?yàn)?， 、 、 、，所以 即原不等【證明】式成立 1在數(shù)學(xué)問題解決過程中，不可能離開數(shù)學(xué)的證明求解數(shù)學(xué)題，每個(gè)步驟的實(shí)施，都離不開證明的因素，所以證明是包含在推理過程之中的證明一般分直接證明與間接證明兩種 直接證明是從已知或事實(shí)出發(fā)，遵照一定的邏輯程序推出問題的結(jié)論的一種證明方法，它主要有綜合法和分析法兩種綜合法是由已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，它的一般步驟是(已知)p0p1p2pn(結(jié)論)分析法正好與綜合法的思維順序相反，即先假設(shè)結(jié)論是正確的，由

8、此逐步推出保證結(jié)論成立的必要判斷，當(dāng)這些判斷恰好都是已知命題(正確的命題或關(guān)系)時(shí)，所要研究的問題就得到證明，它的一般步驟是(結(jié)論)pnp2p1(已知) 12 2()“” ()()npqqpppp 間接證明方法是直接證明方法的一個(gè)補(bǔ)充，當(dāng)直接證明有困難或過程太過于復(fù)雜時(shí)，常采用間接證明方法完成常見的間接證明方法是反證法，它的思維過程是假設(shè)結(jié)論為假，遵照邏輯規(guī)則，推出一個(gè)為假的事實(shí) 或與已知矛盾，或與數(shù)學(xué)事實(shí)矛盾 ，來說明假設(shè)結(jié)論為假是錯(cuò)誤的，從而所要證明的結(jié)論是正確的一般步驟是，要證明， 否定結(jié)論與已知矛盾 反證法的推理.pqqp 基礎(chǔ)是四種命題間的邏輯關(guān)系，即原命題與其逆否命題的真假性相同其

9、思想是，由證明，轉(zhuǎn)向證明它的逆否命題 3反證法的證明步驟： (1)反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原命題的反面為真； (2)歸謬：從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； (3)存真：由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立其中歸謬是反證法的關(guān)鍵也是難點(diǎn)，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水、無本之木，同時(shí)注意推理必須嚴(yán)謹(jǐn) 4常用反證法的題型： (1)用直接證法證明比較困難的一些幾何問題，尤其是證兩條直線是異面直線與唯一性問題，常采用反證法； (2)關(guān)于否定性問題的證明一般都使用反證法加以證明； ( 3 ) 命 題 中 含 有 “ 至

10、 多 ” “ 至少”“不多于”或“最多”等詞語的命題的證明，一般用反證法 22100122_1xyxyxymmm已知，且 ，若 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是22min222(2 )22142(2 )()488242.xymmxymmyxxyxyxyxymmm要使 恒成立，只要，而 ，所以，解得【解析】答案：4m0，且a2abacbc4，則2abc的最小值為_ 2()()402()()24aabacbcab acabcabcabacab acbc 因?yàn)?，且 ， ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等【解析】號(hào)成立答案：4 選題感悟：基本不等式是C級(jí)要求，但很多時(shí)候要對(duì)條件或結(jié)論變形以后應(yīng)用，需要認(rèn)真體會(huì)3(2

11、010揚(yáng)州期末卷)已知數(shù)列an，anpnqn(p0，q0，pq，R，0，nN*) (1)求證：數(shù)列an1pan為等比數(shù)列； (2)數(shù)列an中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由 1112111()(01)0nnnnnnnnnnnnnnnnapqapapqp pqqqpqpqapaqapaapa證明：因?yàn)?，所以 因?yàn)?，所?，為常數(shù)，所以數(shù)列為等【解析】比數(shù)列(2)取數(shù)列an的連續(xù)三項(xiàng)an，an1，an+2 (n1，nN*)因?yàn)閍n+12anan2(pn1qn1)2(pnqn)(pn2qn2)pnqn(pq)2， 而p0，q0，pq，0，所以pnqn(pq)20，所以an+12anan2，所以數(shù)列an中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列 選題感悟：數(shù)學(xué)證明方法的選擇是由具體的數(shù)學(xué)問題決定的，高考試題常以綜合法處理為主