2019高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離兩條平行線間的距離講義含解析新人教A版必修2 .doc

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第2課時(shí)　點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P106～P109，回答下列問題： (1)如何用代數(shù)方法求點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離？ 提示：由P0Q⊥l，以及直線l的斜率為－，可得l的垂線P0Q的斜率為，因此，垂線P0Q的方程可求出．解垂線P0Q與直線l的方程組成的方程組，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求出|P0Q|，即為點(diǎn)P0到直線l的距離． (2)能否將平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，如何轉(zhuǎn)化？ 提示：能，由于一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離都是兩條平行直線間的距離，所以只要在一條直線上找到一個(gè)已知點(diǎn)，求這點(diǎn)到另一條直線的距離即可． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)點(diǎn)到直線的距離 ①概念：過一點(diǎn)向直線作垂線，則該點(diǎn)與垂足之間的距離，就是該點(diǎn)到直線的距離． ②公式：點(diǎn)P(x0，y0)到直線l: Ax＋By＋C＝0的距離，d＝. (2)兩平行直線間的距離 ①概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離． ②公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝. [問題思考] 1．在使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，對(duì)直線方程的形式有何要求？ 提示：應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式的前提是直線方程為一般式． 2．在使用兩平行線間距離公式時(shí)，對(duì)直線方程的形式有何要求？ 提示：兩直線的方程為一般式且x，y的系數(shù)分別相同． [課前反思] 通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)． (1)點(diǎn)到直線的距離公式是什么？應(yīng)注意什么？ ?。? (2)兩平行直線間的距離公式是什么？應(yīng)注意什么？ 　. 在鐵路的附近，有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，易知，從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短．將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點(diǎn)P. [思考1]　若已知直線l的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)，如何求P到直線l的距離？ 名師指津：過點(diǎn)P作直線l′⊥l，垂足為Q，|PQ|即為所求的距離．直線l的斜率為k，則l′的斜率為－，∴l(xiāng)′的方程為y－y0＝－(x－x0)，聯(lián)立l，l′的方程組，解出Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出|PQ|. [思考2]　在直角坐標(biāo)系中，若P(x0，y0)，則P到直線l: Ax＋By＋C＝0的距離是不是過點(diǎn)P到直線l的垂線段的長度？ 提示：是． [思考3]　應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意什么問題？ 名師指津：(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離，應(yīng)先把直線方程化為kx－y＋b＝0，得d＝. (2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為零，公式仍然適用，故應(yīng)用公式時(shí)不必判定點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系． (3)直線方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0時(shí)，公式也成立，也可以用下列方法求點(diǎn)到直線的距離． ①P(x0，y0)到x＝a的距離d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到y(tǒng)＝b的距離d＝|b－y0|. 講一講 1．(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(2,2)到直線4x＋3y＋5＝0的距離為________．(鏈接教材P107－例5) (2)求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點(diǎn)P(－1,0)的距離是的直線l的方程． [嘗試解答]　(1)由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝. (2)設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點(diǎn)到直線的距離公式知： d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. [答案]　(1) 點(diǎn)到直線的距離的求解方法 (1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可． (2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可． 練一練 1．已知點(diǎn)A(a,2)(a＞0)到直線l: x－y＋3＝0的距離為1，則a＝(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 解析：選C　由點(diǎn)到直線的距離公式知，d＝＝＝1，得a＝－1.又∵a＞0，∴a＝－1. 2．點(diǎn)P(2,4)到直線l：3x＋4y－7＝0的距離是________． 解析：點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝＝3. 答案：3 　 觀察下面坐標(biāo)系中的直線，思考如下問題： [思考1]　若過P(x0，y0)的直線l′與l: Ax＋By＋C＝0平行，那么點(diǎn)P到l的距離與l′與l的距離相等嗎？ 提示：相等． [思考2]　怎樣理解兩平行直線間的距離公式？ 名師指津：(1)求兩平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式． (2)利用公式求平行線間的距離時(shí)，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等． (3)當(dāng)兩直線都與x軸(或y軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來解決． ①兩直線都與x軸垂直時(shí)，l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|； ②兩直線都與y軸垂直時(shí)，l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|. 講一講 2．已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程． [嘗試解答]　由直線l1，l2的方程知l1∥l2.又由題意知，直線l與l1，l2均平行(否則d1＝0或d2＝0，不符合題意)． 設(shè)直線l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由兩平行線間的距離公式，得d1＝，d2＝， 又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|， 解得m＝－25或m＝－9. 故所求直線l的方程為3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 求兩平行直線間距離的兩種思路 (1)利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離． (2)直接利用兩平行線間的距離公式，當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時(shí)，d＝；當(dāng)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時(shí)，d＝，必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等． 練一練 3．兩直線3x＋4y－2＝0與6x＋8y－5＝0的距離等于(　　) A．3 B．7 C. D. 解析：選C　在3x＋4y－2＝0上取一點(diǎn)，其到6x＋8y－5＝0的距離即為兩平行線間的距離，d＝＝. 　 講一講 3．兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求： (1)d的變化范圍； (2)當(dāng)d取最大值時(shí)兩條直線的方程． [思路點(diǎn)撥]　(1)由兩平行線間的距離公式寫出d與斜率之間的函數(shù)關(guān)系式，不難求出d的范圍或利用數(shù)形結(jié)合求d的范圍． (2)求出d取最大值時(shí)斜率的值，即可求出所求直線方程． [嘗試解答]　(1)法一：①當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，即兩直線分別為x＝6和x＝－3，則它們之間的距離為9. ②當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí)，設(shè)這兩條直線方程為l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)， 即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0， ∴d＝＝， 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. ∵k∈R，且d≠9，d＞0， ∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0， 即0＜d≤3且d≠9. 綜合①②可知，所求d的變化范圍為(0,3]． 法二：如圖所示，顯然有0＜d≤|AB|. 而|AB|＝＝3. 故所求的d的變化范圍為(0,3]． (2)由圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線垂直于AB. 而kAB＝＝， ∴所求直線的斜率為－3. 故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)， y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 解這類題目常用的方法是待定系數(shù)法，即根據(jù)題意設(shè)出方程，然后由題意列方程求參數(shù)．也可以綜合應(yīng)用直線的有關(guān)知識(shí)，充分發(fā)揮幾何圖形的直觀性，判斷直線l的特征，然后由已知條件寫出l的方程． 練一練 4．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)． (1)若點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值． 解：(1)法一：聯(lián)立?交點(diǎn)P(2,1)， 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－1＝k(x－2)， 即kx－y＋1－2k＝0， ∴＝3，解得k＝， ∴l(xiāng)的方程為y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0. 而直線斜率不存在時(shí)直線x＝2也符合題意， 故所求l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2. 法二：經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或， ∴l(xiāng)的方程為4x－3y－5＝0或x＝2. (2)由解得交點(diǎn)P(2,1)， 過P任意作直線l，設(shè)d為A到l的距離， 則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)， ∴dmax＝|PA|＝. —————————[課堂歸納感悟提升]——————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握點(diǎn)到直線的距離公式，能用公式求點(diǎn)到直線的距離，會(huì)求兩條平行直線間的距離．難點(diǎn)是能用公式求點(diǎn)到直線的距離． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)點(diǎn)到直線的距離的求解方法，見講1. (2)求兩平行直線間的距離有兩種思路，見講2. (3)待定系數(shù)法求解有關(guān)距離問題的方法，見講3 3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求兩條平行線間距離時(shí)易用錯(cuò)公式，如講2. 課下能力提升(二十一) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　點(diǎn)到直線的距離 1．點(diǎn)(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離是(　　) A．3 B. C．3 D. 解析：選D　點(diǎn)(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝. 2．點(diǎn)(5，－3)到直線x＋2＝0的距離等于(　　) A．7 B．5 C．3 D．2 解析：選A　直線x＋2＝0，即x＝－2為平行于y軸的直線，所以點(diǎn)(5，－3)到x＝－2的距離d＝|5－(－2)|＝7. 3．傾斜角為60，并且與原點(diǎn)的距離是5的直線方程為________． 解析：因?yàn)橹本€斜率為tan 60＝，可設(shè)直線方程為y＝x＋b，化為一般式得x－y＋b＝0.由直線與原點(diǎn)距離為5，得＝5?|b|＝10.所以b＝10，所以所求直線方程為x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 答案：x－y＋10＝0或x－y－10＝0 4．若點(diǎn)(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________． 解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52， ∴k＝－3，或k＝. 答案：－3或 題組2　兩條平行線間的距離 5．已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為(　　) A．1 B. C. D．2 解析：選B　在l1上取一點(diǎn)(1，－2)，則點(diǎn)到直線l2的距離為＝. 6．兩平行線分別經(jīng)過點(diǎn)A(5,0)，B(0,12)，它們之間的距離d滿足的條件是(　　) A．0＜d≤5 B．0＜d≤13 C．0＜d＜12 D．5≤d≤12 解析：選B　當(dāng)兩平行線與AB垂直時(shí)，兩平行線間的距離最大，|AB|＝13，所以0＜d≤13. 7．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,5)，且斜率為－. (1)求直線l的方程； (2)若直線m與l平行，且點(diǎn)P到直線m的距離為3，求直線m的方程． 解：(1)由直線方程的點(diǎn)斜式，得y－5＝－(x＋2)， 整理得所求直線方程為3x＋4y－14＝0. (2)由直線m與直線l平行，可設(shè)直線m的方程為3x＋4y＋C＝0， 由點(diǎn)到直線的距離公式得＝3， 即＝3，解得C＝1或C＝－29， 故所求直線方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 題組3　距離的綜合應(yīng)用 8．直線l過點(diǎn)A(3,4)且與點(diǎn)B(－3,2)的距離最遠(yuǎn)，那么l的方程為(　　) A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0 C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0 解析：選C　由已知可知，l是過A且與AB垂直的直線，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由點(diǎn)斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0. 9．已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S. 解：由直線方程的兩點(diǎn)式得直線BC的方程為＝，即x－2y＋3＝0. 由兩點(diǎn)間距離公式得|BC|＝＝2. 設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為d，即為BC邊上的高， d＝＝， 所以S＝|BC|d＝2＝4， 即△ABC的面積為4. [能力提升綜合練] 1．(2016濟(jì)寧高一檢測)兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　l1的方程可化為9x＋12y－6＝0，由平行線間的距離公式得d＝＝. 2．到直線3x－4y－11＝0的距離為2的直線方程為(　　) A．3x－4y－1＝0 B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0 C．3x－4y＋1＝0 D．3x－4y－21＝0 解析：選B　設(shè)所求的直線方程為3x－4y＋c＝0.由題意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故選B. 3．直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱的直線方程是(　　) A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 解析：選D　法一：設(shè)所求直線的方程為2x＋3y＋C＝0，由題意可知＝.∴C＝－6(舍)或C＝8.故所求直線的方程為2x＋3y＋8＝0. 法二：令(x0，y0)為所求直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于(1，－1)的對(duì)稱點(diǎn)為(2－x0，－2－y0)，此點(diǎn)在直線2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直線方程為2x＋3y＋8＝0. 4．直線l到直線x－2y＋4＝0的距離和原點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線l的方程是__________． 解析：由題意設(shè)所求l的方程為x－2y＋C＝0，則＝，解得C＝2，故直線l的方程為x－2y＋2＝0. 答案：x－2y＋2＝0 5．已知直線l與直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程是____________________． 解析：法一：由題意可設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，則直線l的方程為2x－y＋1＝0. 法二：由題意知l必介于l1與l2中間，故設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0，則c＝＝1. 則直線l的方程為2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 6．已知正方形ABCD一邊CD所在直線的方程為x＋3y－13＝0，對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)為P(1,5)，求正方形ABCD其他三邊所在直線的方程． 解：點(diǎn)P(1,5)到lCD的距離為d，則d＝. ∵lAB∥lCD，∴可設(shè)lAB：x＋3y＋m＝0. 點(diǎn)P(1,5)到lAB的距離也等于d， 則＝ . 又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0. ∵lAD⊥lCD，∴可設(shè)lAD：3x－y＋n＝0， 則P(1,5)到lAD的距離等于P(1,5)到lBC的距離， 且都等于d＝， ＝，n＝5，或n＝－1， 則lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0. 所以，正方形ABCD其他三邊所在直線方程為x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0. 7．已知點(diǎn)P(2，－1)． (1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線的方程； (2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線的方程，并求出最大距離； (3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出該直線的方程；若不存在，說明理由． 解：(1)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程x＝2符合題意； ②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線方程應(yīng)為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 根據(jù)題意，得＝2，解得k＝. 則直線方程為3x－4y－10＝0. 故符合題意的直線方程為x－2＝0或3x－4y－10＝0. (2)過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線應(yīng)為過點(diǎn)P且與OP垂直的直線． 則其斜率k＝2，所以其方程為y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0.最大距離為， (3)不存在．理由：由于原點(diǎn)到過點(diǎn)(2，－1)的直線的最大距離為，而6＞，故不存 在這樣的直線.