五年高考真題數(shù)學(xué)理 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

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1、 考點(diǎn)一　條件概率與相互獨(dú)立事件的概率 1．(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，4)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析　該同學(xué)通過測試的概率為p＝0.6×0.6＋C×0.4×0.62＝0.648. 答案　A 2．(2014·新課標(biāo)全國Ⅱ，5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　)

2、 A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 解析　由條件概率可得所求概率為＝0.8，故選A. 答案　A 3.(2011·湖南，15)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則 (1)P(A)＝________. (2)P(B|A)＝________. 解析　圓的半徑為1，正方形的邊長為，∴圓的面積為π，正方形面積為2，扇形面積為.故P(A)＝， P(B|A)＝＝＝. 答案　(1)　(2) 4．(2014·陜西，19)在一塊耕地上種植

3、一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表： 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場價(jià)格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列； (2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于 2 000元的概率． 解　(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價(jià)格為 6元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因?yàn)槔麧櫍疆a(chǎn)量×市場價(jià)格－成本， 所以

4、X所有可能的取值為 500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800. P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2， 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i＝1，2，

5、3)， 由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知， P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)， 3季的利潤均不少于2 000元的概率為 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(1C2C3)＋P(C12C3)＋P(C1C23)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512＋0.384＝0.896. 5．(2013·遼寧，19)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3

6、道題解答． (1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率； (2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨(dú)立．用X表示張同學(xué)答對題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解　(1)設(shè)事件＝“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有A＝“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”． 因?yàn)镻()＝＝， 所以P(A)＝1－P()＝. (2)X所有的可能取值為0，1，2，3. P(X＝0)＝C···＝； P(X＝1)＝C···＋C··＝； P(X＝2)＝C···＋C··＝； P(X＝3)＝C···＝. 所以X的分布列為

7、： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 6．(2012·山東，19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． 解　(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知

8、P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B＋C＋D，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)＝××＋××＋××＝. (2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5. 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得 P(X＝0)＝P() ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝(1－)××＝， P(X＝1)＝P(BCD) ＝P(B)P()P() ＝××＝， P(X＝2)＝P(BCD＋BCD) ＝P(C)＋P(D) ＝××＋ ××＝， P(X＝3)＝P(B

9、C＋BD) ＝P(BC)＋P(BD) ＝××＋××＝， P(X＝4)＝P(BCD)＝××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 7．(2011·大綱全國，18)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立． (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率； (2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù)．求X的期望． 解　設(shè)A

10、表示事件：該地的1位車主購買甲種保險(xiǎn)； B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)； C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100，0.2)，即X服從二項(xiàng)分布， 所以期望E(X)＝100×0.2＝20. 考點(diǎn)二　正態(tài)分布 1．(2015·湖南，7)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正

11、態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4. A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 解析　由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6， ∴P(0≤X≤1)＝×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3. ∴落在陰影部分中點(diǎn)的個(gè)數(shù)x估計(jì)值為＝(古典概型)， ∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故選C. 答案　C 2．(2015·山東，8)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)

12、分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為(　　) (附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.) A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74% 解析　由題意，知P(3＜ξ＜6)＝＝＝13.59%. 答案　B 3．(2014·新課標(biāo)全國Ⅰ，18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

13、點(diǎn)值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2. (ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8

14、×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150)，從而 P(187.8

15、 6＝68.26. 4．(2013·湖北，20)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800，502) 的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0. (1)求p0的值； (參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ

16、不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛，若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？ 解　(1)由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N(800，502)， 故有μ＝800，σ＝50，P(700