數(shù)學第一部分 方法、思想解讀 第3講 分類討論思想、轉化與化歸思想（1） 理

第第3 3講分類討論思想、講分類討論思想、 轉化與化歸思想轉化與化歸思想一、分類討論思想一、分類討論思想-3-從近五年高考試題來看,分類討論思想在高考試題中頻繁出現(xiàn),現(xiàn)已成為高考數(shù)學的一個熱點,也是高考的難點.高考中經(jīng)常會有幾道題,解題思路直接依賴于分類討論,特別在解答題中(尤其導數(shù)與函數(shù))常有一道分類討論求解的把關題,選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論題.-4-1.分類討論思想的含義分類討論思想就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時,首先需要把研究對象按某個標準分類,然后對每一類分別研究,得出每一類的結論,最后綜合各類結果得到整個問題的解答.2.分類討論的原則(1)不重不漏;(2)標準要統(tǒng)一,層次要分明;(3)能不分類的要盡量避免,決不無原則地討論.3.分類討論的常見類型(1)由數(shù)學概念而引起的分類討論;(2)由數(shù)學運算要求而引起的分類討論;(3)由性質、定理、公式的限制而引起的分類討論;(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論;(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論;(6)由實際意義引起的討論.-5-應用一應用二應用三應用一應用一由數(shù)學的概念引起的分類討論由數(shù)學的概念引起的分類討論 例1已知a,b0,且a1,b1.若logab1,則( D )A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0解析:當0a1得ba.a1,ba1,b-a0,b-10,a-10,(a-1)(a-b)0.排除A,B,C.當a1時,由logab1得ba1.b-a0,b-10.(b-1)(b-a)0.故選D.-6-應用一應用二應用三思維升華由數(shù)學概念引起的分類討論有:絕對值的定義、二次函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義、異面直線所成角的定義、直線的斜率、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.-7-應用一應用二應用三突破訓練突破訓練1若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍為 .解析: 若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調遞增,即函數(shù)g(x)=ax2+x在(0,1)內(nèi)單調遞增,當a=0時,g(x)=x在(0,1)內(nèi)單調遞增,符合題意,-8-應用一應用二應用三應用二應用二由數(shù)學運算、性質、定理、公式引起的分類討論由數(shù)學運算、性質、定理、公式引起的分類討論 例2設等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S3+S6=2S9,則數(shù)列的公比q是( C )-9-應用一應用二應用三思維升華1.在中學數(shù)學中,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性,基本不等式,等比數(shù)列的求和公式等在不同的條件下有不同的結論,或者在一定的限制條件下才成立,應根據(jù)題目條件確定是否進行分類討論.2.有些分類討論的問題是由運算的需要引發(fā)的.比如除以一個數(shù)時,這個數(shù)能否為零的討論;解方程及不等式時,兩邊同乘一個數(shù)是零、是正數(shù)、還是負數(shù)的討論;二次方程運算中對兩根大小的討論;差值比較中的差的正負的討論;有關去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等.-10-應用一應用二應用三突破訓練突破訓練2若關于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40對一切xR恒成立,則a的取值范圍是( C )A.(-,2B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)解析:當a-2=0即a=2時,不等式為-40,恒成立,所以a=2; 所以a的范圍是a|-2a2.-11-應用一應用二應用三應用三應用三根據(jù)字母的取值情況分類討論根據(jù)字母的取值情況分類討論 例3(2017河北衡水中學三調,理12)已知a,bR,且exa(x-1)+b對xR恒成立,則ab的最大值是( A )-12-應用一應用二應用三解析: 令f(x)=ex-a(x-1)-b,則f(x)=ex-a,若a=0,則f(x)=ex-b-b0,得b0,此時ab=0;若a0,函數(shù)單調增,x-,此時f(x)-,不可能恒有f(x)0.若a0,由f(x)=ex-a=0,得極小值點x=ln a,由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a),aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a).思維升華含有參數(shù)的分類討論問題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.-13-應用一應用二應用三突破訓練突破訓練3若函數(shù)f(x)=aex-x-2a有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是( D )-14-應用一應用二應用三解析:函數(shù)f(x)=aex-x-2a的導函數(shù)f(x)=aex-1,當a0時,f(x)0恒成立,函數(shù)f(x)在R上單調,不可能有兩個零點;-15-1.簡化分類討論的策略:(1)消去參數(shù);(2)整體換元;(3)變更主元;(4)考慮反面;(5)整體變形;(6)數(shù)形結合;(7)縮小范圍等.2.分類討論遵循的原則是:不遺漏、不重復,科學地劃分,分清主次,不越級討論.