安徽省高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第15單元第79講 證明不等式的基本方法課件 理

了解證明不等式的基本方法與技巧，提升解析式的變形能力，培養(yǎng)邏輯思維能力 0,1111 1A 11141B 11141C 1114114.D 111abca bb cc aa bb cc aa bb cc aa bb cc aa bb cc a用反證法證明命題：若 、 、，則，不同時大于，假設(shè)正確的是，同時大于，同時不大于，中至少有一個大于，中至多有兩個大于A A. 2. B.22C. D.22abcdadadbcbcadadbcbc四個不相等的正數(shù)、 、 、 成等差數(shù)列，則 ()22aadbcbc bbccd因為解析：所以、 互不相等，4334 A BC D3.mnxmm nyn mnxyxyxyxymn設(shè)，則 ， 的大小關(guān)系是與， 的取值有關(guān)433433332220 .xymm nn mnmmnnmnmnmnmnmnymxn解析：所為以因，3322200 11A(4.)4 B2C222 D. |ababababababababab設(shè)，則以下不等式中不恒成立的是33222222200111()224A12223222110C|( |)()222()0| DBabababababababababababababababababbabababab 因為，所以，故 恒成立；，取，故 恒成立；若解析：，則恒成立，若，則 不則，所以，成立故；恒成立111 .5.mAmmBmmAB 已知，設(shè)，則 、 之間的大小關(guān)系是11111.1 .111AmmmmBmmmmmAmmmmB ，因為，所，：所以以解析()12不等式的證明常用的方法有：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等證不等式有作差 商 、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述，如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證是從命題提供的條件，或是已證明過的結(jié)論，或是已知的定義、公理、定理等條件及事實出發(fā)，經(jīng)正確的推理得到結(jié)論的方法，是一種直接的演繹推比較法理方法綜合法，也就是“”“12由因?qū)Ч?的方法綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：已知可知可知結(jié)論”.“4123”“ 是指 執(zhí)分果索因 的思維方法，即從結(jié)論出發(fā)，不斷地去尋找需知，直至達(dá)到已知事實為止的方法分析法的思維全貌可概括下面形式：結(jié)論需知需知已知”從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確析法的證反證法：明方法112157“6”ABBBBBBA欲證，可通過適當(dāng)放大和縮小，借助一個或多個中間量，使得， ，再利用傳遞性，達(dá)到欲證的目的，這種方法叫做放縮法換元法是指結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不很明了的命題，通過恰當(dāng)引入新變量，代換原題中的部分式子，簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式用換元法證明不等式時一定要注意新元的約放縮法：換元法：構(gòu)束條件及整體置換策略構(gòu)造二次方程用造法：，構(gòu)造函數(shù)用函數(shù)單調(diào)性，構(gòu)造圖形用數(shù)形結(jié)合方法221.(2010)00.abbaabab已知，例，求證：濟(jì)南模擬題型一題型一 用比較法證明用比較法證明 察可知，通過作差后，可以較快地因式分解，從而證明不等式，也可以用作商分析：法證明222222222222 ().00 00.1 0 .baababbaabbabaabababbaababababbabaabab 因為因為 ， ，所以 ，證明：，所以上故法式方：，2233222222 2100.2baabababab abaabbababababbaababbaabab 證由于，且 ， ，所以有方法：明 ()3 12本題的兩種證法就是比較法中的作差法和作商法用比較法中的作差法證明不等式時，為了說明差式的符號，有下列三種常用的方法： 將差式因式分解，通過判斷簡單因式的符號來判斷差式的符號； 將差式通過配方寫成一些正 負(fù) 數(shù)的和； 把差式中的某一字母視為自變量，構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)值恒正或恒負(fù)用比較法中的作商法證明不等式時，需特別注意的是，用作商法證明不等式時，應(yīng)要求不等式的兩評析：邊同號2001.a babababa babR設(shè) ，且，證變，求：式 ：222222202200( ).( )101020010.2( )( .)(. )1a baba bb aa baba ba ba bbaaba ba baba baabbabaaabababbbaabbabaaaaba babbbb因為，所以將不等式兩邊相解析：綜上所述，對任意正實數(shù) ，除，得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得，即，都有2.(2.010)abcbccaababcabc設(shè) 、 、 都是正數(shù)例，求證：廣州模擬題型二題型二 利用綜合法證明不等式利用綜合法證明不等式 2222() .2abcbccacabcaababcbcabbacbccaababcabcbccaababcabcR因為 ， ，所以，由得，解：所以，析222222222 abcabbccaa bb cc aabc abc本題是利用綜合法證明不等式用綜合法證明不等式時，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)匾阎坏仁阶鳛橐罁?jù)，其中基本不等式是最常用了對于這種兩邊各有三項的不等式，都可利用本題中的方法進(jìn)行證明，例如：，等等利用這種方法，還可以得到很多類似形式的評析：不等式 01,01,0110211164.abcabcabc已知，求變式證：2011101.241014101 1011 .4.416aaaaabbabcabccc 因為，所以同理，解析：由得 ，220.8.283abababababab 已知，求證：例題型三題型三 利用分析法證明不等式利用分析法證明不等式 () 所證不等式的形式較復(fù)雜 如從次數(shù)看，有二次、一次、次等 ，難以從某個角度著手，故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找不等式成立的必要條件實際上就是對所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，這種變形在相當(dāng)多的題目里都分析：是充要的2222222828244()()() 22221 22 ababababababababababababababababababababab 欲證成立，只需證，只需證，只需證，即證證明：，2212 1 111.01.82 8babaababbaabbaababababababab 只需證 ，即證，只需證因為 ，所以 成立，從而，有證明：“”“ ”“”分析法的步驟是未知需知已知，在操作中 要證只需證即證 這些詞是不評析：可缺少的2211 0223.aaaaa設(shè)，求證：變式22222222222211 22011(2)( 2)11114422 2() 2.aaaaaaaaaaaaaaaaa只需證明，因為，所以只需證明，即證明：22222222222222121 ()2121()()2111 (2)212.12 aaaaaaaaaaaaaaaa整理為所以只需證明，即，整理為根據(jù)基本不等式恒成立，所以原不證明：等式成立 2123412.f xxpxqfff設(shè)，則、中是例否至少有一個不小于 ？并證明你的結(jié)論題型四題型四 利用反證法證明不等式利用反證法證明不等式“”“”“”“”“ ” 結(jié)論若是 都是都不是至少至多 或等形式的不等式命題，往往考慮用分析：反證法 1123.2112422132122393221211122 12222221321123() . 2ffffpqfpqpffqfffpqffffffff 假設(shè)、都小于因為，所以，所以，這與矛盾故、中至少有一個不一解法小于證析： 1123.213221932 422.1322132211122222112 3. 2) (ffffffpqpqpqfffffffff假設(shè)、都證法小于而又，矛盾，故、中至少有一個不：小于二解析 反證法實質(zhì)上是通過證明原命題的逆否命題而實現(xiàn)的，在否定結(jié)論時必須對結(jié)論反面的各種情形都予以考慮，不能評析：有所遺漏 02,02,02422.21.abca bb cc a若，求證，不能同時大于變式 21 21 21.02,02,02221.22211.22332221222 1. a bb cc aabcaba bbccaa bb cc aa bb cc a 假設(shè)，因為，所以同理可得，上面三式相加，得，矛盾因此，都大于是不可能的故，不能同證時大于明：0005.11.(2010)1abcabcabcabc已知，例，求證：合肥模擬題型五題型五 利用放縮法證明不等式利用放縮法證明不等式 00 ab本題若通過通分去分母，運(yùn)算量較大，考慮到，可先試試分分析：式的放縮 0011.11111.1111(0)1111 aaabaabbbababbababababcabcxf xxxabcf abf cabcabc 因為，所以，所以只需證而函數(shù)在 ，上遞增，且，所以，即，所以原不等解析：式成立 放縮法是不等式證明中的重要方法之一，放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)常用的放縮技巧有增項、減項、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)評析：的性質(zhì)等*3 1223345.1 ()111.23nnan nnn nan N變已知，求證：式*22 1.1123.2 11132341.2nnkk kkkn nank kkkn nan N證設(shè)，則所以又因為，所明以：3332233311 133221336233139623120611133 1.3 21 nnn nnn nnnnnnnn nnn nan 證明：因為，所以于是所以原不等式成立 00 ()().0ln()f xabababxf bf afxbababbaabbaa 拉格朗日中值定理：若函數(shù)是閉區(qū)間 ，上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間 ， 內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在 ， 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件試用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)時，可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和備例題可導(dǎo)性選 000ln()().1() 01 1()011ln. g xxxabg xg bg alnblnaxabgxbabagxxababxgxbab ablng bg alnblnaagxbbababaababbabaa 令， ，則符合拉格朗日中定理的條件，即存在， ，使因為證明：，由， ，可知， ，即，所以12不等式證明的常用方法有：比較法、綜合法和分析法它們是證明不等式的最基本的方法另外，反證法、換元法、放縮法、函數(shù)性質(zhì)法等也是常用的證明思路注意以下幾點(diǎn)：證明不等式時，作差比較法綜通常是進(jìn)行因式分解，或利用各因式的符號進(jìn)行判斷，或配方利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷證明不等式時，主要利用重要不等式，函數(shù)的單調(diào)性及不等式的性質(zhì)，在嚴(yán)密的演繹推理合法下導(dǎo)出結(jié)論222234131()()24211()1111212111(1)()()aakk kkk kkkkkkkkk N分析法的思路是逆向思維，應(yīng)注意證題格式放縮時使用的主要方法有：舍去或加上一些項，如；將分子或分母放大 縮小 ，如，等放縮法的理論依據(jù)主要有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量；同分子 分母 異分母 分子 的兩個分式大小的比較22222222222“sincos1“sincos1“.“1si5xyxyxyxxRRRR是數(shù)學(xué)中的基本方法，它的應(yīng)用十分廣泛，不僅在不等式的證明中用到它，在其他數(shù)學(xué)問題的研究中也經(jīng)常用到它三角換元法有一定的規(guī)律性問題中含有，”時可以考慮作，”代換，尤其是時，這樣的代換的優(yōu)勢更為明顯，作為這些代換的理論依據(jù)是”及 圓的參數(shù)方程問題中含有”時，可以考慮設(shè)換元法ncos|sin| 1 | cos| 1.x或，其理論依據(jù)是，6在用判別式法時，若二次項系數(shù)含字母，往往要按其為零和不為零兩種情況分類討論111()()_xyxyzxyxy已知兩正數(shù) ， 滿足，則的最小值為22110211()()44.2222()22222( 21)2( 21)aaazxyzxyx yxyzxyxyxyxyxyz方法 ：因為對，恒有，從而，所以 的最小值是方法 ：，所以錯解： 的最小值是12方法 和方法 的錯誤原因是等號同時成立的條件不具備，因此使用基本不等式一定要驗證等號成立的條件，只有等號成立時，所求出的最值才錯解分析： 是正確的 22111()()1222.10(125).2421(0.241233444yxzxyxxyzyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxytxytxyf ttttf ttt 正解令，則由在 ， 上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，有： 所以當(dāng)時， 有最小值最小值，