2019版高考數(shù)學(xué) 4.3 平面向量的數(shù)量積課件.ppt

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第三節(jié)平面向量的數(shù)量積 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 向量的夾角 AOB 0 180 a b 90 2 平面向量的數(shù)量積 a b cos a cos b cos b cos 3 數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a b都是非零向量 e是單位向量 為a與b 或e 的夾角 則 e a a e cos a b a cos a b 4 數(shù)量積的運算律 交換律 a b b a 數(shù)乘結(jié)合律 a b 分配律 a b c a b a b a b a c 5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè)向量a x1 y1 b x2 y2 向量a與b的夾角為 則 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 a與b為兩非零向量 則a b 2 當(dāng)a與b同向時 a b a b 當(dāng)a與b反向時 a b a b 特別地 a a 或者 a 0 a a b 0 a 2 0 3 平面向量數(shù)量積運算的常用公式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2a b b2 a b 2 a2 2a b b2 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 基底法 坐標(biāo)法 2 常用思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想 3 記憶口訣 乘積結(jié)果為數(shù)量 坐標(biāo)運算是良方 橫縱坐標(biāo)分別乘 相加求和積充當(dāng) 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量 且有正有負 2 若a b 0 則必有a b 3 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù) 向量的加 減 數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量 4 若a b 0 則向量a b的夾角為鈍角 解析 1 正確 由向量投影的定義可知 當(dāng)兩向量夾角為銳角時結(jié)果為正 為鈍角時結(jié)果為負 2 錯誤 當(dāng)a與b至少有一個為0時得不到a b 3 正確 由數(shù)量積與向量線性運算的意義可知 正確 4 錯誤 當(dāng)a b a b 時 a與b的夾角為 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修4P104例1改編 已知 a 2 b 4 a b 4 則a與b的夾角 解析 因為a b a b cos 所以cos 又因為0 180 故 30 答案 30 2 必修4P105例4改編 已知a 1 2 b 3 4 若a kb與a kb互相垂直 則實數(shù)k 解析 由已知a 1 2 b 3 4 若互相垂直 則 a kb a kb 0 即a2 k2b2 0 即5 25k2 0 即k2 所以k 答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 新課標(biāo)全國卷 設(shè)向量a b滿足 a b a b 則a b A 1B 2C 3D 5 解題提示 將 a b a b 兩邊平方 聯(lián)立方程求解a b 解析 選A 因為 a b a b 所以a2 b2 2a b 10 a2 b2 2a b 6 聯(lián)立方程解得a b 1 故選A 2 2014 四川高考 平面向量a 1 2 b 4 2 c ma b m R 且c與a的夾角等于c與b的夾角 則m 解題提示 先求出c的坐標(biāo) 再代入向量夾角公式 解方程即可求出m的值 解析 由于a 1 2 b 4 2 所以c ma b m 4 2m 2 又由于c與a的夾角等于c與b的夾角 即cos cos 也就是即得解得m 2 答案 2 3 2015 青島模擬 已知 a 2 向量a與b的夾角是 則a在b上的投影是 解析 a在b上的投影是 a cos 答案 考點1平面向量數(shù)量積的運算 典例1 1 2015 湛江模擬 已知等邊三角形ABC的邊長為1 設(shè) a b c 則a b b c c a 2 2015 大慶模擬 已知正方形ABCD的邊長為1 點E是AB邊上的動點 則的值為 的最大值為 解題提示 1 利用數(shù)量積的定義求解 要注意夾角的大小 2 結(jié)合已知條件建系 利用坐標(biāo)求解 規(guī)范解答 1 如圖 得a與b b與c c與a的夾角都是120 又 a b c 1 所以原式 1 1 cos120 1 1 cos120 1 1 cos120 答案 2 如圖所示 以AB AD所在的直線分別為x y軸建立直角坐標(biāo)系 設(shè)E t 0 0 t 1 則D 0 1 B 1 0 C 1 1 t 1 0 1 所以 1 又因為 1 0 所以 t 1 答案 11 一題多解 解答本題 你知道還有幾種解法 方法一 選取 作為基底 設(shè)0 t 1 則 0 1 1 t 1 答案 11 方法二 利用幾何意義可知 1 設(shè)則 t 1 答案 11 易錯警示 解答本例題 1 易出現(xiàn)如下錯誤在解題過程中 只看到 ABC是等邊三角形 就誤認為a與b b與c a與c的夾角均為60 從而錯解 互動探究 本例 2 中 當(dāng)E是AB的中點時 試求上的投影 解析 方法一 如圖 過點E作EF DC 垂足為F 由投影的定義知 上的投影是 方法二 如圖 向量的夾角是 EDC 所以上的投影是 cos EDC 規(guī)律方法 向量數(shù)量積的兩種計算方法 1 當(dāng)已知向量的模和夾角 時 可利用定義法求解 即a b a b cos 2 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時 可利用坐標(biāo)法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 則a b x1x2 y1y2 變式訓(xùn)練 已知a 1 2 2a b 3 1 則a b A 2B 3C 4D 5 解析 選D 由已知得a 2a b 2a2 a b 2 a 2 a b 2 5 a b 3 2 故a b 10 5 5 加固訓(xùn)練 1 2013 新課標(biāo)全國卷 已知兩個單位向量a b的夾角為60 c ta 1 t b 若b c 0 則t 解析 由c ta 1 t b得 b c ta b 1 t b2 0 整理得t a b cos60 1 t b 2 0 化簡得t 1 t 0 所以t 2 答案 2 2 2013 新課標(biāo)全國卷 已知正方形ABCD的邊長為2 E為CD的中點 則 解析 以A為原點 以AB AD為x y軸建系 則A 0 0 B 2 0 D 0 2 E 1 2 故 1 2 2 2 故 1 2 2 2 2 答案 2 考點2平面向量的垂直與夾角問題 典例2 1 2014 山東高考 在 ABC中 已知 tanA 當(dāng)A 時 ABC的面積為 2 已知向量與的夾角為120 且 3 2 若 且試求實數(shù) 的值 解題提示 1 由向量數(shù)量積的定義得出兩邊之積后再利用面積公式求面積 2 利用作基底 利用已知垂直關(guān)系得到的方程求解 規(guī)范解答 1 由已知及平面向量數(shù)量積的定義可得所以所以S ABC 答案 2 因為所以 0 即 故 1 3 2 4 9 0 解得 規(guī)律方法 平面向量數(shù)量積的兩個應(yīng)用 1 求夾角大小 若a b為非零向量 則由平面向量的數(shù)量積公式得cos 夾角公式 所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題 2 確定夾角的范圍 數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角 數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角 數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角 變式訓(xùn)練 若 a 2 b 4且 a b a 則a與b的夾角是 解析 選A 根據(jù)題意 由于 a 2 b 4且 a b a 則有 a b a 0 a2 b a 0 4 b a 0 所以b a 4 那么可知a與b的夾角的余弦值為則a與b的夾角是 加固訓(xùn)練 1 2013 安徽高考 若非零向量a b滿足 a 3 b a 2b 則a與b夾角的余弦值為 解析 由 a a 2b 設(shè)a與b的夾角為 等式兩邊平方得a2 4a b 4b2 a2 a b b2 所以cos 答案 2 設(shè)向量a x 1 1 b x 1 3 若a a b 則x 解析 由題知a b x 1 x 1 1 3 2x 2 2 又因為a a b 所以a a b 0 所以 x 1 2x 2 1 2 0 即x2 2x 0 所以x 0或x 2 答案 0或2 考點3平面向量數(shù)量積的應(yīng)用知 考情利用平面向量數(shù)量積求模及范圍 求參數(shù)的范圍或值 是高考考查數(shù)量積的一個重要考向 常與三角 平面幾何 解析幾何等知識相聯(lián)系 以選擇題 填空題為主 是中低檔題 明 角度命題角度1 根據(jù)向量數(shù)量積求?；蚰５姆秶?典例3 2014 湖南高考 在平面直角坐標(biāo)系中 O為原點 A 1 0 B 0 C 3 0 動點D滿足 1 則 的最大值是 解題提示 把拆分為 再利用 a b a b 求解 解析 答案 命題角度2 利用平面向量數(shù)量積求參數(shù)的值 典例4 2014 天津高考 已知菱形ABCD的邊長為2 BAD 120 點E F分別在邊BC DC上 BE BC DF DC 若則 規(guī)范解答 選C 方法一 因為 BAD 120 所以因為BE BC DF DC 所以因為 1 所以 1 即2 2 同理可得 得 方法二 建系如圖 易知A 0 1 B 0 C 0 1 D 0 由得E 得F 故 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 3 1 1 1 即 2 4 4 3 所以2 3 u 1 1 2 2 2 即 u 得 悟 技法根據(jù)數(shù)量積求模或參數(shù)的值 范圍 的一般思路 1 利用數(shù)量積求模 通常利用已知找準(zhǔn)基底或坐標(biāo) 利用基底或坐標(biāo)運算 有時需用化歸思想 轉(zhuǎn)化為其他問題求解 2 利用數(shù)量積求參數(shù)的值 范圍 通常有兩種運算法 一是基底法 二是坐標(biāo)法 找準(zhǔn)解題目標(biāo) 利用已知條件列出方程或方程組求解即可 通 一類1 2015 昆明模擬 已知 ABC為等邊三角形 AB 2 設(shè)點P Q滿足 R 若則 解析 選A 由題意得又因為且 2 60 2 所以即所以4 2 2 1 4 1 解得 2 2013 湖南高考 已知a b是單位向量 a b 0 若向量c滿足 c a b 1 則 c 的最大值為 解析 方法一 選C 條件 c a b 1可以理解成如圖的情況而 a b 向量c的終點在單位圓上 故 c 的最大值為 1 方法二 選C 由題意 得 a b 1 a b 0 所以 a b 因為 c a b 1 所以 c a b 2 c2 2c a b a b 2 1 設(shè)c與a b的夾角為 則 c 2 2 c cos 2 1 即 c 2 1 2 c cos 2 c c 2 2 c 1 0 解得 1 c 1 故 c 的最大值為 1 3 2013 浙江高考 設(shè)e1 e2為單位向量 非零向量b xe1 ye2 x y R 若e1 e2的夾角為 則的最大值等于 解析 當(dāng)x 0時 0 當(dāng)x 0時 令 t 則 4 所以的最大值為2 答案 2 創(chuàng)新體驗4平面向量數(shù)量積中的創(chuàng)新問題 創(chuàng)新點撥 1 以向量為載體的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的一個熱點 此類問題通常以數(shù)量積運算為核心 通過數(shù)形結(jié)合 轉(zhuǎn)化化歸等途徑 解決與幾何有關(guān)的問題 或以向量自身為背景 解決有關(guān)模 夾角等問題 2 命題形式常見有新法則 新定義 新背景 新性質(zhì) 新運算等 新題快遞 1 2014 安徽高考 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知向量a b a b 1 a b 0 點Q滿足 a b 曲線C P acos bsin 0 2 區(qū)域 P 0 r R r R 若C 為兩段分離的曲線 則 A 1 r R 3B 1 r 3 RC r 1 R 3D 1 r 3 R 解題提示 設(shè)向量a 1 0 b 0 1 利用數(shù)形結(jié)合判斷 解析 選A 設(shè)a 1 0 b 0 1 則畫出圖象如圖所示 因為C為單位圓 區(qū)域 為圓環(huán) OQ 2 所以1 r R 3 2 2015 泉州模擬 對任意兩個非零向量定義若平面向量a b滿足 a b 0 a與b的夾角 0 且都在集合 n Z 中 則 解析 選C 根據(jù)題中的向量的新運算及向量的數(shù)量積 可知因為 0 所以 cos 1 又因為 a b 0 所以0 1 所以0 cos 1 即 0 1 又 所以 由 得 cos2 1 所以 1 所以1 2 所以 3 2015 濰坊模擬 定義平面向量之間的一種運算 如下 對任意的a m n b p q 令a b mq np 下面說法錯誤的是 A 若a與b共線 則a b 0B a b b aC 對任意的 R 有 a b a b D a b 2 a b 2 a2b2 解析 選B 對于A 由a與b共線 得mq np 0 即a b 0 故A正確 對于B 由新定義知 a b mq np 而b a np mq 所以a b b a 故B錯誤 對于C a b m n p q mq np mq np a b 故C正確 對于D a b 2 a b 2 mq np 2 mp nq 2 m2q2 n2p2 m2p2 n2q2 m2 n2 p2 q2 a 2 b 2 故D正確 備考指導(dǎo) 1 準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化 解決數(shù)量積中創(chuàng)新問題時 一定要讀懂題目的本質(zhì)含義 緊扣題目所給條件 結(jié)合題目要求恰當(dāng)轉(zhuǎn)化 切忌同已有的概念或定義混淆 2 方法選取 對于創(chuàng)新問題 要恰當(dāng)選取解題方法 如數(shù)形結(jié)合 等價轉(zhuǎn)化 特殊值 逐一排除等方法 并結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)求解