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備考技法專題三 9 大板塊知識系統(tǒng)歸納——熟一熟基礎
板塊(一) 集合與常用邏輯用語
(一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分
1．集合運算的重要結(jié)論
(1)A∩B?A，A∩B?B；
A＝A∩A，A?A∪B，B?A∪B；
A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；
A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)若A?B，則A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，則A?B.若A?B，則A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，則A?B.
(3)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.
2．特稱命題真假的判斷
(1)要判斷特稱命題“?x0∈M，p(x0)”是真命題，只需找到集合M中的一個元素x0，使p(x0)成立即可．
(2)要判定一個特稱命題“?x0∈M，p(x0)”是假命題，需驗證p(x)對集合M中的每一個元素x都不成立．
3．充分條件與必要條件的重要結(jié)論
(1)如果p?q，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件．
(2)如果p?q，且q?p，那么p是q的充要條件．
(3)如果p?q，但qp，那么p是q的充分不必要條件．
(4)如果q?p，且pq，那么p是q的必要不充分條件．
(5)如果pq，且qp，那么p是q的既不充分也不必要條件．
(二)明辨易錯易混，謹防無謂失分
1．遇到A∩B＝?時，你是否注意到“極端”情況：A＝?或B＝?；同樣在應用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時，不要忽略A＝?的情況．
2．“否命題”是對原命題“若p，則q”既否定其條件，又否定其結(jié)論；而“命題p的否定”即：非p，只是否定命題p的結(jié)論．
3．要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：選C 由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1
0且a≠1)；(ex)′＝ex；
(logax)′ ＝(a>0且a≠1)；(ln x)′＝.
2．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論
(1)當f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)則為增(減)函數(shù)．
(2)奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性．
(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于原點對稱；
f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．
(4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)．
(5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x)＝0.
3．抽象函數(shù)的周期性與對稱性的結(jié)論
(1)函數(shù)的周期性
①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數(shù)，T＝2a.
②若滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a.
③若滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a.
(2)函數(shù)圖象的對稱性
①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a 對稱．
②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱．
③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
4．函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論
(1)把y＝f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個單位(c＞0時向左移，c＜0時向右移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))．
(2)把y＝f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個單位(b＞0時向上移，b＜0時向下移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))．
5．函數(shù)圖象伸縮變換的相關(guān)結(jié)論
(1)把y＝f(x)的圖象上各點的縱坐標伸長(a＞1)或縮短(0＜a＜1)到原來的a倍，而橫坐標不變，得到函數(shù)y＝af(x)(a＞0)的圖象．
(2)把y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長(0＜b＜1)或縮短(b＞1)到原來的倍，而縱坐標不變，得到函數(shù)y＝f(bx)(b＞0)的圖象．
(二)明辨易錯易混，謹防無謂失分
1．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．
2．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響．
3．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應關(guān)系的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．
4．不能準確理解導函數(shù)的幾何意義，易忽視切點(x0，f(x0))既在切線上，又在函數(shù)圖象上，而導致某些求導數(shù)的問題不能正確解出．
5．易混淆函數(shù)的極值與最值的概念，錯以為f′(x0)＝0是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處有極值的充分條件．
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．已知函數(shù)f(x)＝若f(f(0))＝a2＋1，則實數(shù)a＝( )
A．－1 B．2
C．3 D．－1或3
解析：選D 由題意可知，f(0)＝2，而f(2)＝4＋2a，由于f(f(0))＝a2＋1，所以a2＋1＝4＋2a，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3，故選D.
2．(2018益陽、湘潭調(diào)研)函數(shù)f(x)＝的圖象大致是( )
解析：選B 易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1}，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．當x∈(0,1)時，f(x)＝＞0，排除D；當x∈(1，＋∞)時，f(x)＝＜0，排除A、C.故選B.
3．函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是( )
A．(－1,3)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
B．(3,5)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間
C．函數(shù)y＝f(x)在x＝0處取得極大值
D．函數(shù)y＝f(x)在x＝5處取得極小值
解析：選C 由函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)的圖象可知，當x＜－1或3＜x＜5時，f′(x)＜0，y＝f(x)單調(diào)遞減；當x＞5或－1＜x＜3時，f′(x)＞0，y＝f(x)單調(diào)遞增．所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3,5)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,3)，(5，＋∞)．函數(shù)y＝f(x)在x＝－1,5處取得極小值，在x＝3處取得極大值，故選項C錯誤．
4．(2018武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2－x＋x2，則f(2)＝________.
解析：法一：∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f(2)＝－f(－2)＝－[2－(－2)＋(－2)2]＝－(4＋4)＝－8.
法二：當x＞0時，－x＜0，
∴f(－x)＝2－(－x)＋(－x)2＝2x＋x2，
又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－2x－x2，
∴f(2)＝－22－22＝－8.
答案：－8
5．(2018鄭州第一次質(zhì)量測試)已知函數(shù)f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，令g(x)＝5－mx，則g(x)恒過點(0,5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并數(shù)形結(jié)合得－≤－m≤0，解得0≤m≤.
答案：
板塊(三) 不 等 式
(一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分
1．一元二次不等式的恒成立問題
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是
2．基本不等式的重要結(jié)論
(1)≥(a＞0，b＞0)．
(2)ab≤2(a，b∈R)．
(3) ≥≥(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值
(1)對于正數(shù)x，y，若積xy是定值p，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2.
(2)對于正數(shù)x，y，若和x＋y是定值s，則當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值s2.
4．線性規(guī)劃中的兩個重要結(jié)論
(1)點M(x0，y0)在直線l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)?Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．
(2)點A(x1，y1)，B(x2，y2)在直線l：Ax＋By＋C＝0同側(cè)(或異側(cè))?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．
(二)明辨易錯易混，謹防無謂失分
1．不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，不討論這個數(shù)的正負，從而出錯．
2．容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導致錯解，如函數(shù)f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解；求解函數(shù)y＝x＋(x<0)的最值時應先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解．
3．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負；注意最優(yōu)整數(shù)解．
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．在R上定義運算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，則a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：選C 由題知(x－a)?(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
2．已知變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－y的最大值為( )
A．2 B．11
C．16 D．18
解析：選C 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，其中A(1,1)，B(8,8)，C.分析知當直線z＝3x－y經(jīng)過點B(8,8)時，z取得最大值，且zmax＝38－8＝16，故選C.
3．已知點C在直線AB上，且平面內(nèi)的任意一點O，滿足＝x＋y，x＞0，y＞0，則＋的最小值為( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：選B ∵點C在直線AB上，故存在實數(shù)λ使得＝λ，則＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.又x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當＝，即x＝y(tǒng)＝時取等號，故選B.
4．若關(guān)于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－22x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當2x＝2，即x＝1時，y有最小值0.
∴a的取值范圍為(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
板塊(四) 三角函數(shù)與平面向量
(一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分
1．由sin αcos α符號判斷α的位置
(1)sin α－cos α＞0?α終邊在直線y＝x上方(特殊地，當α在第二象限時有 sin α－cos α＞1)；
(2)sin α＋cos α＞0?α終邊在直線y＝－x上方(特殊地，當α在第一象限時有sin α＋cos α>1)．
2．三點共線的判定
A，B，C三點共線?，共線；
向量， ，中三終點A，B，C共線?存在實數(shù)α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
3．中點坐標和三角形的重心坐標
(1)P1，P2的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)， ＝?P為P1P2的中點，中點P的坐標為.
(2)三角形的重心坐標公式：△ABC的三個頂點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標是.
4．三角形“四心”向量形式的充要條件
設O為△ABC所在平面上一點，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則
(1)O為△ABC的外心?||＝||＝||＝.
(2)O為△ABC的重心?＋＋＝0.
(3)O為△ABC的垂心?＝＝.
(4)O為△ABC的內(nèi)心?a＋b＋c＝0.
(二)明辨易錯易混，謹防無謂失分
1．在求三角函數(shù)的值域(或最值)時，不要忽略x的取值范圍．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時，要注意ω，A的符號．ω<0時，應先利用誘導公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解；在書寫單調(diào)區(qū)間時，不能弧度和角度混用，需加2kπ時，不要忘掉k∈Z，所求區(qū)間一般為閉區(qū)間．
3．對三角函數(shù)的給值求角問題，應選擇該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，這樣，由三角函數(shù)值才可以唯一確定角，若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．
4．利用正弦定理解三角形時，注意解的個數(shù)討論，可能有一解、兩解或無解．在 △ABC中，A>B?sin A>sin B.
5．當ab＝0時，不一定得到a⊥b，當a⊥b時，ab＝0；ab＝cb，不能得到a＝c，消去律不成立；(ab)c與a(bc)不一定相等；(ab)c與c平行，而a(bc)與a平行．
6．兩向量夾角的范圍為[0，π]，向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價．
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：選D 由余弦定理得5＝b2＋4－2b2，
解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D.
2．(2018湖北八校聯(lián)考)已知sin(π＋α)＝－，則tan的值為( )
A．2 B．－2
C. D．2
解析：選D ∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，則cos α＝，
∴tan＝＝＝2.
3．(2018鄭州第二次質(zhì)量預測)已知函數(shù)f(x)＝ cos－cos 2x，若要得到一個奇函數(shù)的圖象，則可以將函數(shù)f(x)的圖象( )
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
解析：選C f(x)＝ cos－cos 2x＝ cos－cos 2x＝sin 2x－ cos 2x＝2sin ＝2sin ，所以將f(x)的圖象向左平移個單位長度可得到奇函數(shù)y＝2sin 2x的圖象．故選C.
4．已知△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的三邊分別為a，b，c，若a＝2，sin C＝ 2sin B且sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B，則c的值為( )
A. B.
C. D.
解析：選D sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B可化為sin Acos B＋sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＋sin B，即sin＝，∴A＝，又sin Acos B＋cos Asin B＝2sin B，即cos B＋sin B＝2sin B，則tan B＝，B＝，則C＝，c＝＝，故選D.
5．(2018西安八校聯(lián)考)在△ABC中，已知＝，||＝3，||＝3，M，N分別是BC邊上的三等分點，則的值是( )
A. B.
C．6 D．7
解析：選B 不妨設＝＋，＝＋，所以＝＝2＋＋2＝(2＋2)＋ ＝(32＋32)＋＝，故選B.
6．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，c＝(7,1)，若a∥b，則bc＝________.
解析：∵向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，a∥b，∴－m－22＝0，解得m＝－4，
∴b＝(2，－4)，∵c＝(7,1)，∴bc＝27－41＝10.
答案：10
板塊(五) 數(shù) 列
(一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分
1．等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an.
(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列．
(4)＝n＋是關(guān)于n的一次函數(shù)或常函數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列．
(5)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
(6)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2m－1，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
2．等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論
(1)an＝a1qn－1＝amqn－m，p＋q＝m＋n?apaq＝aman.
(2){an}，{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列．
(3)連續(xù)m項的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍然成等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項的和必須非零才能成立)．
(4)若等比數(shù)列有2n項，公比為q，奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，則＝q.
(5)等比數(shù)列前n項和有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn；
②＝(q≠1)．
(二)明辨易錯易混，謹防無謂失分
1．已知數(shù)列的前n項和求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事實上，當n＝1時，a1＝S1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1.
2．易忽視等比數(shù)列中公比q≠0，導致增解，易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項或偶數(shù)項符號相同造成增解．
3．運用等比數(shù)列的前n項和公式時，易忘記分類討論．一定分q＝1和q≠1兩種情況進行討論．
4．對于通項公式中含有(－1)n的一類數(shù)列，在求Sn時，切莫忘記討論n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通項公式，要注意分n的奇偶性討論．
5．求等差數(shù)列{an}前n項和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的條件．
6．利用錯位相減法求和時，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項和最后一項．
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＋a3＝6，則S4的值為( )
A．12 B．11
C．10 D．9
解析：選A 由題意得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝12.
2．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前4項的和為9，積為，則前4項倒數(shù)的和為( )
A. B.
C．1 D．2
解析：選D 設等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，則第2,3,4項分別為a1q，a1q2，a1q3，依題意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1a1qa1q2a1q3＝?aq3＝，兩式相除得
＝＋＋＋＝2.
3．設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則＝( )
A．2 B.
C. D．1或2
解析：選B 設S2＝k，則S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故選B.
4．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，a2＋a5＝4，則a8＝________.
解析：因為S3，S9，S6成等差數(shù)列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2＝4，解得a2＝8，故a8＝8＝2.
答案：2
板塊(六) 立體幾何
(一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分
1．根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)三視圖為三個三角形，一般對應三棱錐．
(2)三視圖為兩個三角形，一個四邊形，一般對應四棱錐．
(3)三視圖為兩個三角形，一個圓，一般對應圓錐．
(4)三視圖為一個三角形，兩個四邊形，一般對應三棱柱．
(5)三視圖為兩個四邊形，一個圓，一般對應圓柱．
2．長方體的對角線與共點三條棱之間的長度關(guān)系d2＝a2＋b2＋c2；長方體外接球半徑為R時有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
3．棱長為a的正四面體內(nèi)切球半徑r＝a，外接球半徑R＝a.
(二)明辨易錯易混，謹防無謂失分
1．在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主．
2．不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導致判斷出錯．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m?α的限制條件．
3．注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系．
4．幾種角的范圍：
兩條異面直線所成的角0<α≤90；
直線與平面所成的角0≤α≤90；
二面角0≤α≤180；
兩條相交直線所成的角(夾角)0<α≤90；
直線的傾斜角0≤α<180；
兩個向量的夾角0≤α≤180；
銳角0<α<90.
5．空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求解二面角時，不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍，忽視法向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導致出錯．
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的正視圖是邊長為1的正方形，俯視圖是邊長為1的正三角形，點P是A1B1上一動點(異于A1，B1)，則該三棱柱的側(cè)視圖是( )
解析：選C 由正視圖與俯視圖知，A1B1垂直于投影面，且側(cè)視圖為長方形，PC的投影線為虛線，故選C.
2．(2018安徽知名示范高中聯(lián)考)已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的表面積與球的表面積的比是( )
A．6∶5 B．5∶4
C．4∶3 D．3∶2
解析：選D 設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，設圓柱的表面積和球的表面積分別為S1，S2，則S1＝2πR2＋2πR2R＝6πR2，S2＝4πR2，所以＝.
3．(2018西安八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. B.
C．2＋ D．4＋
解析：選B 由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球與一個底面半徑為1，高為2的半圓柱組合而成的組合體，故其體積V＝π13＋π122＝π.
4．(2018惠州調(diào)研)設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，則下列命題中正確的個數(shù)是( )
①若l⊥α，則l與α相交；
②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C 對于①，若l⊥α，則l與α不可能平行，l也不可能在α內(nèi)，所以l與α相交，①正確；對于②，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則有可能是l?α，故②錯誤；對于③，若l∥m，m∥n，則l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正確；對于④，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正確．選C.
5．已知三棱柱ABCA1B1C1的三視圖如圖所示，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達點A1的最短路線的長為________．
解析：把三視圖還原成直觀圖如圖1中三棱柱ABCA1B1C1所示，三棱柱底面為直角三角形，將三棱柱側(cè)面沿AA1剪開，展成如圖2所示的矩形A1AA′A′1，連接AA′1，當質(zhì)點從A沿側(cè)面繞行一周到達點A1的路線為展開圖中的線段AA′1時，繞行的路線最短，由三視圖得AA1＝5，AA′＝12，所以AA′1＝13.
答案：13
6.底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S ABCD，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為________．
解析：設所給半球的半徑為R，則四棱錐的高h＝R，底面正方形中，AB＝BC＝CD＝DA＝R，所以R3＝，則R3＝2，于是所求半球的體積為V＝πR3＝π.
答案：π
板塊(七) 解析幾何
(一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分
1．直線與圓位置關(guān)系的判定方法
(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切．
(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設圓心到直線的距離為d，則dr?相離，d＝r?相切(主要掌握幾何方法)．
2．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系
(1)平行?A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y軸上截距不相等)；
(2)相交?A1B2－A2B1≠0；
(3)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；
(4)垂直?A1A2＋B1B2＝0.
3．若點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則該點的切線方程為：x0x＋y0y＝r2.
4．通徑：
(1)橢圓通徑長為；
(2)雙曲線通徑長為；
(3)拋物線通徑長為2p.
5．拋物線焦點弦的常用結(jié)論：
設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則
(1)焦半徑|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝.
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(3)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(4)＋＝.
(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切．
(6)S△OAB＝(O為拋物線的頂點)．
(二)明辨易錯易混，謹防無謂失分
1．不能準確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯．
2．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的情況，直接設為＋＝1；再如，過定點P(x0，y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設為y－y0＝k(x－x0)等．
3．討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0.
4．圓的標準方程中，易誤把r2當成r；圓的一般方程中忽視方程表示圓的條件．
5．易誤認為兩圓相切為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導致漏解．
6．利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a＜|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支．
7．已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解．
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．已知圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax＋by－2＝0對稱，則ab的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選A 將圓的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圓關(guān)于已知直線對稱，即圓心(1,2)在直線2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，選A.
2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M到焦點F的距離等于2p，則直線MF的斜率為( )
A． B．1
C． D．
解析：選A 設M(x0，y0)，易知焦點F，由拋物線的定義得|MF|＝x0＋＝2p，所以x0＝p，故y＝2pp＝3p2，解得y0＝p，故直線MF的斜率k＝＝，選A.
3．設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的左、右兩個焦點，M是雙曲線與橢圓＋＝1的一個公共點，則△MF1F2的面積等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：選B 法一：由得不妨設點M是兩曲線在第一象限的交點，則有M，點M到x軸的距離為，由已知可得|F1F2|＝2c＝2，故△MF1F2的面積等于2＝4，故選B.
法二：依題意可得雙曲線與橢圓的焦點相同，假設點M是兩曲線在第一象限的交點，則有|MF1|－|MF2|＝2，|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，由于|MF1|2＋|MF2|2＝42＋22＝20＝|F1F2|2，故△MF1F2是直角三角形，其面積為42＝4.故選B.
4．(2018福州期末)已知雙曲線C的兩個焦點F1，F(xiàn)2都在x軸上，對稱中心為原點O，離心率為.若點M在C上，且MF1⊥MF2，M到原點的距離為，則C的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析：選C 由題意可知，OM為Rt△MF1F2斜邊上的中線，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原點的距離為，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，
所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.
故雙曲線C的方程為x2－＝1.
5．(2018合肥質(zhì)檢)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓x2＋y2－6x＋5＝0所截得的弦長為2，則該雙曲線的離心率等于________．
解析：不妨取雙曲線－＝1的一條漸近線方程為bx－ay＝0，圓x2＋y2－6x＋5＝0的圓心為(3,0)，半徑為2，∴圓心(3,0)到漸近線bx－ay＝0的距離d＝，又d＝＝， ∴＝，化簡得a2＝2b2，∴該雙曲線的離心率e＝＝＝＝.
答案：
6．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2＝60，則橢圓的離心率為________．
解析：如圖所示，令|PF1|＝1，
在Rt△PF1F2中，由∠F1PF2＝60，可知|PF2|＝2，|F1F2|＝，由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3,2c＝，所以e＝＝.
答案：
板塊(八) 概率與統(tǒng)計
(一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分
1．直方圖的三個結(jié)論
(1)小長方形的面積＝組距＝頻率．
(2)各小長方形的面積之和等于1.
(3)小長方形的高＝，所有小長方形高的和為.
2．線性回歸方程
線性回歸方程＝x＋一定過樣本點的中心(，)．
3．獨立性檢驗
利用隨機變量K2＝來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．如果K2的觀測值k越大，說明“兩個分類變量有關(guān)系”的這種判斷犯錯誤的可能性越小．
4．二項式定理
(1)各二項式系數(shù)之和：
①C＋C＋C＋…＋C＝2n.
②C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)：
①C＝C，C＋C＝C.
②二項式系數(shù)最值問題：
當n為偶數(shù)時，中間一項即第＋1項的二項式系數(shù)Cn最大；當n為奇數(shù)時，中間兩項
即第，項的二項式系數(shù)C，C相等且最大．
(3)求兩個二項式乘積的展開式中xk項(或系數(shù))，要用系數(shù)配對．
5．八組公式
(1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)均值公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)均值的性質(zhì)
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np；
③若X服從兩點分布，則E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn，標準差.
(5)方差的性質(zhì)
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)；
③若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．
(6)獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(7)獨立重復試驗的概率計算公式
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.
(8)條件概率公式
P(B|A)＝.
(二)明辨易錯易混，謹防無謂失分
1．應用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和．
2．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．
3．二項式(a＋b)n與(b＋a)n的展開式相同，但通項公式不同，對應項也不相同，在遇到類似問題時，要注意區(qū)分．還要注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，同時明確二項式系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項的不同．
4．要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別
(1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時發(fā)生．
(2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．(2018武漢調(diào)研)將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球，那么甲盒中恰好有3個小球的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：選C 將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球有C種放法，甲盒中恰好有3個小球有C種放法，結(jié)合古典概型的概率計算公式得所求概率為＝.故選C.
2．(2018重慶調(diào)研)已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝kx，其中k為[－，]上的任意一個數(shù)，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：選D 當直線l與圓C相離時，圓心C到直線l的距離d＝>，解得k>1或k<－1，又k∈[－，]，所以－≤k<－1或1”的區(qū)別．
(三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身
1．(2018太原模擬)設復數(shù)z滿足＝i，則z的共軛復數(shù)為( )
A．i B．－i
C．2i D．－2i
解析：選A ∵＝i，∴z＝＝＝－i，∴＝i.
2．(2018石家莊模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a的值為1，則輸出的k的值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選D 開始，k＝0，a＝1，所以b＝1；第一次循環(huán)，a＝－＝－，此時a≠b；第二次循環(huán)，k＝2，a＝－＝－2，此時a≠b；第三次循環(huán)，k＝4，a＝ －＝1，此時a＝b，結(jié)束循環(huán)，輸出k的值為4，故選D.
3．(2018鄭州第一次質(zhì)量測試)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7，則判斷框內(nèi)m的取值范圍是( )
A．(30,42] B．(30,42)
C．(42,56] D．(42,56)
解析：選A k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此時不滿足S＝420，
當a＝1時，ln ＋＝＞0，
當a＝時，ln＋＜0，
當a＝2時，ln ＋＜0，所以a∈.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則常數(shù)a＝______
（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 備考技法 專題三 9大板塊知識系統(tǒng)歸納——熟一熟基礎講義 理（普通生含解析）.doc
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