普通高中數(shù)學課程教學設計立體幾何初步【校本教材】

《普通高中數(shù)學課程教學設計立體幾何初步【校本教材】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《普通高中數(shù)學課程教學設計立體幾何初步【校本教材】（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、普通高中數(shù)學課程教學設計立體幾何初步【校本教材】 普通高中數(shù)學課程教學設計【校本教材】 立體幾何初步 12中數(shù)學組 編著 版權所有 前言 根據(jù)高中新課程標準，學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式。這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的"再創(chuàng)造"過程。同時，高中數(shù)學課程設立"數(shù)學探究"、"數(shù)學建模"等學習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，鼓

2、勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣。因此，高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。 數(shù)學課中的實踐活動是在教師的指導下，學生充分發(fā)揮自主性，自己動手動腦進行實踐和思維想象，是培養(yǎng)學生學習興趣與發(fā)展能力的實踐性很強的教學活動中的一環(huán)。它與學科教學相互聯(lián)系、相輔相成。 中學數(shù)學立體幾何初步的中心內(nèi)容應著眼于數(shù)學空間想象能力問題的研究設計。 在高中立體幾何初步的教學中，建立良好的空間想象能力是學習高中立體幾何初步的關鍵，也是最大的難點。眾多的學者、專家等勤勉之士也想了很多好的方法，設計、

3、制作了不少類型的幾何模具，但大多不靈活，不精巧，不透明，直觀性差，尤其在展示幾何體內(nèi)部的點線面關系中缺少透視性，都只具有教師在講臺上進行演示的功能，且演示內(nèi)容少，變化少，缺少學生進行實際操作的功能，針對這種情況，在鄭州市第十二中學校領導的大力支持下，在我校黃漢聲教師所設計、創(chuàng)作的教(學)具(2000年9月獲全國第五屆教(學)具評選一等獎，且獲得了專利，專利號為：ZL：00264511.4，證書號為：479690)的基礎上，參照理化生實驗室和教學音像制品的思路，于2001年春創(chuàng)建了立體幾何觀察實驗室，并成立了相應的科研小組，設計制作了完全不同于傳統(tǒng)教（學）具的新型教具、學具及圖表，配備了為設計制

4、作更新教學具必備的文具、工具和多種規(guī)格的原材料，及教學改革和教學具制作方面的圖書資料。 在一些同學學習立體幾何的過程中，建立良好的空間想象能力是一難點，同時還存在另一大誤區(qū)，往往將立體幾何和平面幾何的知識割裂開來甚至對立起來，使立體幾何成了無源之水，無根之木，空中樓閣，對立體幾何的學習，知識的理解，甚為困難。同時，在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，用多層平面透明膠片的平移和旋轉可以有效的彌補了這兩個方面的不足，為此研制了新的教(學)具，構建了平面和空間的互動模型，通過互動的模型，將平面幾何與立體幾何有機的聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了化歸平面，升維降維，以直代曲的思想。 高中新課程標準對立體幾何初步這一部分的教學建議

5、是： 1. 立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間想像能力。教學內(nèi)容的設計應遵循從整體到局部、具體到抽象的原則，教師應提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)的空間幾何體，幫助學生認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體等空間幾何體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構。 2．幾何教學應注意引導學生通過對實際模型的認識，學會將自然語言轉化為圖形語言和符號語言。教師可以使用具體的長方體的點、線、面關系作為載體，使學生在直觀感知的基礎上，認識空間中一般的點、線、面之間的位置關系，抽象出空間線、面位置關系的定義；通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關

6、系的基本性質以及判定方法，學會準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關系，并能解決一些簡單的推理論證及應用問題。 3．立體幾何初步的教學中，對有關線面平行、垂直關系的的判定定理只要求直觀感知、操作確認。 4．有條件的學校應在教學過程中恰當?shù)厥褂矛F(xiàn)代信息技術展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質（包括證明）的教學提供形象的支持，提高學生的幾何直觀能力。教師可以指導和幫助學生運用立體幾何知識選擇課題，進行探究。 根據(jù)新課程的精神，結合我校的實際情況和我校學生的認知水平，為配合新課程教學，我們對立體幾何初步這一內(nèi)容按照問題導學模式編寫了校本教材。主要思路是通過學生在數(shù)學課中的操作

7、實踐，促進學生主動地進行觀察、、歸納、猜想、驗證、推理和交流等活動，有效地幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理、理解數(shù)學知識，有助于強化學生的數(shù)學應用意識和應用能力，有助于培養(yǎng)學生探究能力和創(chuàng)新精神，使新課程的數(shù)學教學充滿活力，激發(fā)學生學習興趣和提高教學質量。 目錄 第一章 空間幾何體 引言 學習立體幾何初步的準備（一課時） 1 1.1 空間幾何體的結構 1.1.1 柱、錐、臺、球的結構特征（第一課時） 1.1.2 簡單幾何體的結構特征（第二課時） 1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 1.2.1 空間幾何體的三視圖（第一課時

8、） 1.2.2 空間幾何體的直觀圖（第二課時） 1.3 空間幾何體的表面積和體積 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積和體積（第一課時） 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積和體積（第二課時） 1.3.2 球的體積和表面積（第三課時） 附錄1 引言 學習立體幾何初步的準備（一課時） 教具：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱，三棱錐、四棱錐、五棱錐、六棱錐，三棱臺（由三棱錐截得）、四棱臺（由四棱錐截得），圓柱，圓錐，圓臺，球，5個小正方體， 6根短膠棒，2根鐵絲，一張長方形紙板，一塊正方形豆腐。 一、展示學習目標 1.利用實物模型、計算機

9、軟件觀察大量空間圖形觀察圖形，認識圖形， 了解多面體與旋轉體，相信自己對學習立體幾何初步有很好的基礎。 2. 自己動手制作簡單的立體幾何模型，初步感知空間幾何體；展示的問題與學生的認知相適應，與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，激發(fā)學生學習的積極性與主動性；在平面內(nèi)與空間中思考問題，出現(xiàn)認知沖突，激發(fā)學習興趣。 二、問題情境引入 在生活實踐中，人們在研究物體的形狀、大小和位置關系時，認識了各種各樣的幾何圖形。例如：線段、三角形、四邊形、圓、長方體、球等等。在初中，我們主要研究了平面圖形，現(xiàn)在我們要開始學習的是立體圖形，即研究空間中的點、線、面、體。 在現(xiàn)實生活中，我們的周圍存在著各種各樣的物體，它們具有

10、不同的幾何形狀。由這些物體抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體。在我們生活周圍中有不少有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結構特征如何？ 師生所列舉的建筑物基本上都是由柱、錐、臺、球等這些幾何體組合而成的，你能通過觀察，根據(jù)某種標準對這些空間幾何體進行分類嗎？ 教師展示圖片： 問題1：學生觀察（1）—（16）這些實物圖片，思考: （1）—（16）這些實物具有什么樣的幾何結構特征？ 如何把這16個實物分為兩類？分類的標準是什么？ （學生觀察思考，發(fā)現(xiàn)這些物體可分為兩類. 其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16) 具有相同的特點:組成幾何體的

11、每個面都是平面圖形,并且都是平面多邊形；(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)具有相同的特點:組成它們的面不全是平面圖形.） 活動1 想一想,我們應該給上述兩大類幾何體取個什么名稱才好呢? 1.由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面。相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。 （學生每人拿出一個學具正方體進行比劃，了解多面體的面、棱、頂點） 2.由一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體，叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸。 （學生每人拿出一個學具圓柱進行觀察，思考交

12、流旋轉體的軸及形成旋轉體的平面圖形） 三、問題解決展示 問題2.下圖中的幾何體，我們從正面、從左面、從上面看到的圖形分別是什么？你能畫出來嗎？ (學生畫圖) 從正面看到的圖形 從左面看到的圖形 1101 從上面看到的圖形 問題3.請你畫出一個正方體的圖形，如果在一個正方體的六個面上分別標有字母A、B、C、D、E、F；如圖是兩種不同的放置，請問與D面所對應的面上的字母是什么？ 1102 問題4 用六根長度相等的火柴棒可以搭出四個全等的正三角形嗎？ 1103

13、 問題5.觀察下列圖形，談談自己的感覺； 用一張硬紙板折一下，檢驗一下自己的感覺。 1104 1105 1106 四、分層反饋練習 1.兩條直線相交有幾個交點？ 2.兩個平面相交會出現(xiàn)什么？ 3.幾個點可以確定一條直線？ 4.能找到一個四邊形，使它們的對角線不相交嗎？ 五、延伸拓展遷移 問題6.從一個圓錐的底部圓周上一點出發(fā)在圓錐的表面上走一圈仍回到出發(fā)點，請你設計最短的路線？ 問題7. 只允許切三刀，能把一塊正方體的豆腐切成形狀、大

14、小相同的八塊嗎？ 1107 1108 1109 六、 課堂回顧小結 1、努力畫好立體圖形，要理解立體幾何與初中所學平面幾何的區(qū)別和聯(lián)系 2、從實際出發(fā)，在初學立體幾何時，不論是學習概念和空間和圖形的關系，還是學習性質和定理，都可以制作一些簡單的模型來增強空間想象能力，我們配備的立體幾何初步學具素材就可以制作幾何體模型，有時也可以就地取材；如：桌面，練習本可當作平面，筆，小木棒可當作直線，也可以進行折紙實驗等，這樣可以大大降低難度，幫助我們盡快地建立空間空間概念。 3、學

15、生談感受：在學習立體幾何的開始階段，我們要依靠模型來思考問題；學了一段時間以后，就要養(yǎng)成離開模型，而只是依靠立體圖形來思考；到最后，要靠腦中的圖形來思考解決問題。 七、布置檢測作業(yè) 結合我們配備的立體幾何初步學具素材，分小組制作幾何體模型，制作出以下幾何體模型，并觀察其幾何結構特征。 三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱，三棱錐、四棱錐、六棱錐，三棱臺（由三棱錐截得）、四棱臺（由四棱錐截得），圓柱，圓錐，圓臺，球。 八、課后教學反思 1.1 空間幾何體的結構 課標要求 利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活

16、中簡單物體的結構。 教具：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱，三棱錐、四棱錐、五棱錐、六棱錐，三棱臺（由三棱錐截得）、四棱臺（由四棱錐截得），圓柱，圓錐，圓臺，球 1.1.1 柱、錐、臺、球的結構特征（第一課時） 一、展示學習目標 1. 學生通過制作模型，會折疊，制作棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的模型，直觀感受空間幾何體； 2. 通過對所制作空間幾何體的觀察、討論、歸納、概括，會用語言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的幾何結構特征，并能用適當?shù)姆椒ū硎居嘘P于幾何體以及柱、錐、臺的分類。 二、問題情境引入 在現(xiàn)實生活中，我們的周圍存在著各種各樣的物體，它們具有不同的幾何形狀。由這

17、些物體抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體。我們上一節(jié)的作業(yè)制作的幾何體模型就是抽象出來的空間幾何體，請同學們展示自己的作品模型，觀察其幾何結構特征，每個小組拿出自己作品模型，觀察其幾何結構特征。 教師展示教具：（1）（2）（3）（4）等幾何體模型，學生按小組進行觀察并思考： 問題1：請同學們仔細觀察下列4個幾何體，說出他們的共同特點是什么？ （師生共同討論，總結出棱柱的定義及其相關概念） 1121 1122 1123 1124 （1）定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰

18、兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。 （2）棱柱的有關概念：（出示下圖模型，邊對照模型邊介紹） 棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面（簡稱底），其余各面叫做棱柱的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱，側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。 1125 112 （3）棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 （4）棱柱的表示用底面各頂點的字母表示，如上圖的六棱柱可表示為“棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'” 問題2：有兩個面平行，其余各面

19、都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱？ 答：不是棱柱。可舉反例。如右圖的幾何體有兩個面平行， 其余各面都是平行四邊形，但它不是棱柱。 通過棱柱的學習，我們了解了認識幾何體結構特征的一般方法，大家能不 能用這種方法來得到棱錐的結構特征？教師展示教具：（1）（2）（3）（4）等幾何體模型，學生按小組進行觀察并思考： 三、問題解決展示 活動1請同學們仔細觀察下列4個幾何體，說出他們的共同特點. （學生總結出棱錐的定義及其相關概念，老師對某些用詞準確表述） 1128

20、 1129 1130 1131 （1）定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。 （2）棱錐的有關概念：（出示下圖模型，邊對照模型邊介紹）棱錐中，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面，各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點，相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。 (3)棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等。 S A B C D 頂點 側面 側棱 底面 （4）棱錐的表示 用底面各頂點的字母表示，如右圖的四棱

21、錐可表示為“棱錐” 1132 1133 1134 問題3 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到怎樣的兩個幾何體？ 一個是棱錐，另一個我們稱為棱臺。 活動2請仿照棱錐中關于側面、側棱、頂點的定義，給出棱臺的側面、側棱、頂點的定義， (1 ) 棱臺的概念：棱錐被平行于棱錐底面的平面所截后，截面和底面之間的部分叫做棱臺． (2 ) 棱臺的有關概念：（出示模型，邊對照模型邊介紹）棱臺的上底面、下底面、側面、棱、側棱、頂點； (3 ) 棱臺的分類:三棱

22、臺、四棱臺、五棱臺、六棱臺； (4 ) 棱臺的表示方法：“棱臺ABCD－A'B'C'D'” (5 ) 棱臺的特點：兩個底面是相似多邊形，側面都是梯形；側棱延長后交于一點． 活動3出示圓柱的幾何體,學生觀察并敘述圓柱的定義及其相關概念。 (1) 定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫圓柱 (2) 圓柱的有關概念：在圓柱中，旋轉的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線。 (3) 圓柱的表示方法：圓柱用表示它的軸的字母表示，例如P

23、5 圖1.1-7中的圓柱表示為圓柱O’O， 活動4出示圓錐、圓臺、球的幾何體,讓學生觀察，回憶它們分別是由什么平面圖形繞著哪一條直線旋轉而成的？師生共同總結出圓錐、圓臺、球的定義及其相關概念 圓錐 (1) 定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉,其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫圓錐. (2) 圓柱的有關概念：在圓錐中，旋轉的軸叫做圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面，無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線。 (3) 圓錐的表示方法：圓錐用表示它的軸的字母表示，例如P5 圖1.1-8中的圓錐表示為圓錐SO. 討

24、論：棱錐與圓錐的共同特征？ 圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體. 圓臺 (1) 定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺. 想一想：圓臺能否用旋轉的方法得到?若能,請指出用什么圖形?怎樣旋轉? (2) 圓臺的有關概念：結合圖形認識圓臺的上、下底面、側面、母線、軸。 要求在課本P5圖1.1-9中標出它們。 (3) 圓臺的表示方法：圓臺用表示它的軸的字母表示， 例如P5 圖1.1-9中的圓臺表示為圓臺O’O， 討論：棱臺與圓臺的共同特征？ 圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體. 球（1） 定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸， 半圓面旋轉一周形成的旋轉體，叫球

25、體，簡稱球. 列舉生活中的實例，哪些物體是球體？ （2）結合課本圖1.1-10認識：球心、半徑、直徑. 在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。 （3） 球的表示： 球常用表示球心的字母表示，例如圖1.1-10中的球表示為球O。 四、分層反饋練習 1. P8習題1.1A組第1題的(1) (2 (3) (4)小題. 2. P8習題1.1A組第2題 五、延伸拓展遷移 1. 已知圓錐的軸截面等腰三角形的腰長為 5cm,,面積為12cm,求圓錐的底面半徑. 六、 課堂回顧小結 1、通過本節(jié)課的的學習，要了解認識幾何體結構

26、特征的一般方法；同時要結合幾何體的結構特征，判定一個幾何體是不是棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球。 2、由學生整理學習了哪些內(nèi)容 七、布置檢測作業(yè) 1、下列命題正確的是（ ） A．棱柱的底面一定是平行四邊形 B．棱錐的底面一定是三角形 C．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐 D．棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱 2．對于棱錐，下列敘述正確的是（ ） A．四棱錐共有四條棱 B．五棱錐共有五個面 C．六棱錐的頂點有六個 D．任何棱錐都只有一個底面 3.課本P8 練習題1.1 B組第1題 4．給出如下四個命題：①棱柱

27、的側面都是平行四邊形；②棱錐的側面為三角形， 且所有側面都有一個共同的公共點；③多面體至少有四個面；④棱臺的側棱所在 直線均相交于同一點。其中正確的命題個數(shù)有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 5.已知圓柱的底面半徑為3cm,,軸截面面積為24cm,求圓柱的母線長. 6. 已知長方體的長、寬、高之比為4∶3∶12，對角線長為26cm, 則長、寬、高分別為多少？ 八、課后教學反思 1.1.2 簡單幾何體的結構特征（第二課時） 教具：正方體，正八面體，直六棱柱，圓臺型水杯，足球模型。 一、展示學習目標 學生清楚領會學習目標

28、.（1分鐘） 1. 利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形及實物，能根據(jù)柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，對空間物體進行分類，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構。 2. 學生感受空間幾何體存在于現(xiàn)實生活周圍，積極參與數(shù)學學習活動，感受用數(shù)學的眼光看問題，對數(shù)學有好奇心與求知欲，認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系， 體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造。 二、問題情境引入 結合本節(jié)學習目標，從學生的原有認知出發(fā),設計問題情境, 學生進行推理與探究,歸納猜想（證明），得到結論. （5分鐘） 問題1. 棱柱、棱錐與棱臺都是多面體，它們在結構上有哪些相同點和不同點？三者的關系如何？當

29、底面發(fā)生變化時，它們能否相互轉化？圓柱、圓錐和圓臺呢？ 在現(xiàn)實生活中，存在著形形色色的多面體與旋轉體，如食鹽，明礬，石膏等晶體都呈多面體形狀。水杯，籃球等都成旋轉體形狀。它們的結構特征分別是什么？ 三、問題解決展示 教師出示與目標有關的新的問題(或課堂生成的問題), 學生思考,分組討論交流,接著展示學生討論交流的成果,師生共同評價. （15分鐘） 日常生活中我們常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗潔精等的主要幾何結構特征是什么？ 由柱、錐、臺、球組成了一些簡單的組合體．認識它們的結構特征要注意整體與部分的關系．

30、（1）觀察討論：現(xiàn)實世界中物體表示的幾何體，除了柱體、錐體、臺體、球體等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的。請同學們觀察課本P6圖1.1-11所給出的幾何體,說一說它們各由哪些簡單幾何體組合而成? （2） 定義：由簡單幾何體（如柱、錐、臺、球等）組合而成的幾何體叫簡單組合體. 請同學們列舉生活中的實例。 1.走在街上會看到一些物體，它們的主要幾何結構特征是什么？ 一些螺母、帶蓋螺母又是有什么主要的幾何結構特征呢？ 問題討論：簡單組合體的構成形式有哪些? 一種是由簡單幾何體拼接而成，例如課本圖1.1-11中（1）（2）物體表

31、示的幾何體； 一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，例如課本圖1.1-11中（3）（4）物體表示的幾何體。 四、分層反饋練習 設計與目標相關的有梯度的兩個問題，學生獨立解答，老師關注全體學生,特別是學習遇到困難的學生. （8分鐘） 1. 棱臺與棱柱、棱錐有什么共性？（多面體）球與圓柱、圓錐、圓臺有何關系？（旋轉體） 2. P8習題1.1A組第3題, 3. P8習題1.1A組第4題, 4. P8習題1.1A組第5題. 五、延伸拓展遷移 對本節(jié)的問題進行變式，深入研究，或留下思考. （6分鐘） 1. 如圖，將直角梯形繞所在的直線旋轉一

32、周，由此形成的幾何體是由哪些簡單幾何體構成的？ 2. 你能想象這條曲線繞軸旋轉而成的幾何圖形嗎？ 六、 課堂回顧小結 同學們自己總結,相互之間評價對本節(jié)課學習目標的掌握情況及課堂互動學習情況. （4分鐘） 歸納整理：由學生整理學習了哪些內(nèi)容 七、布置檢測作業(yè) 設計與本節(jié)學習目標相關的有梯度的6-8個習題（包含選擇題、填空題、解答題），鞏固新知，檢測學習效果.（1分鐘） 1. 課本P10 習題1.1 B組第2題. 2.已知圓柱的底面半徑為3cm,,軸截面面積為24cm,求圓柱的母線長. 八、課后教學反思

33、 1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 課標要求 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如：紙板）制作模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖。 通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。 1.2.1 空間幾何體的三視圖（第一課時） 教具：球、長方體 正六棱柱、圓柱、圓臺 正四棱錐，零件1、2、3、4、5、6。 一、展示學習目標 學生清楚領會學習目標.（1分鐘） 1. 通過學生自己的親身實踐，動手作圖

34、，進一步熟練畫三視圖的基本技能，體會三視圖的作用。 2. 能區(qū)別平行投影與中心投影，了解空間圖形的不同表示形式及相互轉化，能畫出簡單空間幾何體的三視圖，并能識別上述三視圖表示的立體模型。通過識別空間幾何體與三視圖的關系，初步發(fā)展學生的空間想象能力，提高學生的識圖能力。 二、問題情境引入 結合本節(jié)學習目標，從學生的原有認知出發(fā),設計問題情境, 學生進行推理與探究,歸納猜想（證明），得到結論. （5分鐘） 我們知道，物體在燈光或日光的照射下，就會在地面或墻壁上產(chǎn)生影子，這是一種自然現(xiàn)象。投影就是由這類自然現(xiàn)象抽象出來的。所謂投影，是光線（投射線）通過物體，向選定的面（投影面）投射，并在

35、該面上得到圖形的方法。 以2007年春節(jié)晚會的一段手影視頻導入新課，調動學生的學習熱情，激發(fā)學生的探究興趣。并以此引入投影的概念及分類。 設問：手影是如何形成的？光線照射物體的投影，投影有平行投影與中心投影，兩種投影的區(qū)別是什么？學生討論給出平行投影與中心投影的概念。 結論：我們把光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影；我們把在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影。平行投影按照投射方向是否正對著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種。 “橫看成嶺側看成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真

36、實反映出物體，我們可從多角度觀看物體。在初中，我們已經(jīng)學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側視圖、俯視圖），視圖是指將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形。你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？ 三、問題解決展示 教師出示與目標有關的新的問題(或課堂生成的問題), 學生思考,分組討論交流,接著展示學生討論交流的成果,師生共同評價. （15分鐘） 講臺上放球、長方體兩個實物，要求學生畫出它們的三視圖，教師巡視，學生畫完后可交流結果并討論： V H W 正視圖 側視圖 俯視圖 問題1 三視圖是如

37、何定義的？分別是什么？ 問題2 三視圖的作圖原則是什么？ 正視圖（主視圖）：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖。 側視圖（左視圖）：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖。 俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。 正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；左視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。 作圖原則：（1）正視圖與俯視圖的長度相等，且相互對正，即“長對正”； （2）正視圖與側視圖的高度相等，且相互平齊，即“高平齊”； （3）俯視圖與側

38、視圖的寬度相等，即“寬相等” 活動1 教師引導學生用類比方法畫出下列幾何體的三視圖 （1）圓柱； （2）球放在長方體上。 學生畫完后，可把自己的作品展示并與同學交流，總結自己的作圖心得：作三視圖之前應當細心觀察，認識了它的基本結構特征后，再動手作圖。 教師指導輪廓線的畫法：可見輪廓線用實線作出，不可見輪廓線用虛線作出。教師展示學生的作品，并再次強調教學重點及難點。 問題3 我們根據(jù)提供的三視圖，能還原幾何體嗎？ 學生根據(jù)教師提供的三視圖，還原空間幾何體。 正視圖 側視圖 俯視圖 活動2 “加”、“減”組合體的三視圖：教

39、師引導學生思考，畫出下列幾何體的三視圖 由學生根據(jù)教師提供的圖形及實物，作出三視圖。教師點評時強調作組合體三視圖的步驟： （1）掌握組合體的結構特征； （2）確定表面的交線，外部可見輪廓線及內(nèi)部不可見輪廓線；（3）確定正視、側視、俯視的方向； （4）根據(jù)作圖原則繪制三視圖。 四、分層反饋練習 設計與目標相關的有梯度的兩個問題，學生獨立解答，老師關注全體學生,特別是學習遇到困難的學生. （8分鐘） 1. 請同學們畫出下列幾何圖的三視圖 2. 已知某物體的三視圖如圖所示，那么這個 物體的形狀是__________

40、_____. 正視圖 側視圖 俯視圖 五、延伸拓展遷移 對本節(jié)的問題進行變式，深入研究，或留下思考. （6分鐘） （1）添線補全下列幾何體的三視圖： 六、 課堂回顧小結 同學們自己總結,相互之間評價對本節(jié)課學習目標的掌握情況及課堂互動學習情況. （4分鐘）請觀察下面的投影圖,并進行比較： 學生總結：光線從幾何體的前面向后面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的正視圖(也

41、叫主視圖)；光線從幾何體的上面向下面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的俯視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的側視圖(也叫左視圖)；幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。畫三視圖時,能看見的輪廓線和棱用實線表示，不能看見的用虛線表示。 請再次比較上述三個視圖,說說三視圖中反應的長、寬、高的特點。 學生總結結論：“長對正”，“高平齊”，“寬相等”位置：正視圖 側視圖 俯視圖 七、布置檢測作業(yè) 設計與本節(jié)學習目標相關的有梯度的6-8個習題（

42、包含選擇題、填空題、解答題），鞏固新知，檢測學習效果.（1分鐘） 一、 請?zhí)砭€補全下面物體的三視圖： （2）探究： 畫出下面物體的三視圖，并根據(jù)圖中的規(guī)定長度，在三視圖的相應位置上標明。 1．自己動手制作一個底面是正方形，側面是全等的三角形的棱錐模型，并畫出它的三視圖。 2．自己制作一個上、下底面都是相似的正三角形，側面是全等的等腰梯形的棱臺模型，并畫出它的三視圖。 八、課后教學反思 1.2.2 空間幾何體的直觀圖（第二課時） 教具：正六邊形、正五邊形，長、寬、高分別是4cm、3c

43、m、2cm的長方體，圓錐與圓柱的組合體。 一、展示學習目標 學生清楚領會學習目標.（1分鐘） （1）會用斜二測畫法畫的作圖規(guī)則畫水平放置的平面圖形的直觀圖，通過觀察和類比，能利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。 （2）采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點，提高空間想象力與直觀感受。體會對比在學習中的作用。 二、問題情境引入 結合本節(jié)學習目標，從學生的原有認知出發(fā),設計問題情境, 學生進行推理與探究,歸納猜想（證明），得到結論. （5分鐘） 活動1．我們都學過畫畫，這節(jié)課我們首先畫一物體：正方體 。 把實物正方體放在講臺上讓學

44、生畫。學生畫完后展示自己的結果并交流，比較誰畫的效果更好，思考怎樣才能畫好物體的直觀圖呢？ 投影出示下圖，讓學生觀察比較概括在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形的各自特點。 下圖是采用斜投影和中心投影畫出的正方體的直觀圖，觀察它們的特點，你認為哪一個圖作圖比較方便？ 中心投影（透視）中水平線仍保持水平，鉛垂線仍保持豎直，但斜的平行線會相于一點。 中心投影（透視）作圖方法比較復雜，且不易度量，因此，在立體幾何中，通常采用平行投影來畫空間圖形的直觀圖 三、問題解決展示 教師出示與目標有關的新的問題(或課堂生成的問題), 學生思考,分組討論交流,

45、接著展示學生討論交流的成果,師生共同評價. （15分鐘） 活動2 教師示范用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖，投影演示斜二測畫法，畫出水平放置的正五邊形的直觀圖，請學生觀察，總結斜二測畫法: ①建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的ox、oy，建立直角坐標系；畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上畫出對應的o'x',o'y',使∠x'o'y'=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面； ③畫對應圖形，在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄? ④擦去輔助線，

46、圖畫好后，要擦去x'軸、y'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。 活動3用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-A’B’C’D’的直觀圖。 教師組織學生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學解疑， 引導學生正確把握圖形尺寸大小之間的關系。 畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法。強調斜二測畫法的步驟。 四、分層反饋練習 設計與目標相關的有梯度的兩個問題，學生獨立解答，老師關注全體學生,特別是學習遇到困難

47、的學生. （8分鐘） 1．鞏固練習，課本P16練習1（1），2，3，4 五、延伸拓展遷移 對本節(jié)的問題進行變式，深入研究，或留下思考. （6分鐘） 問題1 想一想：三視圖與直觀圖有何聯(lián)系與區(qū)別？ 空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯(lián)系.?三視圖從細節(jié)上刻畫了空間幾何體的結構，根據(jù)三視圖可以得到一個精確的空間幾何體，得到廣泛應用（零件圖紙、建筑圖紙）.?直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，根據(jù)直觀圖的結構想象實物的形象. 問題2 投影出示幾何體的三視圖、課本圖1.2-9，請說出三視圖 表示的幾何體？并用斜二測畫法畫出它的直觀圖。 分析：由幾何體的三視圖知道，這個幾何體是一個簡單

48、組合體。 它的下部是一個圓柱，上部是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓 柱的上底面重合。我們可以先畫出下部的圓柱，再畫出上部的圓錐。 畫法： 1畫軸。如下圖，畫x軸、z軸，使∠xOz=900。 2畫圓柱的下底面。在x軸上取A,B兩點，使AB的長度等 于俯視圖中圓的直徑，且OA=OB。選擇橢圓模板中適當?shù)? 橢圓過A,B兩點，使它為圓柱的下底面。 3在Oz上截取點O’，使OO’等于正視圖中OO’的長度，過點 O’作平行于軸Ox的軸O’x’，類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面。 4畫圓錐的頂點。在Oz上截取點P，使PO’等于正視圖中相應的高度。 5成圖。連接PA’,PB’,AA’,

49、BB’，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖 強調：用斜二測畫法畫圖，注意正確把握圖形尺寸大小的關系。 六、 課堂回顧小結 同學們自己總結,相互之間評價 對本節(jié)課學習目標的掌握情況及課堂互動學習情況. （4分鐘） 學生回顧斜二測畫法的關鍵與步驟注意事項 七、布置檢測作業(yè) 設計與本節(jié)學習目標相關的有梯度的6-8個習題（包含選擇題、填空題、解答題），鞏固新知，檢測學習效果.（1分鐘） 1．書畫作業(yè)，課本P17 練習第5題 2．課外思考 課本P16，探究（1）（2） 八、課后教學反思

50、 1.3 空間幾何體的表面積和體積 課標要求 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積和體積（第一課時） 教具：棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺及其側面展開圖 一、展示學習目標 學生清楚領會學習目標.（1分鐘） 1、知識與技能 （1）通過學生對柱、錐、臺幾何體的側面展開的過程，進一步感知幾何體的形狀，熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉換關系； （2）能運用公式求解求柱、錐、臺的表面積，計算和解決有關實際問題 二、

51、問題情境引入 結合本節(jié)學習目標，從學生的原有認知出發(fā),設計問題情境, 學生進行推理與探究,歸納猜想（證明），得到結論. （5分鐘） 在過去的學習中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積？引導學生回憶，互相交流，教師歸類。 幾何體的表面積等于它的展開圖的面積， 你們還記得正方體和長方體的側面展開圖嗎? 提出問題：柱體，錐體，臺體的表面積能否計算？ 三、問題解決展示 教師出示與目標有關的新的問題(或課堂生成的問題), 學生思考,分組討論交流,接著展示學生討論交流的成果,師生共同評價. （15分鐘） 問題1已知棱長為a，各面均為等邊

52、三角形的四面體S-ABC，求它的表面積 分析：四面體S-ABC的四個面是全等的等邊三角形,所以表面積等于其中任何一個面面積的4倍。 解 先求△SBC的面積,過點S作SD⊥BC,交BC于點D.因為BC=a,SD= 所以 因此,四面體的表面積 活動1 展示教具正棱柱、正四棱錐和正三棱臺，學生思考如何求其表面積？ 問題2 展示教具圓柱、圓錐、圓臺及其側面展開圖，學生思考如何求其側面積及表面積？（圖→側→表） 1. 圖柱的側面展開圖是矩形，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高（母線）， 設圓柱的底面半徑為r,母線長為,則有:S=2，S=2，其中為圓柱底面半徑，為母線長。 O O’ O

53、 O 2. 圓錐的側面展開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線，弧長等于圓錐底面周長，側面展開圖扇形中心角為，S=， S=，其中為圓錐底面半徑，為母線長。 3. 圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，側面展開圖扇環(huán)中心角為，S=，S=. 問題3 一圓臺形花盆，盆口直徑20cm，盆底直徑15cm，底部滲水圓孔直徑1.5cm，盆壁長15cm.. 為美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盤要多少油漆？(π取3.14,結果精確到1毫升) 分析、思考：油漆位置在什么地方？→ 如何求花盆外壁表面積？ 解:如圖,

54、由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積 涂100個這樣的花盤需油漆：0.1×100×100=1000(毫升). 答:涂100個這樣的花盤需油漆1000毫升. 四、分層反饋練習 設計與目標相關的有梯度的兩個問題，學生獨立解答，老師關注全體學生,特別是學習遇到困難的學生. （8分鐘） 1、一個三棱柱的底面是正三角形，邊長為4，側棱與底面垂直，側棱長10，求其表面積 2. 已知圓錐的表面積為 a ㎡，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑為 。 ） 五、延伸拓展遷移 對本節(jié)的問題進行變式，深入研究，或留下思考. （6

55、分鐘） 圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間的關系 O O’ O O r’＝r 上底擴大 r’＝0 上底縮小 問題4 已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長為3cm。它的展開圖的形狀為________。該圖形的弧長為_____cm，半徑為______cm，所以圓錐的側面積為______cm2。 六、 課堂回顧小結 同學們自己總結,相互之間評價對本節(jié)課學習目標的掌握情況及課堂互動學習情況. （4分鐘） 本節(jié)課學習了柱體、錐體與臺體的表面積求解方法及公式。用聯(lián)系的關點看待三者之間的關系，更加方便于我們對空間幾何體的了解和

56、掌握。 (1)矩形面積公式： __________。(2)三角形面積公式：_________。 正三角形面積公式：_______。 (3)圓面積面積公式：_________。(4)圓周長公式： _________。(5)扇形面積公式： __________。(6)梯形面積公式： __________(7)扇環(huán)面積公式： __________。 七、布置檢測作業(yè) 八、課后教學反思 1.3 空間幾何體的表面積和體積 課標要求 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積和體積（第二

57、課時） 教具：三分等積棱柱，六角螺帽， 一、展示學習目標 學生清楚領會學習目標.（1分鐘） 1、知識與技能 （1）通過學生進一步感知柱、錐、臺幾何體的形狀，熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉換關系； （2）了解柱、錐、臺的體積計算公式；能運用柱錐臺的表面積公式及體積公式進行計算和解決有關實際問題 二、問題情境引入 結合本節(jié)學習目標，從學生的原有認知出發(fā),設計問題情境, 學生進行推理與探究,歸納猜想（證明），得到結論. （5分鐘） 我們已經(jīng)學過了柱體、錐體、臺體的表面積的求法及其計算公式,現(xiàn)在的問題是它們的體積如何求?學生回憶知道的相應的計算公式： ，， 祖暅原理：夾在兩

58、個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截面(陰影部分)的面積都相等,那么這兩個幾何體的體積一定相等。 結論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積相等. 歸納：一般柱體的體積 V=Sh,其中S為底面面積,h為柱體的高 結論1：等底面積等高的兩個錐體的體積相等。 引導學生探究：如何把一個三棱柱分割成三個等體積的棱錐？由此加深學生對等底、等高的錐體與柱體體積之間的關系的了解。如圖： 結論2：三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一。 歸納：錐體的體積計算公式：,S為底面面積，h為高 三、問題解決展示 教師出示

59、與目標有關的新的問題(或課堂生成的問題), 學生思考,分組討論交流,接著展示學生討論交流的成果,師生共同評價. （15分鐘） 問題1臺體的上底面積S’，下底面積S，高h，如何計算切割前的錐體的高？??→?如何計算臺體的體積？ 活動1柱、錐、臺的體積計算公式有何關系？ 從錐、臺、柱的形狀可以看出，當臺體上底縮為一點時，臺成為錐；當臺體上底放大為與下底相同時，臺成為柱。因此只要分別令S'=S和S'=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式 (s’,s分別我上下底面面積，h為臺柱高) 問題2有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.8g/cm

60、3六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個？(π取3.14) 解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即: 所以螺帽的個數(shù)為 答：這堆螺帽大約有252個． 四、分層反饋練習 設計與目標相關的有梯度的兩個問題，學生獨立解答，老師關注全體學生,特別是學習遇到困難的學生. （8分鐘） 1.?把三棱錐的高分成三等分，過這些分點且平行于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求這三部分自上而下的體積之比。 2、棱臺的兩個底面面積分別是245c㎡和80ｃ㎡，截得這個棱臺的棱錐的高為35c

61、m，求這個棱臺的體積。 （答案：2325cm3） 五、延伸拓展遷移 對本節(jié)的問題進行變式，深入研究，或留下思考. （6分鐘） 圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：球的體積等于圓柱體積的 六、 課堂回顧小結 同學們自己總結,相互之間評價對本節(jié)課學習目標的掌握情況及課堂互動學習情況. （4分鐘） 本節(jié)課學習了柱體、錐體與臺體的體積的結構和求解方法及公式。用聯(lián)系的關點看待三者之間的關系，更加方便于我們對空間幾何體的了解和掌握。 七、布置檢測作業(yè) 設計與本節(jié)學習目標相關的有梯度的6-8個習題（包含選擇題、填空題、解答題），鞏固新知，檢測學

62、習效果.（1分鐘） 八、課后教學反思 1.3.2 球的體積和表面積（第三課時） 教具：球 球及其內(nèi)接正方體 一、展示學習目標 學生清楚領會學習目標.（1分鐘） 1.通過對球的體積和面積公式的推導，了解推導過程中所用的基本數(shù)學思想方法：“分 割——求和——化為準確和”，有利于同學們進一步學習微積分和近代數(shù)學知識。 2. 能運用球的表面積公式和球的體積公式解決有關問題 二、問題情境引入 結合本節(jié)學習目標，從學生的原有認知出發(fā),設計問題

63、情境, 學生進行推理與探究,歸納猜想（證明），得到結論. （5分鐘） （一） 創(chuàng)設情景 球既沒有底面，也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？引導學生進行思考。 球的大小是與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和面積？激發(fā)學生推導球的體積和面積公式。 三、問題解決展示 教師出示與目標有關的新的問題(或課堂生成的問題), 學生思考,分組討論交流,接著展示學生討論交流的成果,師生共同評價. （15分鐘） 活動1. 如果用一組等距離的平面去切割球，當距離很小之時得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于

64、圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準確和”的方法來進行。 步驟： 第一步：分割 如圖：把半球的垂直于底面的半徑ＯＡ作n等分，過這些等分點，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。 如圖： 得 第二步：求和 第三步：化為準確的和 　　當n→∞時， →0 （同學們討論得出） 所以 得到定理：半徑是Ｒ的球的體積 練習：一種空心鋼球的質量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑(鋼的密度是7.9g/cm3) 活動2 球的表面積是球

65、的表面大小的度量,它也是球半徑R的函數(shù),由于球面是不可展的曲面,所以不能像推導圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導球的表面積公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和轉化為準確和”方法推導。 設球的半徑為，我們把球面任意分割為一些“小球面片”，它們的面積分別用表示，則球的表面積: 以這些“小球面片”為底，球心為頂點的“小錐體”的體積和等于球的體積，這些“小錐體”可近似地看成棱錐，“小錐體”的底面積可近似地等于“小棱錐”的底面積，球的半徑近似地等于小棱錐的高，因此，第個小棱錐的體積，當“小錐體”的底面非常小時，“小錐體”的底面幾乎是“平的”，于是球的體積: ， 又∵，且 ∴可得， 又

66、∵，∴， ∴即為球的表面積公式。 問題1. 已知過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積 解：設截面圓心為，連結，設球半徑為，則 在中，，∴，∴， ∴． 問題2 如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑. 求證：(1) 球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側面積。 證明:(1) 設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R. 因為 所以, (2) 因為 ,,所以,. 四、分層反饋練習 設計與目標相關的有梯度的兩個問題，學生獨立解答，老師關注全體學生,特別是學習遇到困難的學生. （8分鐘） ⑴正方形的內(nèi)切球和外接球的體積的比為 ，表面積比為 。 ；　3 ：1） 2長方體的一個頂點上三條棱長分別為3、4、5，是它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是 。 3.在球心同側有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積。 五、延伸拓展遷移 對本節(jié)的問題進行變式，深入研究，或留下思考. （6分鐘） 問題3. 半球內(nèi)有