高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計(jì) 8 最小二乘估計(jì)課件 北師大版必修3

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1、 一條直線一條直線距離的平方和距離的平方和1回歸直線回歸直線如果兩個(gè)變量散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在如果兩個(gè)變量散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在 .附近，那么稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作附近，那么稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線回歸直線2最小二乘法最小二乘法求線性回歸方程求線性回歸方程ybxa時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的 最小的方法叫作最小二乘法其中最小的方法叫作最小二乘法其中a，b的值由以下的值由以下公式給出：公式給出： a，b是線性回歸方程的系數(shù)是線性回歸方程的系數(shù) 核心必知核心必知 1任給一組數(shù)據(jù)，我們都可以由最小二乘法

2、得出線性任給一組數(shù)據(jù)，我們都可以由最小二乘法得出線性回歸方程嗎？回歸方程嗎？提示：用最小二乘法求回歸直線的方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點(diǎn)圖判斷)否則求出的線性回歸方程是無(wú)意義的2線性回歸方程是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？線性回歸方程是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？提示：線性回歸方程恒過(guò)定點(diǎn)( x ，y ) 問(wèn)題思考問(wèn)題思考 講一講講一講 1.下表是某旅游區(qū)游客數(shù)量與平均氣溫的對(duì)比表：下表是某旅游區(qū)游客數(shù)量與平均氣溫的對(duì)比表：若已知游客數(shù)量與平均氣溫是線性相關(guān)的，求線性回歸若已知游客數(shù)量與平均氣溫是線性相關(guān)的，求線性回歸方程方程平均氣溫平均氣溫)410131826數(shù)量數(shù)量202434385064自主解

3、答x706353， y23061153，x21x22x261161001693246761 286，x1y1x2y2x6y620963401338185026643 474. 練一練練一練 1某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：已知記憶力已知記憶力x和判斷力和判斷力y是線性相關(guān)的，求線性回歸方是線性相關(guān)的，求線性回歸方程程x681012y2356 講一講講一講 2.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬(wàn)元單位：百萬(wàn)元)與銷售額與銷售額y(單位：?jiǎn)挝唬喊偃f(wàn)元百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：之間

4、有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： (1)畫出散點(diǎn)圖；畫出散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程；求線性回歸方程；(3)預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出為預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出為7百萬(wàn)元時(shí)的銷售額百萬(wàn)元時(shí)的銷售額x24568y3040605070用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟：用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟：(1)作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；(2)如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式求出如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式求出a、b并寫出線性并寫出線性回歸方程；回歸方程；(3)根據(jù)線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)根據(jù)線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)練一練練一練 2假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限

5、x和所支出的維修費(fèi)用和所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬(wàn)元單位：萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：有如下的統(tǒng)計(jì)資料：若由資料知若由資料知y對(duì)對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)回歸方程回歸方程ybxa的系數(shù)的系數(shù)a，b；(2)使用年限為使用年限為10年時(shí)，試估計(jì)維修費(fèi)用是多少年時(shí)，試估計(jì)維修費(fèi)用是多少使用年限使用年限x23456維修費(fèi)用維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0 xiyi4.411.422.032.542.0 x2i49162536x4， y5，5i1x2i90，5i1xiyi112.3b5i1xi

6、yi5 xy5i1x2i5 x2112.3545905421.23，a yb x51.2340.08.(2)回歸方程是 y1.23x0.08，當(dāng) x10 時(shí)，y1.23100.0812.38(萬(wàn)元)，即估計(jì)使用 10 年時(shí)維修費(fèi)用是 12.38 萬(wàn)元.有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國(guó)民生產(chǎn)個(gè)城市某一年的人均國(guó)民生產(chǎn)總值總值(即人均即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表：下表：(1)畫出散點(diǎn)圖，并判定兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)畫出散點(diǎn)圖，并判定兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；系；(2)通過(guò)計(jì)算可得兩個(gè)變量的線性回歸方

7、程為通過(guò)計(jì)算可得兩個(gè)變量的線性回歸方程為y23.25x102.25，假如一個(gè)城市的人均，假如一個(gè)城市的人均GDP為為12萬(wàn)元，那么可以斷萬(wàn)元，那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過(guò)言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過(guò)380人，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)斷人，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)斷言是否正確？言是否正確？人均人均1086431患白血病的兒患白血病的兒童數(shù)童數(shù)351312207175132180錯(cuò)解錯(cuò)解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，如圖所示，從圖根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，如圖所示，從圖可以看出，雖然后可以看出，雖然后5個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，但第個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，但第一個(gè)點(diǎn)離這條直線太遠(yuǎn)，所以這兩個(gè)變量不具有線

8、性相關(guān)一個(gè)點(diǎn)離這條直線太遠(yuǎn)，所以這兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系關(guān)系(2)將將x12代入代入y23.25x102.25，得，得y23.2512102.25381.25380， 所以上述斷言是正確的所以上述斷言是正確的錯(cuò)因錯(cuò)因在第在第(1)問(wèn)中，是否具有線性相關(guān)關(guān)系，要看問(wèn)中，是否具有線性相關(guān)關(guān)系，要看大部分點(diǎn)、主流點(diǎn)是否分布在一條直線附近，個(gè)別點(diǎn)是不大部分點(diǎn)、主流點(diǎn)是否分布在一條直線附近，個(gè)別點(diǎn)是不影響影響“大局大局”的，所以可斷定這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)的，所以可斷定這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系在第系在第(2)問(wèn)中，問(wèn)中，381.25只是一個(gè)估計(jì)值，由它不能斷言只是一個(gè)估計(jì)值，由它不能斷言這個(gè)城市

9、患白血病的兒童一定超過(guò)這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過(guò)380人如果這個(gè)城市的人如果這個(gè)城市的污染很嚴(yán)重，有可能人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)污染很嚴(yán)重，有可能人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)380，若這個(gè)城市的環(huán)境，若這個(gè)城市的環(huán)境保護(hù)的很好，則人數(shù)就有可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于保護(hù)的很好，則人數(shù)就有可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于380.正解正解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，如錯(cuò)解圖所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，如錯(cuò)解圖所示，從圖可以看出，在從圖可以看出，在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，但其余但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系具有線性相關(guān)關(guān)系(2)

10、將將x12代入代入y23.25x102.25，得，得y23.2512102.25381.25380，即便如此，但因，即便如此，但因381.25只是一個(gè)估計(jì)只是一個(gè)估計(jì)值，會(huì)受其他情況的影響，所以不能斷言這個(gè)城市患白血值，會(huì)受其他情況的影響，所以不能斷言這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過(guò)病的兒童一定超過(guò)380人人1已知 x 與 y 之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則 y 與 x 的線性回歸方程 ybxa 必過(guò)點(diǎn)()A(2,2)B(1.5,0)C(1,2)D(1.5,4)2工人工資工人工資y(元元)隨勞動(dòng)生產(chǎn)率隨勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元千元)變化的回歸直線方變化的回歸直線方程為程為y80 x50，則下列

11、判斷正確的是，則下列判斷正確的是()A勞動(dòng)生產(chǎn)率為勞動(dòng)生產(chǎn)率為1 000元時(shí)，工資為元時(shí)，工資為130元元B勞動(dòng)生產(chǎn)率提高勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工資約提高元時(shí)，工資約提高80元元C勞動(dòng)生產(chǎn)率提高勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工資約提高元時(shí)，工資約提高130元元D當(dāng)月工資當(dāng)月工資210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2 000元元解析：回歸直線的斜率為解析：回歸直線的斜率為80，所以，所以x每增加每增加1個(gè)單位，個(gè)單位，y約約增加增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工資提高約元時(shí)，工資提高約80元元答案：答案：B3(福建高考改編福建高考改編)已知已知x與與y之

12、間的幾組數(shù)據(jù)如下表：之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為ybxa，若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和和(2,2)求得的直線方程求得的直線方程為為ybxa，則以下結(jié)論正確的是，則以下結(jié)論正確的是()Abb，aa Bbb，aa Cba Dbb，aax123456 y0213345某單位為了了解用電量某單位為了了解用電量y度與氣溫度與氣溫x之間的關(guān)系，隨之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程由表中數(shù)據(jù)得

13、線性回歸方程ybxa中中b2，預(yù)測(cè)當(dāng)，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為氣溫為4 時(shí)，用電量的度數(shù)約為時(shí)，用電量的度數(shù)約為_氣溫氣溫)1813101用電量用電量243438646下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量程中記錄的產(chǎn)量x(噸噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)：(1)請(qǐng)畫出上表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；請(qǐng)畫出上表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于關(guān)于x的線的線性回歸方程性回歸方程ybxa；(3)已知該廠技改前已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤(參考數(shù)值：參考數(shù)值：32.5435464.566.5)x3456y2.5344.5解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示