高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 各個(gè)知識(shí)點(diǎn)攻破63 不等式的證明課件 新人教B版

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1、第三節(jié)不等式的證明 考綱要考綱要求求掌握分析法、綜合法、比較法證掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式明簡單的不等式考試熱考試熱點(diǎn)點(diǎn)1.以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)為背景考查數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)為背景考查證明不等式證明不等式2與數(shù)列等知識(shí)綜合考查放縮法與數(shù)列等知識(shí)綜合考查放縮法、求導(dǎo)法等不等式的證明方法、求導(dǎo)法等不等式的證明方法. 1比較法比較法 (1)作差比較法：作差比較法： 要證不等式要證不等式ab(或或a0(或或ab0，欲證，欲證ab，只需證，只需證1； 若若b0，欲證，欲證ab，只需證，只需證2a； a2b22(ab1)； (a2b2)(

2、c2d2)(acbd)2. 其中，恒成立的有其中，恒成立的有() A3個(gè)個(gè) B2個(gè)個(gè) C1個(gè)個(gè) D0個(gè)個(gè) 解析：解析：(a22)2a(a1)210，a222a恒恒成立成立 (a2b2)2(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a1，b1時(shí)等號(hào)時(shí)等號(hào)成立成立) a2b22(ab1)不恒成立不恒成立 (a2b2)(c2d2)(acbd)2 a2d2b2c22abcd(adbc)20， (a2b2)(c2d2)(acbd)2不恒成立不恒成立 答案：答案：C 答案：答案：C 5比較比較x61與與x4x2的大小，其中的大小，其中xR. 解：解：(x61)(x4x2

3、)x6x4x21 x4(x21)(x21)(x21)(x41) (x21)(x21)(x21)(x21)2(x21) 當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，x61x4x2； 當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，x61x4x2. 所以：所以：x61x4x2.比較法證明不等式比較法證明不等式 例例1設(shè)設(shè)c1，m. 求證：求證：m0，b0，m0，n0. 求證：求證：amnbmnambnanbm. 證明：證明：amnbmnambnanbmam(anbn)bm(bnan) (anbn)(ambm) a0，b0，m0，n0， 當(dāng)當(dāng)ab時(shí)，時(shí)，(anbn)(ambm)0， amnbmnambnanbm； 當(dāng)當(dāng)ab時(shí)，時(shí)，(anbn)(ambm)0，

4、 amnbmnambnanbm. 綜上可知：綜上可知：amnbmnambnanbm. 用分析法、綜合法證明不等式用分析法、綜合法證明不等式 例例2若若ab1，求證：，求證：2. 分析分析可采用綜合法或分析法證明，要注意應(yīng)用已知可采用綜合法或分析法證明，要注意應(yīng)用已知條件條件ab1. 拓展提升拓展提升本題用的兩種方法分別是綜合法與分析法，本題用的兩種方法分別是綜合法與分析法，用綜合法證明不等式時(shí)，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用綜合法證明不等式時(shí)，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)囊阎坏仁阶鳛橐罁?jù)，其中基本不等式是最選擇恰當(dāng)?shù)囊阎坏仁阶鳛橐罁?jù)，其中基本不等式是最常用的當(dāng)要證明的不等式比較復(fù)

5、雜時(shí)，兩端差異難以常用的當(dāng)要證明的不等式比較復(fù)雜時(shí)，兩端差異難以消去或者已知條件信息太少，已知與待證之間的聯(lián)系不消去或者已知條件信息太少，已知與待證之間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般可以采用分析法，分析法是步步尋找不等明顯時(shí)，一般可以采用分析法，分析法是步步尋找不等式成立的充分條件，而實(shí)際操作時(shí)往往是從要證明的不式成立的充分條件，而實(shí)際操作時(shí)往往是從要證明的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的充分條件，直到找到一等式出發(fā)，尋找使不等式成立的充分條件，直到找到一個(gè)已知的或非常明顯成立的不等式個(gè)已知的或非常明顯成立的不等式 證明不等式，也不一定是一種方法到底，有時(shí)可以多種證明不等式，也不一定是一種方法到底，有時(shí)可

6、以多種方法交替使用，比如本題的證法二中在分析到即證方法交替使用，比如本題的證法二中在分析到即證ab時(shí)，接下來可以用綜合法證明時(shí)，接下來可以用綜合法證明ab，這種方法我們，這種方法我們常稱為綜合分析法常稱為綜合分析法 已知已知a，b，c都是正數(shù)，求證：都是正數(shù)，求證：abc. 用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式 例例3(1)設(shè)設(shè)f(x)x2x13，|xa|1，求證：，求證： |f(x)f(a)|2(|a|1)； (2)求證：求證：(n2) 分析分析利用絕對(duì)值不等式進(jìn)行放縮利用絕對(duì)值不等式進(jìn)行放縮 拓展提升拓展提升本題體現(xiàn)放縮的兩個(gè)目的性：本題體現(xiàn)放縮的兩個(gè)目的性：(1)小題體現(xiàn)小題體現(xiàn)通過放縮

7、化繁為簡；通過放縮化繁為簡；(2)小題體現(xiàn)不易求和通過放縮轉(zhuǎn)化小題體現(xiàn)不易求和通過放縮轉(zhuǎn)化到易求和到易求和 用換元法證明不等式用換元法證明不等式 例例4若若x2y21，求證：，求證： (1)|xy|； (2)|x22xyy2|. 分析分析本題為條件不等式的證明，觀察條件可知，用本題為條件不等式的證明，觀察條件可知，用三角換元法較合適三角換元法較合適 拓展提升拓展提升(1)換元時(shí)注意要等價(jià)，如本題中換元時(shí)注意要等價(jià)，如本題中|r|1. (2)有些問題直接證明較困難，但若通過換元的思想去解有些問題直接證明較困難，但若通過換元的思想去解就很方便，換元法多用于條件不等式的證明，換元法中就很方便，換元法

8、多用于條件不等式的證明，換元法中常見的是三角換元當(dāng)題目條件為：常見的是三角換元當(dāng)題目條件為：a2b21，ab1，a2b21等時(shí)常用三角換元法等時(shí)常用三角換元法 設(shè)設(shè)1x2y22. 求證：求證：x2xyy23. 1在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí)，常用分析的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí)，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律有時(shí)問題證明難度較程，以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律有時(shí)問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題大，常使用分析綜合法，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題目的目的 2由于高考試題不會(huì)出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常由于高考試題不會(huì)出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，不等式的證明與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，不等式的證明除常用的三種方法外，還需學(xué)會(huì)其他方法，如函數(shù)的單除常用的三種方法外，還需學(xué)會(huì)其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法調(diào)性法、判別式法、換元法(特別是三角換元特別是三角換元)、放縮法、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等，注意它們之間的知識(shí)交匯聯(lián)系以及數(shù)學(xué)歸納法等，注意它們之間的知識(shí)交匯聯(lián)系