2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題09 三視圖、表面積與體積計(jì)算練習(xí) 理.docx

09三視圖、表面積與體積計(jì)算1.如圖所示的幾何體,其表面積為(5+5),下部分圓柱的底面直徑與該圓柱的高相等,上部分圓錐的母線長(zhǎng)為5,則該幾何體的正(主)視圖的面積為().A.4B.6C.8D.10解析設(shè)圓柱與圓錐底面半徑都為a,則圓柱高為2a.因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為5,所以幾何體的表面積為5a+a2+4a2=(5a+5a2)=(5+5),解得a=1,所以該幾何體的正(主)視圖的面積為三角形面積與正方形面積之和,為1225-1+22=6,故選B.答案B2.一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖是等腰直角三角形,側(cè)(左)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,則該幾何體的體積等于.解析由三視圖還原可知,原圖形是底面邊長(zhǎng)為2和3的矩形,一個(gè)側(cè)面是正三角形且垂直于底面的四棱錐,高為3,所以該幾何體的體積V=13233=2.答案23.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.8+2B.16+4C.16+2D.8+4解析由三視圖可知,該幾何體由一個(gè)正方體截去兩個(gè)半圓柱而形成,則該幾何體的表面積為224-122+122=16+2,故選C.答案C4.在如圖所示的斜截圓柱中,已知圓柱底面的直徑為40 cm,母線最長(zhǎng)為80 cm,最短為50 cm,則斜截圓柱的側(cè)面積S=cm2.解析如圖,假設(shè)還有一個(gè)同樣的斜截圓柱,拼在其上面,則構(gòu)成一個(gè)圓柱,于是S=12S圓柱側(cè)=1240(80+50)=2600 cm2.答案2600能力1能正確繪制幾何體的三視圖【例1】已知三棱柱HIG-EFD的底面為等邊三角形,且側(cè)棱垂直于底面,將該三棱柱截去三個(gè)角(如圖(1)所示,A,B,C分別是HIG三邊的中點(diǎn))后得到的幾何體如圖(2),則該幾何體沿圖(2)所示方向的側(cè)(左)視圖為().(1)(2)解析因?yàn)槠矫鍰EHG平面EFD,所以幾何體的側(cè)(左)視圖為直角梯形,直角腰在側(cè)(左)視圖的左側(cè),故選A.答案A本題主要考查空間想象力和投影知識(shí),借助直三棱柱,即可畫(huà)出側(cè)(左)視圖.將長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1截去一個(gè)直三棱柱,兩個(gè)三棱錐(如圖(1)所示)后得到的幾何體如圖(2),該幾何體沿圖(2)所示方向的側(cè)(左)視圖為().(1)(2)解析側(cè)(左)視圖輪廓為長(zhǎng)方形,故選B.答案B能力2會(huì)通過(guò)三視圖還原幾何體【例2】某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積V=().A.83B.103C.3D.203解析由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角邊為2的等腰直角三角形,高為2,三棱錐的底面與棱柱的底面相同,高為1,故該幾何體的體積V=V柱-V錐=103,故選B.答案B本題主要考查空間想象能力和體積公式.先還原出空間幾何體,再利用V=V柱-V錐求體積.如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1,實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則圍成該幾何體的所有面中的最大面的面積為().A.272B.95C.9292D.25解析由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,如圖所示.由題意知,AB=6,BC=32,BD=CD=35,AD=9,AC=36.因?yàn)锳BC和ABD為同高的直角三角形,且BC<BD,所以SABC<SABD=95,SBCD=66-36-3312=1312.因?yàn)閏osADC=DC2+AD2-AC22DCAD=45+81-542359=435,所以sinADC=2935,所以SACD=129352935=9292,故選C.答案C能力3會(huì)計(jì)算幾何體的表面積【例3】如圖所示的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為().A.24B.36C.40D.400解析該幾何體是底面為等腰三角形的直三棱柱,由圖可知,底面是頂角為120的等腰ABC,側(cè)棱AA1垂直底面,AC=23,AA1=26,AB=3sin60=2.設(shè)ABC外接圓的半徑為r,則SABC=12AB2sin 120=AB2AC4r,得r=2.由直三棱柱的性質(zhì)可知,球心到底面外接圓圓心的距離d=AA12=6.由球體的性質(zhì)得R2=d2+r2=10,即外接球的表面積為40,故選C.答案C涉及球與棱柱、棱錐的切和接問(wèn)題時(shí),一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.14+24B.12+32C.12+24D.14+32解析由三視圖可知該空間幾何體為12個(gè)圓柱和12個(gè)球和1個(gè)長(zhǎng)方體的組合體,S表=12S球+12S圓柱側(cè)面+12S圓柱底面+S長(zhǎng)方體-S長(zhǎng)方體的一個(gè)底面-12S圓柱底面=12422+12222+1222+42+2(22+24)-1222=12+32,故選B.答案B能力4會(huì)計(jì)算幾何體的體積【例4】如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().A.23B.43C.233D.433解析由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示.其中底面為直角三角形,AD=2,AF=3,高AB=2.該幾何體的體積V=12232=23,故選A.答案A先還原出幾何體,并抓住幾何體特征,再利用體積公式求解.已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示,則此四棱錐的體積為.解析該幾何體是如圖所示的四棱錐P-ABCD,其中PA底面ABCD,底面四邊形由直角梯形ABED與直角DCE組成,ABDE,ABBC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2.S底面ABCD=1+221+1221=52,V=13522=53.答案53一、選擇題1.如圖所示的是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().A.43B.2C.6D.83解析如圖,該幾何體還原后是一個(gè)底面為直角三角形的三棱錐S-ABD,VS-ABD=1222132=43,故選A.答案A2.如圖所示的是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().A.423B.4C.83D.163解析如圖,該幾何體還原后是一個(gè)底面為矩形的四棱錐A1-ABC1D1.連接A1D交AD1于點(diǎn)O,因?yàn)锳1DAD1,A1DAB,所以A1D平面ABC1D1,所以四棱錐的高H為A1O,AB=2,BC1=22,A1O=2,所以VA1-ABC1D1=222132=83, 故選C.答案C3.如圖所示的是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為().A.5B.3C.22D.23解析如圖,該幾何體還原后是一個(gè)底面為直角三角形的三棱錐C1-MNC.由圖可知棱C1M最長(zhǎng),且C1M=MC2+CC12=MB2+BC2+CC12=3,故選B.答案B4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的外接球體積為().A.4B.43C.43D.83解析由題得幾何體還原后為四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,且PA底面ABCD,PA=2.把幾何體放在邊長(zhǎng)為2的正方體中,P,A,B,C,D恰好是正方體的五個(gè)頂點(diǎn),所以這個(gè)正方體的外接球和四棱錐的外接球是同一個(gè)球,所以四棱錐的外接球半徑為正方體的體對(duì)角線的一半,即3,所以幾何體外接球的體積V=43(3)3=43,故答案為B.答案B5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積V=().A.83B.103C.3D.203解析如圖,由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為直三棱柱截去兩個(gè)三棱錐后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角邊為2的等腰直角三角形,高為2,三棱錐的底面與棱柱的底面相同,高為1,故該幾何體的體積V=V柱-2V錐=83,故選A.答案A6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.24+(5-2)B.24C.24+(22-2)D.16-2解析該幾何體由一個(gè)正方體挖去兩個(gè)相同的圓錐而形成,由三視圖可知正方體的棱長(zhǎng)為2,圓錐的底面圓的半徑為1,母線為2,所以該幾何體的表面積為正方體的表面積減去兩個(gè)圓錐的底面的面積再加上兩個(gè)圓錐的側(cè)面積,因此S=226-2+122=24+(22-2),故選C.答案C7.將一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體,所得幾何體的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖如圖所示,則該幾何體的俯視圖為().解析由正(主)視圖可以看出去掉的小長(zhǎng)方體在正視圖的左上角,從側(cè)(左)視圖可以看出去掉的小長(zhǎng)方體在側(cè)(左)視圖的右上角,故選C.答案C8.已知在四面體ABCD中,AB=CD=34,AC=BD=37,AD=BC=29,則四面體ABCD的外接球的表面積為().A.25B.50C.100D.200解析此四面體可看成一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為21、4、13,四面體ABCD如圖所示,所以此四面體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng),即2R=(21)2+(13)2+42=50,所以外接球的表面積為50,故選B.答案B二、填空題9.如圖,一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面的邊長(zhǎng)為32,下底面的邊長(zhǎng)為52,高為8,則其外接球的表面積為.解析如圖所示,作出正四棱臺(tái)的最大軸截面,由正四棱臺(tái)的特征知O1C為四棱臺(tái)上底面的外接圓半徑,O2B為四棱臺(tái)下底面的外接圓半徑,OC=OB=R,R為球的半徑.因?yàn)樯稀⑾碌酌娑紴檎叫?所以O(shè)1C=3,O2B=5,O1O2=h=8.又O1O2+O1C2=R2,O2O2+O2B2=R2,O1O+O2O=O1O2=8,聯(lián)立三式解得O1O=5,O2O=3,R2=34,所以S球=434=136.答案13610.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為.解析由三視圖知幾何體的左邊是半圓錐,右邊是四棱錐,如圖所示.其中圓錐的底面半徑為1,高為3,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為3.所以幾何體的體積為1213123+13223=36+433.答案36+43311.如圖所示的是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為.解析該幾何體為一個(gè)半球和一個(gè)正四棱錐,球的半徑為32,四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6,高為4,四棱錐的側(cè)面為等腰三角形,側(cè)面的斜高為5,S表=S半球+S四棱錐側(cè)面+S圓-S正=2(32)2+4652+(32)2-36=54+24.答案54+2412.如圖,已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=3,則球O的體積等于.解析由題意知,DAC,DBC都是直角三角形,且有公共的斜邊,所以DC邊的中點(diǎn)到點(diǎn)B和A的距離都等于DC的一半,所以DC邊的中點(diǎn)是球心并且半徑為線段DC長(zhǎng)的一半.因?yàn)镈C=DA2+AB2+BC2=3,所以球的體積V=43323=92.答案92三、解答題13.如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖.(1)求該幾何體的表面積和體積.(2)求該幾何體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比.解析(1)如圖所示,由三視圖知該幾何體為正四面體B1-ACD1,AD1=AC=CD1=B1A=B1C=B1D1=42,S表=4SACD1=434(42)2=323.設(shè)等邊ACD1的中心為O,連接B1O,OC,由正四面體的特征知,B1O是正四面體的高,OC是等邊三角形ACD1的外接圓的半徑,所以B1OC為直角三角形,OC=463.因?yàn)镺C2+B1O2=B1C2,所以B1O=833,VB1-ACD1=1383383=643.(2)正四面體的外接球即正方體的外接球,外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線,所以R1=23.設(shè)正四面體B1-ACD1的內(nèi)切球的球心為O1,半徑為R2,連接O1B1,O1A,O1C,O1D1,則VB1-ACD1=4VO1-ACD1=41383R2=643,解得R2=233,所以R1R2=3.