幾何函數(shù)與代數(shù)

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1、 幾何-函數(shù)與代數(shù) 作者: 日期: 函數(shù) 一次函數(shù)與正比例函數(shù) 一般地，我們把函數(shù)y=ax+b(awo)叫做一次函數(shù) 一次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 一次函數(shù)的圖像 一次函數(shù)的性質(zhì) 定義域：R 值域：R 單調(diào)性：當(dāng)a>0時，函數(shù)在每一個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時,函數(shù)在每一個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞 減。 奇偶性：當(dāng)b=0時，該函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)bwo時，該函數(shù)非奇非偶函數(shù)。 當(dāng)a>0時，若b>0，一次函數(shù)圖像過一、二、三象限；若b<0,一次函數(shù)圖像過一、三、四 象限。 當(dāng)a<0時，若b>0,一次函數(shù)圖像過一、二、四象限；若b<0,一次函數(shù)圖像過二、三、四象 限。

2、特殊地，當(dāng)b=0時,一次函數(shù)是正比例函數(shù)： 正比例函數(shù)的圖像  正比例函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)性：當(dāng)a>0時，函數(shù)在每一個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，函數(shù)在每一個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。 奇偶性：函數(shù)為奇函數(shù)。 當(dāng)a>0時，函數(shù)過一、三象限；當(dāng)a<0時，函數(shù)過二、四象限。 反比例函數(shù) 一般地，函數(shù)丫=錯誤!未定義書簽。（kw叫做反比例函數(shù)。 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì) 反比例函數(shù)的圖像 反比例函數(shù)的性質(zhì)： 定義域：（x,+BU（-8,x） 值域：（y,+8M（―oo,y） 奇偶性：奇函數(shù) 單調(diào)性：當(dāng)k>0時，在區(qū)間（0,+8內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間（-8,0）內(nèi)單調(diào)遞減。

3、當(dāng)k>0時,在區(qū)間（0,+8^1單調(diào)遞減；在區(qū)間（一00,。內(nèi)單調(diào)遞增。 當(dāng)k>0時，反比例函數(shù)圖像在一、三象限；當(dāng)k>0時，反比例函數(shù)圖像在二、四象限。 二次函數(shù) 般地，我們把函數(shù)y=ax3bx+c（c加）叫做二次函數(shù)。 二次函數(shù)的圖像 二次函數(shù)的性質(zhì) 定義域：R 值域：R 二次函數(shù)的對稱軸：x= -錯誤!未定義書簽。 二次函數(shù)的頂點(diǎn): 卜錯誤！，錯誤！） 拋物線開口情況： 當(dāng)a>0時，二次函數(shù)的開口向上；當(dāng)2<0時，二次函數(shù)的開口向下。 二次函數(shù)的單調(diào)性： 當(dāng)a >0時，二次函數(shù)在區(qū)間［-\f（b,2a） , +8）內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間（-8, 簽。

4、］內(nèi)單調(diào)遞減。 -錯誤 當(dāng)a <0時，二次函數(shù)在區(qū)間（ 義書簽。，+8內(nèi)單調(diào)遞減。 ■ OO -錯誤!未定義書簽。］內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間［-錯誤!未定 二次函數(shù)的奇偶性當(dāng)b=c=0時,二次函數(shù)為偶函數(shù)；其它的是非奇非偶函數(shù)。 二次函數(shù)的最值 當(dāng)a>0,x=-\f(b,2a)時,函數(shù)有最小值f(-錯誤!)；當(dāng)a<0,x=-錯誤!時,函數(shù)有最大值f(-錯誤！) 指數(shù)函數(shù) 一般地，函數(shù)y=ax(a>。，且awi)叫做指數(shù)函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的圖像 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 定義域：R 值域：(0,+8) 函數(shù)在x軸的上方，且過點(diǎn)(0

5、,1)。 單調(diào)性：a>1時,函數(shù)單調(diào)遞增；若00,且aw。叫做對數(shù)函數(shù)。對數(shù)函數(shù)的圖像 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 定義域：（0,+°0） 值域:R 函數(shù)在x軸的右方，且過點(diǎn)（1,0）。 單調(diào)性：a>1時，函數(shù)單調(diào)遞增；若0va<1,函數(shù)單調(diào)遞減。 奇偶性：非奇非偶函數(shù)。 曷函數(shù) 函數(shù)y=xa（aCR）叫做哥函數(shù)。 哥函數(shù)的圖像 定義域：在（0,+8止有定義，其它定義一并不討論。（a=錯誤!未定義書簽。時，定義域 必須大于0;a=—1時，定義域不能等于0……以后復(fù)

6、數(shù)會一并說到） 值域：在定義域（0,+8止有彳t域（0,+8 單調(diào)性：a>0時，函數(shù)在區(qū)間（0,+8止單調(diào)遞增；a<0時，函數(shù)在區(qū)間（0,+8兩單調(diào)遞減。 都過點(diǎn)（1,1） a>0時,函數(shù)過原點(diǎn)。 討論指數(shù)為有理數(shù)的募函數(shù) y=xa（aCQ,a|=錯誤!未定義書簽?！璵,nCN+）為有理數(shù)指數(shù)募函數(shù)。 門=偶數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間（-8,0內(nèi)沒有定義。 奇偶性：n為奇數(shù)，m為偶數(shù)該函數(shù)為偶函數(shù)。 n為奇數(shù)，m為奇數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)。 對勾函數(shù) 一般地，函數(shù)y=ax+\f（b,x）（a,,b>0）叫做對勾函數(shù)。 對勾函數(shù)的圖像  對勾函數(shù)的性質(zhì) 定義域：

7、（x,+BU（-8,X） 值域：R 單調(diào)性：在區(qū)間（-8,JE）與區(qū)間（Jb，+00內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間（JE,0）與區(qū)間（0, —）內(nèi)單調(diào)遞減。 奇偶性：奇函數(shù) 三角函數(shù) 正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì) 一般地，函數(shù)y=sinx叫做正弦函數(shù)。 正弦函數(shù)的圖像 正弦函數(shù)的性質(zhì) 定義域：R 值域:［—1,1］ 最小正周期：2兀 奇偶性：奇函數(shù) 單調(diào)性：在區(qū)間［2k—?,2k兀彼誤!未定義書簽。］內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間［2k兀+乙 錯誤!,2k兀+錯誤!未定義書簽。］單調(diào)遞減。 對稱軸：x=k什錯誤!未定義書簽。 對稱中心：（k40） 余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì) 一般

8、地，函數(shù)y=cosx叫做余弦函數(shù)。 余弦函數(shù)的圖像  余弦函數(shù)的性質(zhì) 定義域：R 值域：[—1,1] 最小正周期：2兀 奇偶性：偶函數(shù) 單調(diào)性：在區(qū)間[2k憑為2k1內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間[2k々2kn+彈調(diào)遞減。 對稱軸：x=k兀 對稱中心：（ku錯誤！，0） 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 一般地，函數(shù)y=tanx叫做正切函數(shù)。 正切函數(shù)的圖像 定義域:[x|x永/專昔族!!] 值域：R最小正周期: 奇偶性：奇函數(shù)單調(diào)性在每一個開區(qū)間（\f（碎）—k%—專昔誤！+k力內(nèi)都是增函數(shù)。 ,TT 對稱軸：x=k/2 對稱中心：（kTT,0） 幾何

9、平面幾何命題 直線圖形的命題 命題1:兩直線相交，對頂角相等。 命題2:一組平行線被第三條直線所截，所形成的同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 命題3:兩條直線被第三條直線所截，如果所形成的同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。 命題4:等腰三角形的兩個底角相等。 命題5:兩個底角相等的三角形是等腰三角形。 命題6:三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。 命題7:長的邊所對的角是大的角，大的角所對的邊是長的邊。 命題8:短的邊所對的角是小的角，小的角所對的邊是短的邊。 命題9:直角三角形中，兩條直角邊的平方之和大于第三邊。 命題10

10、:如果一個三角形存在兩條邊的平方之和等于第三邊，那么這個三角形是直角三角 形。 命題11:三角形內(nèi)角和等于180o 命題12:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。 命題13:平行四邊形的對邊相等，對角相等，對角線互相平分。 命題14:三角形的中位線平行于第三邊，并且是第三邊的一半。 命題15:矩形的四個角是直角，而且對角線相等。 命題16:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 命題17:菱形的四條邊相等，并且對角線互相垂直。 命題18:菱形每一條對角線平分每一組角。 命題19:正方形四個角是直角，對角線相等，四條邊相等，對角線互相垂直，并且每一條對角線平分每一組角。

11、 命題20:在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，，那么它所對的直角邊是斜邊的一半。 命題21:直角三角形的兩個內(nèi)角互補(bǔ)。 命題22:等腰三角形底邊上的高、中線、角平分線互相重合。 命題23:等邊三角形的三個內(nèi)角相等，并且每個內(nèi)角等于60o 命題24:三角形的外角和等于360°。 命題25:多邊形的外角和等于360°o 命題26:n邊形的內(nèi)角和等于180Nn-2） 命題27:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 命題28:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 命題29:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 命題30:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

12、命題31:對角線相等的平行四邊形是矩形。 命題32:有3個角是直角的四邊形是矩形。 命題33:對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形。 命題34:四條邊相等的四邊形是平行四邊形。 命題35:如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊相等，那么這兩個三角形全等。（SSS） 命題36:如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊及其夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。（SAS） 命題37:如果兩個三角形的兩組對應(yīng)角及其兩角的公共邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全 等。（ASA） 命題38:如果兩個三角形的兩組對應(yīng)角及其及其中一個角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角 形全等。（AAS） 命題39:角的平分線的點(diǎn)到角的兩邊的距

13、離相等。 命題40:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。 命題41:相似三角形的對應(yīng)邊成比例。 命題42:相似三角形的三個角對應(yīng)相等。 命題43:兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。 命題44:平行于三角形一邊的截其它兩邊（或兩邊的延長線，所得的對應(yīng)線段成比例。 命題45:平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 命題46:三邊成比例的兩個三角形相似。 命題47:兩邊成比例及夾角相等的兩個三角形相似。 命題48:兩角分別相等的兩個三角形相似。 命題49:一個銳角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。 命題50:兩組直角邊成比例的兩個

14、三角形相似。 命題51:相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比。 命題52:相似三角形面積的比等于相似比的平方。 命題53:一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。（HL） 命題54:兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。（HH） 命題55:在三角形中，一條邊和這條邊所對的角的正弦值的比成比例，而且比值等于該三角 形的外接圓的直徑。 命題56:三角形中，一條邊的平方等于另外兩條邊的平方的和減去另外兩邊與這條邊的對角的余弦值的積的2倍。 命題57:一個銳角和一條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。（AL/AH） 命題58:在三角形中，任意一條邊等于第二條邊乘第三個角的余弦值加上第

15、三條邊乘第二個角的余弦值。 曲線圖形的命題 命題59:圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。命題60:垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。 命題61:平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。 命題62:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。 命題63:在同圓或等圓中，如果兩條弧對應(yīng)相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦也 相等。 命題64:在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，,那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等。 命題65:在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等。 命題66:一條弧所對的圓周角

16、是它所對的圓心角的一半。 命題66:同弧或等弧所對的圓周角相等。 命題67:半徑（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弧是直徑。 命題68:圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。 代數(shù) ?元一次方程 般地，方程ax+b =0叫做 次方程。 可以化成一般形式后，用求解公式 x=錯誤!未定義書簽 。來求解。 次不等式。 ?元一次不等式 般地，不等式ax+bW0叫做 ①ax+b>0的解為x＞錯誤!未定義書簽。。 xj昔誤！。 x＜錯誤!未定義書簽。。 一元二次方程 二次方程。 一般地，方程ax ax+bRO的解為 ③ax+ b < 0

17、的解為 ④ax+ b wo的解為 +bx+c=0叫做可以化成一般形式后，用求解公式: -??±V??-4???? ??=- 2?? 來求解。 均值不等式 a〔 a2 n an n a^ a2...an 當(dāng)且僅當(dāng)a〔 a? ... an時，等號成立。 代數(shù)基本法則 n a m a n、mmn (a)a abnanbn a.bab 222 aba2abb ababa2b2 acadbc bdbd acac. bdbd acad bdbc三角函數(shù)公式 三角函數(shù) 誘導(dǎo)公式 弧度制下的角的表示

18、: sin 2k sin k Z sin sin cos 2k cos k Z cos cos tan 2k tan k Z tan tan cot 2k cot k Z cot cot sec 2k sec k Z sec sec csc 2k csc k Z csc csc sin 2 cos sin 2 cos sin cos 2k 2k 1 1 sin cos k k Z Z cos 2 sin cos 2 sin t

19、an 2k 1 tan k Z tan 2 cot tan 2 cot cot sec 2k 2k 1 1 cot sec k k Z Z cot 2 tan cot 2 tan csc 2k 1 csc k Z sec 2 csc sec 2 csc csc 2 sec csc 2 sec 三角函數(shù)關(guān)系 積的關(guān)系 sin tan cos cos cot sin tan sin sec cot cos csc sec tan csc cs

20、c sec cot 平方關(guān)系 .22 sincos1 22 tan1sec ,22 cot1csc 倒數(shù)關(guān)系 tancot1 sincsc1 cossec1 商的關(guān)系 sinsec tan coscsc ,coscsc cot sinsec 兩角和與差的三角函數(shù) sin cos sincos coscos cossin ■sin sin tana tantan 1 -tantan 積化和差公式 sin cos 1. 一sin 2 sin cos sin 1.

21、一sin 2 sin cos cos 1 —cos 2 cos sin sin 1 一cos 2 cos  和差化積公式 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 sin tantan coscos sin cotcot sinsin 倍角公式 半角公式 sin 一 2 1 cos cos— 2 1 cos sin 2 2sin cos cos2 __ 2 . 2 cos sin 2 2cos

22、 - 2 1 1 2sin tan2 cot 2 2 tan tan2 cot2 1 sec2 csc2 cot 2 2 sec csc 2 2 csc sec 2 2 sec csc 2 sec T~ csc 2 sec 2 csc 2 sec 2 csc 2sec csc 2sec csc tan— 2 sin 1 cos cos sin 1 cos2 1 cos2 cot — 2 sin 1 cos 1 cos 1 cos2 sin 1 cos2 2sec sec— 2 sec 1 2s

23、ec csc一 2 sec 1  萬能公式 2 tan 一 2 sin = - 1 + tan2 一 2 1 tan2 — cos - 2 2 1 + tan — 2 2 tan tan 2— 1 tan2 — 2 1 tan2 — cot - 2 tan 一 2 1 + tan2 — sec 2 1 tan2 — 2 1+tan2 一 2 csc 2 2 tan 一 2 .21cos2 sin 2 21cos2 cos 2 tan2 1 cos2 1cos2 解三角形公式 a b sin

24、 A sin B c sinC 2R cosA b2 22 ca a bcosC ccosB a -b2 2c 2bccosA 2 2bc 22 cb b acosC ccosA b a2 2c 2accosB cosB a 2ac c acosB bcosA c .a2 b2 2abcosC cosC 2a ,22 bc 2ab a2RsinA b2RsinB c2RsinC sinA sinB a 2R b 2R a:b:c

25、sinA:sinB:sinC c 2R a bsinA csinA sinA bsinB asinC sinB sinC b c b asinB csinB sinB bsinA bsinC sinA sinC a C c asinC bsinC sinC csinA csinB sinA sinB a b sinC ma 2a2c2b2 mb mc 、2a2'一， ha hb hc 2；;ta—2—Jbcpp~a .PPapbpcbc' a2 2:tb..'acppb \p

26、papbpcac b 2.1■.:tc，abppc 二』ppapbpcab' c S S S S S S S 1.1,.1. ahabhbchc 222 1, —bcsinAacsinBabsinC2 abc 4R 1. -rabc 2 hl a2sinBsinC ,2 bsinAsinC 2 csinAsinB 2sinBC 2sinAC 2sinAB