2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第一講 幾何證明選講 理.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第一講 幾何證明選講 理 1．平行線等分線段定理． 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線l1，l2，l3于A1，A2，A3，l′分別交直線l1，l2，l3于B1，B2，B3，A1A2＝A2A3，則B1B2＝B2B3. 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊，即在△ABC中，若AD＝DB，DE∥BC，則AE＝EC. 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)且與底邊平行的直線平分另一腰，即在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，則DF＝FC. 2．平行線分線段成比例定理． 三條平行線截任意兩條直線，所截出的對(duì)應(yīng)線段成比例，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線l1，l2，l3于A，B，C，l′分別交直線l1，l2，l3于D，E，F(xiàn)，則＝. 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，即在△ABC，DE∥BC，則＝. 3．相似三角形的定義． 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，解題時(shí)常常把對(duì)應(yīng)點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)的位置上． 4．相似三角形的判定方法． (1)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似；(2)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似． 5．相似三角形的性質(zhì)． (1)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和它們周長的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比)；(2)相似三角形的面積比等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比)的平方． 6．射影定理． 直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90，BD⊥AC于D，則BD2＝ADCD，AB2＝ADAC，BC2＝CDCA. 7．與圓有關(guān)的角的概念． (1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心，兩邊和圓相交的角叫做圓心角．如圖1中的∠AOB. (2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊和圓相交的角叫做圓周角．如圖2中的∠DEF. (3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖3中的∠MPN. 8．與圓有關(guān)的角的性質(zhì)． (1)圓周角定理：圓上的一條弧所對(duì)的圓周角大小等于它所對(duì)的圓心角的一半．如圖4，∠ACB＝∠AOB. (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，圓周角為90時(shí)所對(duì)的弦是直徑．如圖5，∠DEF＝90. (3)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． 如圖6，∠MPN＝∠PQM. 9．圓的切線的判定和性質(zhì)． (1)圓的切線的定義：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)． (2)圓的切線的判定：①若圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線；②經(jīng)過直徑的一端，并且垂直 于這條直徑的直線是圓的切線． (3)圓的切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 10．與圓有關(guān)的比例線段． (1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．如圖7，PAPB＝PCPD． (2)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等．如圖8，PAPB＝PCPD． (3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．如圖9，PA2＝PCPD． (4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．如圖10，PA＝PC，∠APO＝∠CPO. 11．圓內(nèi)接四邊形． (1)圓內(nèi)接四邊形的判定：①如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；②如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上． (2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；②圓內(nèi)接四邊形的外角等于與它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角． 12．直線與圓的位置關(guān)系． (1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離． ①相交——直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)； ②相切——直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)； ③相離——直線與圓沒有公共點(diǎn)． (2)判定直線與圓的位置關(guān)系的方法：直線與圓的位置決定于圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的大小關(guān)系． ①直線與圓相交?dr． 判定直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，先看：看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個(gè)公共點(diǎn)；再算：算算圓心到直線的距離d和圓的半徑為r之間的大小關(guān)系；后斷：然后根據(jù)上述關(guān)系作出判斷． 13．圓與圓的位置關(guān)系． (1)平面內(nèi)兩圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含． (2)判定兩個(gè)圓的位置關(guān)系的方法：設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R和r，則 ①兩圓外離?d>R＋r，有4條公切線； ②兩圓外切?d＝R＋r，有3條公切線； ③兩圓相交?R－rr)，有2條公切線； ④兩圓內(nèi)切?d＝R－r(R>r)，有1條公切線； ⑤兩圓內(nèi)含?dr)，沒有公切線． 14．常用的輔助線的作法． 出現(xiàn)切線就連接切點(diǎn)和圓心的半徑為輔助線，求弦長就作弦心距解直角三角形． 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如下圖所示，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)G為梯形BCED的中位線，若DE＝4，則FG等于(A) A．6 B．8 C．10 D．12 2．如下圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90，D是BC的中點(diǎn)，AE⊥AD交CB的延長線于E，則下列結(jié)論正確的是(C) A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC 3．直線MN切⊙O于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑且∠CAB＝53，則∠BOC＝106，∠ACB＝90，∠ACM＝37，∠BCN＝53． 4．如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦且BD∥AC，過點(diǎn)A做圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為． 解析：由切割線定理，可知AE2＝EBED＝EB(EB＋BD)，即62＝EB(EB＋5)，所以EB＝4，由AE為圓的切線，AB＝AC，可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.所以AE∥BC.又AC∥BD，則AC∥BE，可得四邊形AEBC是平行四邊形．所以AC＝AB＝EB＝4，BC＝AE＝6.由BD∥AC，可得△AFC∽△DFB，則＝，即＝，所以CF＝. 一、選擇題 1．△ABC的三邊長分別為，，2，△A′B′C′的兩邊長分別為1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長為(A) A. B. C. D. 解析：∵△ABC∽△A′B′C′，則＝，則△A′B′C′的第三邊長為＝. 2．點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點(diǎn)，AE與CD相交于點(diǎn)G，則圖中的相似三角形共有(C) A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì) 3．如圖所示，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，M，N分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，連接OM，ON，MN.則下列敘述正確的是(C) A．△AOM和△AON都是等邊三角形 B．四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形 C．四邊形AMON和四邊形ABCD是相似形 D．四邊形MBCO和四邊形OCDN都是等腰梯形 4．如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上的兩點(diǎn)，半圓O的切線PC交AB的延長線于點(diǎn)P，∠PCB＝25，則∠ADC為(B) A．105 B．115 C．120 D．125 5．如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為(C) A．2 B．3 C．2 D．4 6．如圖，直線BC切⊙O于點(diǎn)A，則圖中的弦切角共有(D) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 二、填空題 7．如圖所示，已知在△ABC中，∠C＝90，正方形DEFC內(nèi)接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，則AF∶FC＝1∶2． 8．如圖，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面積是a2，梯形DBCE的面積是8a2，則＝． 解析：∵S梯形DBCE＝8S△ADE，∴S△ABC＝9S△ADE，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝＝.∴＝. 9．如圖所示，已知△ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在OC的延長線上，AD是圓的切線，若∠B＝30，AC＝2，則OD的長為4． 解析：連接OA，則∠COA＝2∠CBA＝60.又OC＝OA，故△COA為正三角形，所以O(shè)A＝2.又因?yàn)锳D是⊙O的切線，即OA⊥AD，所OD＝2OA＝4. 10．如圖所示，PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交⊙O于A，B兩點(diǎn)且與直徑CT交于點(diǎn)D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，則PB＝15． 三、解答題 11．如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)．證明：∠OCB＝∠D. 證明：因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)，所以O(shè)B＝OC. 故∠OCB＝∠B. 因?yàn)镃，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)， 故∠B，∠D為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角， 所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D. 12．如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D是圓O上不同于A，B的兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作圓O的切線與AD的延長線相交于點(diǎn)M，AD與BC相交于N點(diǎn)，BN＝BM.求證： (1)∠NBD＝∠DBM； (2)AM是∠BAC的角平分線． 證明：(1)∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB＝90. 而BN＝BM，∴△BNM為等腰三角形． ∴BD為∠NBM的角平分線，即∠NBD＝∠DBM. (2)BM是圓O的切線， ?∠DAB＝∠DAC?AM是∠CAB的角平分線． 13．已知點(diǎn)C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點(diǎn)，∠ACB的角平分線分別交AE，AB于點(diǎn)F，D. (1)求∠ADF的度數(shù)； (2)若AB＝AC，求的值． 解析：(1)∵AC為圓O的切線， ∴∠B＝∠EAC. 又DC是∠ACB的平分線， ∴∠ACD＝∠DCB. ∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD. 又BE為圓O的直徑，∴∠BAE＝90. ∴∠ADF＝(180－∠BAE)＝45. (2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ECA， ∴△EAC∽△ABC，又∵AB＝BC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB＝∠EAC， 由∠BAE＝90及三角形內(nèi)角和知∠B＝30， ∴在Rt△ABE中，＝tan ∠B＝.