高考 圓錐曲線 知識總結

《高考 圓錐曲線 知識總結》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考 圓錐曲線 知識總結（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、(一)橢圓及其標準方程 1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大于||這個條件不可忽視.若這個距離之和小于||，則這樣的點不存在；若距離之和等于||，則動點的軌跡是線段. 2.橢圓的標準方程：（＞＞0），（＞＞0）. 3.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果項的分母大于項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上. 4.求橢圓的標準方程的方法：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程后，運用待定系數法求解. (二)橢圓的簡單幾何性質 1. 橢圓的幾何性質：設橢圓方程為（＞＞0）. ⑴ 范圍： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以

2、橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里. ⑵ 對稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心. ⑶ 頂點：有四個（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點. ⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓. 2.橢圓的第二定義 ⑴ 定義：平面內動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的

3、比是常數（e＜1＝時，這個動點的軌跡是橢圓. ⑵ 準線：根據橢圓的對稱性，（＞＞0）的準線有兩條，它們的方程為.對于橢圓（＞＞0）的準線方程，只要把x換成y就可以了，即. 3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑. 設（-c，0），（c，0）分別為橢圓（＞＞0）的左、右兩焦點，M（x，y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為，. 橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件. 4.橢圓的參數方程 橢圓（＞＞0）的參數方程為（θ為參數）. 說明:

4、⑴ 這里參數θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同：； ⑵ 橢圓的參數方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數方程的實質是三角代換.橢圓的參數方程是. 5.橢圓的的內外部 （1）點在橢圓的內部. （2）點在橢圓的外部. 6. 橢圓的切線方程 (1)橢圓上一點處的切線方程是. （2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是. （3）橢圓與直線相切的條件是 (三)雙曲線及其標準方程 1. 雙曲線的定義：平面內與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數2a（小于||）的動點的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a＜||，這一條件可以用“三

5、角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=||，則動點的軌跡是兩條射線；若2a＞||，則無軌跡. 若＜時，動點的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若＞時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”. 2. 雙曲線的標準方程：和（a＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同. 3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上. 4.求雙曲線的標準方程，應

6、注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程后，運用待定系數法求解. (四)雙曲線的簡單幾何性質 1.雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，離心率＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大. 2. 雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數. 3.雙曲線的第二定義：平面內到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于1的常數（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線，它的焦點坐標是（-c，0）和（c，0），與它們對應的準線方程分別是和.雙曲線的焦半徑公式， . 4.雙曲線的內外部 (1)點在雙曲線的

7、內部. (2)點在雙曲線的外部. 5.雙曲線的方程與漸近線方程的關系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程：. (2)若漸近線方程為雙曲線可設為. (3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）. 6. 雙曲線的切線方程 (1)雙曲線上一點處的切線方程是. （2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是. （3）雙曲線與直線相切的條件是. (五)拋物線的標準方程和幾何性質 1．拋物線的定義：平面內到一定點（F）和一條定直線（l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線。 需強調的是，點F不在直線l上，否則軌跡是

8、過點F且與l垂直的直線，而不是拋物線。 2．拋物線的方程有四種類型：、、、. 對于以上四種方程：應注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。 3．拋物線的幾何性質，以標準方程y2=2px為例 （1）范圍：x≥0； （2）對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出； （3）頂點：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因為無中心）； （4）離心率：e=1，由于e是常數，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的； （5）準線方程； （6）焦半徑

9、公式：拋物線上一點P（x1，y1），F為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）： （7）焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式。設過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點F的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的傾斜角為α，則有①|AB|=x+x+p 以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。 （8）直線與拋物線的關系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，當a≠0時，兩者的位置關系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0，則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱

10、軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有一個公共點。 4.拋物線上的動點可設為P或 P，其中 . 5.二次函數的圖象是拋物線：（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為；（3）準線方程是. 6.拋物線的內外部 (1)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部. (2)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部. (3)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部. (4) 點在拋物線的內部.點在拋物線的外部. 7. 拋物線的切線方程 (1)拋物線上一點處的切線方程是. （2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是. （3）拋物線與直線相切的條件是. (六).兩個常見的曲線系方程 (1)過曲線,

11、的交點的曲線系方程是 (為參數). (2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓; 當時,表示雙曲線. (七)直線與圓錐曲線相交的弦長公式或 （弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. (八).圓錐曲線的兩類對稱問題 （1）曲線關于點成中心對稱的曲線是. （2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是 . 四．基本方法和數學思想 1.橢圓焦半徑公式：設P（x0,y0）為橢圓（a>b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則（e為離心率）； 2.雙曲線焦半徑公式：設P（x0,y0）為雙曲線（a>0,b>0）上任一點，焦點為F1(-c,

12、0),F2(c,0),則: （1）當P點在右支上時，； （2）當P點在左支上時，；（e為離心率）； 另：雙曲線（a>0,b>0）的漸進線方程為； 3.拋物線焦半徑公式：設P（x0,y0為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F為焦點，則；y2=2px(p＜0)上任意一點，F為焦點，； 4.涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題； 5.共漸進線的雙曲線標準方程為為參數，≠0）； 6.計算焦點弦長可利用上面的焦半徑公式， 一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長 ,這里體現了解析幾何“設而不求”的解題思想；

13、 7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準距為p=，拋物線的通徑為2p，焦準距為p; 雙曲線（a>0，b>0）的焦點到漸進線的距離為b; 8.中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設為Ax2+Bx2＝1； 9.拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦（過焦點的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結論：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=; 10.過橢圓（a>b>0）左焦點的焦點弦為AB，則，過右焦點的弦； 11.對于y2=2px(p≠0)拋物線上的點的坐標可設為（，y0）,以簡化計算; 12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點

14、相減法，設A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（a>b>0）上不同的兩點，M(x0,y0)是AB的中點，則KABKOM=；對于雙曲線（a>0，b>0），類似可得：KAB.KOM=；對于y2=2px(p≠0)拋物線有KAB＝ 13.求軌跡的常用方法： （1）直接法：直接通過建立x、y之間的關系，構成F(x,y)＝0，是求軌跡的最基本的方法； （2）待定系數法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數，代回所列的方程即可； （3）代入法（相關點法或轉移法）：若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x

15、1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程； （4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程； （5）參數法：當動點P（x,y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程 有關解析幾何的經典結論 一、橢 圓 1. 點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角. 2. PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點

16、弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離. 4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切. 5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是. 6. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是. 7. 橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為. 8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式： 9. ,(,). 10. 設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF. 11. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓

17、交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 12. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則， 13. 即。 14. 若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是. 15. 若在橢圓內，則過Po的弦中點的軌跡方程是. 二、雙曲線 1. 點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內角. 2. PT平分△PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交. 4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相

18、切.（內切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是. 6. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是. 7. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為. 8. 雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(, 9. 當在右支上時，,. 10. 當在左支上時，, 11. 設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF

19、⊥NF. 12. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 13. AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。 14. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被Po所平分的中點弦的方程是. 15. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過Po的弦中點的軌跡方程是. 橢圓與雙曲線的對偶性質--（會推導的經典結論） 橢 圓 1. 橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是. 2. 過橢圓

20、(a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）. 3. 若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則. 4. 設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項. 6. P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立. 7.

21、橢圓與直線有公共點的充要條件是. 8. 已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是. 9. 過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知橢圓（ a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則. 11. 設P點是橢圓（ a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2). 12. 設A、B是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，

22、則有(1).(2).(3). 13. 已知橢圓（ a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF 的中點. 14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直. 15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率). 17. （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.） 18. 橢圓焦三角形

23、中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e. 19. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項. 雙曲線 1. 雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是. 2. 過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）. 3. 若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）. 4. 設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,

24、，則有. 5. 若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項. 6. P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立. 7. 雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是. 8. 已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且. 9. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是. 10. 過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于

25、M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 11. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或. 12. 設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2). 13. 設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1). 14. (2).(3). 15. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF 的中點. 16. 過

26、雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直. 17. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 18. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率). 19. (注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點). 20. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e. 21. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項. 其他常用公式： 1、連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐

27、曲線的弦，利用方程的根與系數關系來計算弦長，常用的弦長公式： 2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。 3、知直線橫截距，常設其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為。 4、兩平行線間的距離為。 5、若直線與直線平行 則 （斜率）且（在軸上截距） （充要條件） 6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。 ?7、圓的參數方程：（為參數），其中圓心為，半徑為。圓的參數方程的主要應用是三角換元：； 8、為直徑端點的圓方程 切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（） 9、弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程. 內容總結 （1）(一)橢圓及其標準方程 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大于||這個條件不可忽視.若這個距離之和小于||，則這樣的點不存在 （2）另：雙曲線（a>0,b>0）的漸進線方程為