2019屆高考數(shù)學一輪復習 第11單元 選考4系列聽課學案 理.doc

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第十一單元 選考4部分第67講坐標系課前雙擊鞏固1.平面直角坐標系中的伸縮變換設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換:x=x,0,y=y,0的作用下,點P(x,y)對應到點P(x,y),稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換. 2.極坐標系(1)設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫作點M的,記為.以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫作點M的,記為.有序數(shù)對(,)叫作點M的極坐標,記作M(,). (2)極坐標與直角坐標的關(guān)系:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,設(shè)M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標是(,),則它們之間的關(guān)系為x=,y=sin ,由此得2=,tan =(x0). 3.常用簡單曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為r的圓=r圓心為(r,0),半徑為r的圓=2rcos 圓心為r,2,半徑為r的圓=2rsin (00,y=y,0的作用下所得曲線方程的求法是將x=x,y=y代入y=f(x),得y=fx,整理之后得到y(tǒng)=h(x),即為所求變換之后曲線的方程.平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換來表示.在伸縮變換x=x,0,y=y,0的作用下,直線仍然變成直線,拋物線仍然變成拋物線,雙曲線仍然變成雙曲線,圓可以變成橢圓,橢圓也可以變成圓.式題 (1)在同一平面直角坐標系中,已知伸縮變換:x=3x,2y=y,則點A13,-2經(jīng)過變換后所得的點A的坐標為.(2)雙曲線C:x2-y264=1經(jīng)過伸縮變換:x=3x,2y=y后所得曲線C的焦點坐標為.探究點二極坐標與直角坐標的互化2 在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的直角坐標方程為(x-3)2+(y-2)2=4,直線C2的直角坐標方程為y=33x,以O(shè)為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程;(2)若直線C2與曲線C1交于P,Q兩點,求|OP|OQ|的值. 總結(jié)反思 (1)直角坐標方程化為極坐標方程時,將x=cos 及y=sin 直接代入并化簡即可;(2)極坐標方程化為直角坐標方程時常先通過變形,構(gòu)造形如cos ,sin ,2的形式,再進行整體代換.其中方程的兩邊同乘(或同除以)及方程兩邊同時平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時,方程必須同解,因此應注意對變形過程的檢驗.式題 2017大慶實驗中學月考 已知曲線C的極坐標方程為2=9cos2+9sin2,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系.(1)求曲線C的直角坐標方程;(2)A,B為曲線C上兩個點,若OAOB,求1|OA|2+1|OB|2的值.探究點三簡單曲線的極坐標方程及應用3 2017全國卷 在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;(2)設(shè)點A的極坐標為2,3,點B在曲線C2上,求OAB面積的最大值. 總結(jié)反思 曲線的極坐標方程問題通?？上壤没セ睫D(zhuǎn)化為直角坐標系中的相關(guān)問題再求解,然后再次利用互化公式即可得相關(guān)結(jié)論.極坐標方程化為直角坐標方程,只需將cos 和sin 分別換成x和y即可.式題 2017黃岡中學三模 在平面直角坐標系xOy中,直線C1:3x+y-4=0,曲線C2:x=cos,y=1+sin(為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系.(1)求C1,C2的極坐標方程;(2)若曲線C3的極坐標方程為=0,0b0)x=acos,y=bsin(為參數(shù))3.直線的參數(shù)方程的標準形式的應用過點M0(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程是x=x0+tcos,y=y0+tsin(t是參數(shù)). 若M1,M2是l上的兩點,其對應的參數(shù)分別為t1,t2,則:(1)M1,M2兩點的坐標分別是(x0+t1cos ,y0+t1sin ),(x0+t2cos ,y0+t2sin );(2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|M0M2|=|t1t2|;(3)若線段M1M2的中點M所對應的參數(shù)為t,則t=t1+t22,中點M到定點M0的距離|MM0|=|t|=|t1+t2|2;(4)若M0為線段M1M2的中點,則t1+t2=0.課堂考點探究探究點一曲線的參數(shù)方程1 在平面直角坐標系xOy中,過點A(a,2a)的直線l的傾斜角為6,點P(x,y)為直線l上的動點,且|AP|=t.圓C以C(2a,2a)為圓心,2為半徑,Q(x,y)為圓C上的動點,且CQ與x軸正方向所成的角為.(1)分別以t,為參數(shù),求出直線l和圓C的參數(shù)方程;(2)當直線l和圓C有公共點時,求a的取值范圍. 總結(jié)反思 幾種常見曲線的參數(shù)方程:(1)直線的參數(shù)方程.過點P(x0,y0)且傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為x=x0+tcos,y=y0+tsin(t為參數(shù)).(2)圓的參數(shù)方程.若圓心為點M0(x0,y0),半徑為r,則圓的參數(shù)方程為x=x0+rcos,y=y0+rsin(為參數(shù)).(3)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的參數(shù)方程為x=acos,y=bsin(為參數(shù)).(4)雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的參數(shù)方程為x=acos,y=btan(為參數(shù)).(5)拋物線y2=2px(p0)的參數(shù)方程為x=2pt2,y=2pt(t為參數(shù)).式題 2017長沙二模 在平面直角坐標系中,已知直線l的參數(shù)方程為x=1+s,y=1-s(s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x=t+2,y=t2(t為參數(shù)),若直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|.探究點二參數(shù)方程與普通方程的互化2 2017臨汾三模 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2(為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為sin-4=22m.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程;(2)若曲線C1與曲線C2有公共點,求實數(shù)m的取值范圍. 總結(jié)反思 (1)消去參數(shù)的方法一般有三種:利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式,然后代入消去參數(shù);利用三角恒等式消去參數(shù);根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活選用一些方法,從整體上消去參數(shù).(2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致.式題 2017湖北六校二聯(lián) 已知直線l:x=1+12t,y=36t(t為參數(shù)),曲線C1:x=cos,y=sin(為參數(shù)).(1)設(shè)l與C1相交于A,B兩點,求|AB|;(2)若把曲線C1上各點的橫坐標縮短為原來的12,縱坐標縮短為原來的32,得到曲線C2,設(shè)點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最大值.探究點三直線的參數(shù)方程3 2017雅安三診 平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=3cos,y=sin(為參數(shù)),在以原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為sin-4=2.(1)求曲線C的普通方程和直線l的傾斜角;(2)設(shè)點P(0,2),直線l和曲線C交于A,B兩點,求|PA|+|PB|. 總結(jié)反思 (1)直線的參數(shù)方程有多種形式,只有標準形式中的參數(shù)才具有幾何意義,即參數(shù)t的絕對值表示對應的點到定點的距離.(2)根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準形式中t的幾何意義,有如下常用結(jié)論:若直線與圓錐曲線相交,交點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則弦長l=|t1-t2|;若定點M0(標準形式中的定點)是線段M1M2(點M1,M2對應的參數(shù)分別為t1,t2,下同)的中點,則t1+t2=0;設(shè)線段M1M2的中點為M,則點M對應的參數(shù)為tM=t1+t22.式題 2017鷹潭一模 在直角坐標系xOy中,過點P32,32作傾斜角為的直線l與曲線C:x2+y2=1相交于不同的兩點M,N.(1)寫出直線l的參數(shù)方程;(2)求1|PM|+1|PN|的取值范圍.探究點四圓、圓錐曲線的參數(shù)方程及應用4 在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos,y=2+tsin(t為參數(shù),0b,那么;如果bbbb,bc,那么,即ab,bc. (3)如果ab,那么a+c,即aba+c. 推論:如果ab,cd,那么,即ab,cd. (4)如果ab,c0,那么ac;如果ab,c0,那么acb0,那么anbn(nN,n2). (6)如果ab0,那么nanb(nN,n2).2.基本不等式(1)如果a,bR,那么a2+b2,當且僅當時,等號成立. (2)如果a0,b0,那么a+b2,當且僅當時,等號成立. (3)如果a0,b0,那么a+b2稱為a,b的平均,ab稱為a,b的平均. (4)如果a0,b0,c0,那么a+b+c3,當且僅當時,等號成立. (5)對于n個正數(shù)a1,a2,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均,即,當且僅當a1=a2=an時,等號成立.3.絕對值不等式(1)如果a,b是實數(shù),那么|a+b|a|+|b|,當且僅當時,等號成立.(2)如果a,b,c是實數(shù),那么|a-c|a-b|+|b-c|,當且僅當時,等號成立.課堂考點探究探究點一絕對值三角不等式的應用1 2017湖南長郡中學二模 若對于實數(shù)x,y,有|x+y+1|13,y-1323,求證:23x+179. 總結(jié)反思 (1)對絕對值三角不等式定理|a|-|b|ab|a|+|b|中取等號的條件要深刻理解,特別是用此定理求函數(shù)的最值時,要檢驗等號是否能取到.該定理可以強化為|a|-|b|ab|a|+|b|,它經(jīng)常用于證明含絕對值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函數(shù)的最值問題時,利用絕對值三角不等式更方便.式題 若x,y滿足|x-3y|12,|x+2y|16,求證:|x|0).(1)求證:f(x)8恒成立;(2)求使得不等式f(1)10成立的實數(shù)m的取值范圍. 總結(jié)反思 含有絕對值的不等式的證明方法:去掉絕對值符號(|x|a-axa(a0),|x|axa或x0)再證明;利用絕對值不等式的性質(zhì)(|a|-|b|ab|a|+|b|)來證明.式題 2017宣城二調(diào) 已知f(x)=|ax-1|,若實數(shù)a0,不等式f(x)3的解集是x|-1x2.(1)求a的值;(2)若f(x)+f(-x)3ba-b0,aba-bb,只要證明即可,這種方法稱為求差比較法. 求商比較法:ab0ab1且a0,b0,因此當a0,b0時要證明ab,只要證明ab1即可,這種方法稱為求商比較法. (2)分析法從所要證明的出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實,從而得出要證的命題成立,這種證明方法稱為分析法,即“執(zhí)果索因”的證明方法. (3)綜合法從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法稱為綜合法,即“由因?qū)す钡姆椒? (4)放縮法證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡化不等式,從而達到證明的目的,這種方法稱為放縮法.(5)反證法的步驟作出否定的假設(shè);進行推理,導出;否定,肯定.2. 柯西不等式(1)二維形式的柯西不等式柯西不等式的代數(shù)形式:設(shè)a1,a2,b1,b2均為實數(shù),則(a12+a22)(b12+b22)(當且僅當a1b2=a2b1時,等號成立). 柯西不等式的向量形式:設(shè),為平面上的兩個向量,則|,當且僅當是零向量或存在實數(shù)k,使=k時,等號成立. 二維形式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2R,那么x12+y12+x22+y22(x1-x2)2+(y1-y2)2,當且僅當x1y2=x2y1時,等號成立. (2)一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實數(shù),則(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,當且僅當bi=0(i=1,2,n)或存在一個實數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,n)時,等號成立. 課堂考點探究探究點一柯西不等式的應用1 已知x,y,z是正實數(shù),且滿足x+2y+3z=1.(1)求1x+1y+1z的最小值;(2)求證:x2+y2+z2114. 總結(jié)反思 對于若干個單項式的平方和,因為其符合柯西不等式(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)(am+bn+cp)2,所以只要補足另一個平方和多項式,便可利用柯西不等式來求最值.式題 2017長沙雅禮中學二模 已知關(guān)于x的不等式|x+a|b的解集為x|2x4.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)求證:2at+12+bt4.探究點二利用綜合法、分析法證明不等式2 2017衡水中學二模 已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x-2m|-|x|,mN*,且f(x)0),ba+ab2(ab0),ba+ab-2(ab0),利用已知條件得出M點坐標,根據(jù)|OM|OP|=16列方程可得C2的極坐標方程,再將極坐標方程化為直角坐標方程;(2)設(shè)B(B,)(B0),由|OA|=2,B=4cos ,即可求出OAB面積的最大值.解:(1)設(shè)P的極坐標為(,)(0),M的極坐標為(1,)(10).由題設(shè)知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程為=4cos (0),因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點B的極坐標為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面積S=12|OA|BsinAOB=4cos sin-3=2sin2-3-322+3.當=-12時,S取得最大值2+3,所以O(shè)AB面積的最大值為2+3. 變式題解:(1)x=cos ,y=sin ,C1的極坐標方程為3cos +sin -4=0.x=cos,y=1+sin,x2+(y-1)2=1,又x=cos ,y=sin ,(cos )2+(sin -1)2=1,即2-2sin =0,C2的極坐標方程為=2sin .(2)設(shè)A(1,),B(2,),則1=43cos+sin,2=2sin ,則|OB|OA|=21=142sin (3cos +sin )=142sin2-6+1,又00,設(shè)A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-18250,所以t10,t20,即sin2+623,又0,),63sin+61,又t1+t2=-(3cos +3sin ),t1t2=2,1|PM|+1|PN|=-1t1+1t2=-t1+t2t1t2=3cos+3sin2=3sin+6,63sin+61,20,設(shè)A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-2(cos-sin),t1t2=-7.又直線l過點P(1,2),結(jié)合t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=32-4sin232-4=27.故1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB|PA|PB|=32-4sin2|-7|277,所以所求的最小值為277.變式題解:(1)曲線C1的參數(shù)方程為x=-4+cost,y=3+sint(t為參數(shù)),其普通方程為(x+4)2+(y-3)2=1,C1為圓心是(-4,3),半徑是1的圓.曲線C2的參數(shù)方程為x=8cos,y=3sin(為參數(shù)),其普通方程為x264+y29=1,C2為中心是坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓.(2)由t=2,得P(-4,4),設(shè)Q(8cos ,3sin ),故M-2+4cos ,2+32sin ,(cos -2sin )=7可化為x-2y=7,故M到C3的距離d=55|4cos -3sin -13|=55|5cos(+)-13|其中tan =34,從而當cos(+)=1時,d取得最小值,為855.【備選理由】例1考查了圓的參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直線與圓相交求弦長;例2考查了直線的參數(shù)方程與普通方程,圓的極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,直線參數(shù)方程的應用;例3考查了曲線的極坐標方程與參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化,以及曲線參數(shù)方程的應用;例4考查了曲線參數(shù)方程與極坐標方程之間的轉(zhuǎn)化,以及曲線極坐標方程的應用.以上幾題覆蓋了曲線參數(shù)方程與極坐標方程的幾種常見組合,是對例題的補充.1 配例2使用 2017珠海調(diào)研 已知在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2+2cos,y=2sin(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為sin+4=22.(1)求曲線C的極坐標方程;(2)求直線l被曲線C截得的弦長.解:(1)曲線C的普通方程為(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,將x=cos,y=sin代入,化簡得=4cos ,曲線C的極坐標方程是=4cos .(2)直線l的直角坐標方程為x+y-4=0,聯(lián)立x2+y2-4x=0,x+y-4=0,得直線l與曲線C的交點坐標為(2,2),(4,0),所求弦長為(2-4)2+(2-0)2=22.2 配例3使用 已知直線l的參數(shù)方程為x=2+22t,y=1+22t(t為參數(shù)),以直角坐標系xOy的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=42sin+4.(1)求直線l的普通方程與圓C的直角坐標方程;(2)設(shè)圓C與直線l交于A,B兩點,若P點的直角坐標為(2,1),求|PA|-|PB|的值.解:(1)易得直線l的普通方程為y=x-1.因為曲線C的極坐標方程為=42sin+4=4sin +4cos ,即2=4sin +4cos ,所以圓C的直角坐標方程為x2+y2-4x-4y=0(或?qū)懗?x-2)2+(y-2)2=8).(2)點P(2,1)在直線l上,且在圓C內(nèi),把x=2+22t,y=1+22t代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-2t-7=0,設(shè)A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=2,t1t2=-70,即t1,t2異號,所以|PA|-|PB|=|t1|-|t2|=|t1+t2|=2.3 配例4使用 在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:2=151+2cos2,直線l:2sin+3=3.(1)判斷曲線C與直線l的位置關(guān)系,寫出直線l的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線l與曲線C的兩個交點分別為A,B,求|AB|的值.解:(1)曲線C的直角坐標方程為x25+y215=1,直線l的直角坐標方程為3x+y=3,與y軸的交點為P(0,3),將P(0,3)代入橢圓方程左邊得0+151,故點P(0,3)在橢圓的內(nèi)部,所以直線l與曲線C相交.直線l的參數(shù)方程為x=-12t,y=3+32t(t為參數(shù)).(2)由(1)知直線l的參數(shù)方程為x=-12t,y=3+32t(t為參數(shù)),曲線C的直角坐標方程為x25+y215=1,將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程,得3-12t2+3+32t2=15,即t2+2t-8=0,設(shè)點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t2+t1=-2,t2t1=-8,所以|AB|=(t2+t1)2-4t2t1=(-2)2-4(-8)=6.4 配例4使用 2018岳陽一中月考 直角坐標系xOy中,直線l:x=t,y=-3t(t為參數(shù)),曲線C1:x=cos,y=1+sin(為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為=-2cos +23sin .(1)分別求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程;(2)設(shè)直線l交曲線C1于O,A兩點,交曲線C2于O,B兩點,求|AB|.解:(1)曲線C1:x=cos,y=1+sin(為參數(shù)),化為普通方程是x2+(y-1)2=1,展開可得x2+y2-2y=0,可得其極坐標方程為2-2sin =0,即=2sin .曲線C2的極坐標方程為=-2cos +23sin ,即2=(-2cos +23sin ),化為直角坐標方程是x2+y2=-2x+23y.(2)直線l:x=t,y=-3t(t為參數(shù)),化為普通方程是y=-3x,可得其極坐標方程是=23(R),|OA|=2sin23=3,|OB|=-2cos23+23sin23=-2-12+2332=4,|AB|=|OB|-|OA|=4-3.第69講不等式的性質(zhì)及絕對值不等式考試說明 1. 理解絕對值的幾何意義,并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件:|a+b|a|+|b|(a,bR);|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR).2. 會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.【課前雙基鞏固】知識聚焦1. (1)bb(2)acac(3)b+cb+ca+cb+da+cb+d(4)bcbc(5)(6)2. (1)2aba=b(2)aba=b(3)算術(shù)幾何(4)3abca=b=c(5)a1+a2+annna1a2an3. (1)ab0(2)(a-b)(b-c)0【課堂考點探究】例1思路點撥 借助絕對值三角不等式進行證明.證明:23x+1=23x+32=23x+y+1-y+13+1623|x+y+1|+y-13+162313+23+16=79,所以23x+179.變式題證明:由絕對值三角不等式的性質(zhì)得|x|=15|2(x-3y)+3(x+2y)|15|2(x-3y)|+|3(x+2y)|15212+316=310.例2思路點撥 (1)分類討論,去掉絕對值,分別求得不等式f(x)-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f(x)的圖像,數(shù)形結(jié)合求得滿足xa,+)時g(x)f(x)的a的取值范圍.解:(1)f(x)=x-4,x-2,3x,-2x1,-x+4,x1,當x-2時,x-4-2,即x2,x;當-2x1時,3x-2,即x-23,-23x1;當x1時,-x+4-2,即x6,1x6.綜上,f(x)-2的解集為x|-23x6.(2)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示.g(x)=x-a,-a表示直線的縱截距,當直線過(1,3)點時,-a=2,當-a2,即a-2時,符合題意;當-a-2時,令-x+4=x-a,得x=2+a2,a2+a2,即a4.綜上,a-2或a4.變式題解:(1)當a=-1時,不等式f(x)0可化為|2x+1|-|x|-10,x-12,-(2x+1)-(-x)-10或-12x0,(2x+1)-(-x)-10或x0,(2x+1)-x-10,解得x-2或x0,不等式f(x)0的解集為(-,-20,+).(2)由f(x)=2x得a=2x+|x|-|2x+1|,令g(x)=2x+|x|-|2x+1|,則g(x)=3x+1x-12,-x-1-12x0,x-1(x0),作出函數(shù)y=g(x)的圖像,如圖所示,易知A-12,-12,B(0,-1),結(jié)合圖像知,當-1a10,分1-2m0和1-2m0,得f(x)=x+8m+|x-2m|x+8m-(x-2m)=8m+2m=8m+2m28m2m=8,當且僅當8m=2m且x+8m(x-2m)0,即m=2且-4x4時取等號,所以f(x)8恒成立.(2)f(1)=1+8m+|1-2m|(m0).當1-2m12時,f(1)=1+8m-(1-2m)=8m+2m,由f(1)10,得8m+2m10,化簡得m2-5m+40,解得m4,所以12m4.當1-2m0,即010,得2+8m-2m10,此不等式在00,所以-2ax4a,因為不等式f(x)3的解集是x|-1x2,所以-2a=-1,4a=2,解得a=2.(2)因為f(x)+f(-x)3=|2x-1|+|2x+1|3|(2x-1)-(2x+1)|3=23,所以要使f(x)+f(-x)323,解得k23或k-23, 所以實數(shù)k的取值范圍是-,-2323,+.【備選理由】這里選用的三個例題,涉及求絕對值不等式的解、由解集求參數(shù)、不等式的證明,以及不等式恒成立等問題,希望通過練習提高學生的解題能力.1 配例1使用 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|5;(2)若對任意x1R,都存在x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)由|x-1|+2|5得-5|x-1|+25,所以-7|x-1|3,得-2x4,故不等式|g(x)|5的解集為x|-2x4.(2)因為對任意x1R,都有x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以y|y=f(x)y|y=g(x),又f(x)=|2x-a|+|2x+3|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+22,所以|a+3|2,解得a-1或a-5,所以實數(shù)a的取值范圍為a-1或a-5.2 配例2使用 2017山西實驗中學模擬 已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+4|,g(x)=x2+4x+3.(1)求不等式f(x)g(x)的解集;(2)如果f(x)|1-5a|恒成立,求a的取值范圍.解:(1)f(x)g(x),即|x-2|+|x+4|x2+4x+3.當x-4時,原不等式等價于-(x-2)-(x+4)x2+4x+3,即x2+6x+50,解得-5x-1,-5x2時,原不等式等價于(x-2)+(x+4)x2+4x+3,即x2+2x+10,解得x=-1,x.綜上可知,不等式f(x)g(x)的解集是x|-5x-2+7.(2)|x-2|+|x+4|x-2-x-4|=6,且f(x)|1-5a|恒成立,6|1-5a|,即-61-5a6,-1a75,a的取值范圍是-1,75.3 配例3使用 2017深圳二調(diào) 已知函數(shù)f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,aR.(1)若f(a)2|1-a|,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)1存在實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)因為f(a)2|1-a|,所以|1-a|+|a-a2|2|1-a|,即(|a|-1)|1-a|0.當a=1時,不等式成立;當a1時,|1-a|0,則|a|-10,解得-1a1.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是a|-1a1.(2)若關(guān)于x的不等式f(x)1存在實數(shù)解,則只需f(x)min1, 又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2,所以(a-1)21,解得0a2,所以實數(shù)a的取值范圍是a|0a2.第70講不等式的證明、柯西不等式與均值不等式考試說明 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析