高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和課件 理

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1、第三節(jié)等比數(shù)列及其前第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和項和第五章數(shù)第五章數(shù) 列列考考 綱綱 要要 求求1理解等比數(shù)列的概念理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項公式與前掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式項和公式3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.課課 前前 自自 修修知識梳理知識梳理一、等比數(shù)列的定義一、等比數(shù)列的定義一般地，一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的比都是一般地，一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的比都是同一個常數(shù)，即同一個常數(shù)

2、，即 q(nN*)，則這個數(shù)列就叫做等比數(shù)，則這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示表示(q0)二、等比數(shù)列的通項公式二、等比數(shù)列的通項公式若數(shù)列若數(shù)列an為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列，則ana1qn1.1nnaa五、等比數(shù)列五、等比數(shù)列 的主要性質(zhì)的主要性質(zhì)1anamqnm(n，mN*)2對于任意正整數(shù)對于任意正整數(shù)m，n，r，s，只要滿足，只要滿足mnrs，則則amanaras.3對于任意正整數(shù)對于任意正整數(shù)p，r，s，如果，如果pr2s，則，則apar .4對任意正整數(shù)對任意正整數(shù)n1，有，有 an1an1.5對于任

3、意非零實常數(shù)對于任意非零實常數(shù)b，ban也是等比數(shù)列也是等比數(shù)列6若若an，bn是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列，則anbn也是等比數(shù)列也是等比數(shù)列 na2sa2na7等比數(shù)列等比數(shù)列 中，如果中，如果an0，則，則logaan是等差數(shù)是等差數(shù)列列8若數(shù)列若數(shù)列l(wèi)oga an成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則an成等比數(shù)列成等比數(shù)列9若數(shù)列若數(shù)列 是等比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列a2n，a2n1，a3n1，a3n2，a3n等都是等比數(shù)列等都是等比數(shù)列10若數(shù)列若數(shù)列 是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列，則Sm，S2mSm，S3mS2m成等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以(S2mSm)2Sm(S3mS2m) na na

4、 na1(2012北京市西城區(qū)模擬北京市西城區(qū)模擬) 若數(shù)列若數(shù)列an是公比為是公比為4的等的等比數(shù)列，且比數(shù)列，且a12，則數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)og2an是是()A公差為公差為2的等差數(shù)列的等差數(shù)列B公差為公差為lg 2的等差數(shù)列的等差數(shù)列C公比為公比為2的等比數(shù)列的等比數(shù)列D公比為公比為lg 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列答案：答案：A基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測2(2012三明市模擬三明市模擬)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 為公比為公比q1的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，若若a4，a5是方程是方程4x28x30的兩根，則的兩根，則a6a7_. na3(2012遼寧卷遼寧卷)已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且為遞增數(shù)列，且 a10

5、,2(anan2)5an1，則數(shù)列，則數(shù)列an的通項公式的通項公式an _.25a解析：解析： a10，(a1q 4)2a1q 9.a1q.anqn.2(anan2)5an1，2an(1q2)5anq.2(1q2)5q.解得解得q2 ，an2n.答案：答案：2n25a（舍去（舍去q )12考考 點點 探探 究究考點一考點一等比數(shù)列基本量的計算等比數(shù)列基本量的計算【例【例1】(1)已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an中，中，a1a2a37，a1a2a38，求公比，求公比q，首項，首項a1及通項公式及通項公式an.(2)(2011大綱全國卷大綱全國卷)設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，已

6、知，已知a26,6a1a330，求，求an和和Sn.思路點撥：思路點撥：利用等比數(shù)列的基本量的關(guān)系式，根據(jù)條件列利用等比數(shù)列的基本量的關(guān)系式，根據(jù)條件列方程，進而求出方程，進而求出a1和和q.點評：點評：轉(zhuǎn)化成基本量的方程，進而解方程是解決數(shù)列問轉(zhuǎn)化成基本量的方程，進而解方程是解決數(shù)列問題的基本方法題的基本方法變式探究變式探究1(1)(2012南寧市適應(yīng)性測試南寧市適應(yīng)性測試)已知數(shù)列已知數(shù)列an是正項等比是正項等比數(shù)列，若數(shù)列，若a22,2a3a416，則數(shù)列，則數(shù)列an的通項公式的通項公式an()A2n2 B22n C2n1 D2n(2)(2012泉州市四校聯(lián)考泉州市四校聯(lián)考)滿足滿足a1

7、1，log2an+1log2an1(nN*)，它的前，它的前n項和為項和為Sn，則滿足，則滿足Sn1 025的最小的最小n值是值是()A9 B10 C11 D12考點二考點二等比數(shù)列的證明等比數(shù)列的證明( (或判斷或判斷) )【例【例2】(2012贛州市期末改編贛州市期末改編)設(shè)設(shè)Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項項和，對任意的和，對任意的nN*，都有，都有Sn(m1)man(m為常數(shù)，且為常數(shù)，且m0)(1)求證：數(shù)列求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公比的公比qf(m)，數(shù)列，數(shù)列bn滿足滿足b12a1，bnf(bn1)(n2，nN*)，求數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公

8、式的通項公式變式探究變式探究2已知已知a12，點，點(an，an1)在函數(shù)在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，的圖象上，其中其中n1,2,3，.(1)證明：數(shù)列證明：數(shù)列l(wèi)g(1an)是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；(2)設(shè)設(shè)Tn(1a1)(1a2)(1an)，求，求Tn及數(shù)列及數(shù)列an的通的通項；項；(2)解析：解析：由由(1)知知lg(1an)2n1lg(1a1)2n1lg 3lg ，1an ，an 1.Tn(1a1)(1a2)(1an) 31 2 .123n123n123n023223123123n213n2212nan 1，a12，an1 ，Sn1 .又又Tn ，Sn 1.123n231n2231

9、n213n231nT 【例【例3】(2012大連市模擬大連市模擬)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a11，a22，且，且an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)設(shè)設(shè)bnan1an(nN*)，證明：，證明：bn是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式思路點撥：思路點撥：本題主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的本題主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前通項公式及前n項和公式，考查運算能力和推理論證能力及項和公式，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法分類討論的思想方法.(1)證明：證明：由題設(shè)由題設(shè)an1(1q)anqan1(n2)，得，得an1anq(ana

10、n1)，即，即 q(n2)又又b1a2a11，q0，所以，所以bn是首項為是首項為1，公比為，公比為q的等的等比數(shù)列比數(shù)列(2)解析：解析：由由(1)得得an1anqn1(nN*)，于是有，于是有a2a11，a3a2q，1nnbb變式探究變式探究3(2012西安一中期中西安一中期中)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足，滿足，a11，a22，an2 ，nN* .(1)令令bnan1an，證明：，證明：bn是等比數(shù)列是等比數(shù)列(2)求求an的通項公式的通項公式12nnaa(1)證明：證明：b1a2a11，當(dāng)當(dāng)n2時，時，bnan1an an (anan1) bn1，所以所以bn是以是以1為首項，為首項， 為

11、公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列12nnaa121212考點三考點三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用思路點撥：思路點撥：根據(jù)題設(shè)條件，注意利用等比數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)題設(shè)條件，注意利用等比數(shù)列的性質(zhì)“若若mnrs(m，n，r，sN*)，則，則amanaras”，問題迅，問題迅速解決速解決點評：點評：靈活運用等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，尤其是下標(biāo)和性靈活運用等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，尤其是下標(biāo)和性質(zhì)質(zhì)“若若mnrs(m，n，r，sN*)，則，則amanaras”，可以起，可以起到事半功倍的奇效到事半功倍的奇效變式探究變式探究考點四考點四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【例【例5】已知數(shù)列已知數(shù)列a

12、n為等差數(shù)列，公差為等差數(shù)列，公差d0，an的部的部分項組成下列數(shù)列：分項組成下列數(shù)列： ， ， 恰為等比數(shù)列，其中恰為等比數(shù)列，其中k11，k25，k317，求，求k1k2k3kn.思路點撥：思路點撥：運用等差運用等差(比比)數(shù)列的定義分別求得數(shù)列的定義分別求得 ，然后，然后列方程求得列方程求得kn.1ka2kankanka解析：解析：設(shè)設(shè)an的首項為的首項為a1， ， ， 成等比數(shù)列，且成等比數(shù)列，且k11，k25，k317，(a14d)2a1(a116d)，解得解得a12d，q 3. a1(kn1)d， a13n1，kn23n11.k1k2kn2(133n1)n2 n3nn1.1ka2k

13、a3ka21kkaankanka1313n點評：點評：運用等差運用等差(比比)數(shù)列的定義轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列的定義轉(zhuǎn)化為關(guān)于kn的方程是解的方程是解題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化時要注意題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化時要注意akn是等差數(shù)列中的第是等差數(shù)列中的第kn項，也是等項，也是等比數(shù)列中的第比數(shù)列中的第n項項變式探究變式探究5(2012安徽皖南八校聯(lián)考安徽皖南八校聯(lián)考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列列an的前的前n項和為項和為Sn, a13，S339.(1)求數(shù)列求數(shù)列an通項公式；通項公式；(2)若在若在an與與an1之間插入之間插入n個數(shù)，使得這個數(shù)，使得這n2個數(shù)組成一個數(shù)組成一個公差為個公差為dn

14、的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，課時升華課時升華1解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思維方法解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思維方法(1)方程的思想：理解等比數(shù)列的定義與特征方程的思想：理解等比數(shù)列的定義與特征“知三求二知三求二”，即知道即知道an，a1，n，q，Sn這五個量中的任意三個，就可以求出其這五個量中的任意三個，就可以求出其余的兩個余的兩個 (2)分類的思想：分類的思想：運用等比數(shù)列的求和公式時，需要對運用等比數(shù)列的求和公式時，需要對q1和和q1討論；討論；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性討論等比數(shù)列的單調(diào)性利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性討論等比數(shù)列的單調(diào)性(分類討分類討論論)若若an1ana1(q1)qn1，則，則當(dāng)當(dāng)a10

15、，q1或或a10,0q1時，等比數(shù)列時，等比數(shù)列 為遞增數(shù)列；為遞增數(shù)列；當(dāng)當(dāng)a11或或a10,0q1時，等比數(shù)列時，等比數(shù)列 為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列 na na2等比數(shù)列的判定方法：等比數(shù)列的判定方法：(1) q(q是不為是不為0的常數(shù)，的常數(shù)，nN*) 是是等比數(shù)列等比數(shù)列(2)ancqn(c，q均是不為均是不為0的常數(shù)，的常數(shù)，nN*) 是是等比數(shù)列等比數(shù)列3an為等比數(shù)列是為等比數(shù)列是 anan2的充分但不必要條件的充分但不必要條件4若證若證an不是等比數(shù)列，只需證不是等比數(shù)列，只需證 ak1ak1(k為常數(shù)，為常數(shù)，kN，且且k2).1nnaa na na21na2ka感感 悟悟 高高

16、 考考品味高考品味高考1(2012新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷)已知已知an為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則，則a1a10()A7 B5 C5 D7解析：解析：an為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，a5a6a4a78.又又a4a72，a44，a72或或a42，a74.若若a44，a72，解，解得得a18，a101，a1a107；若；若a42，a74，解得，解得a108，a11，仍有，仍有a1a107.綜上選綜上選D.答案：答案：D2(2012陜西卷陜西卷)設(shè)設(shè)an是公比不為是公比不為1的等比數(shù)列，其前的等比數(shù)列，其前n項和為項和為Sn，且，且a5，a3，a4成等差數(shù)列成等差數(shù)列(1)求數(shù)列

17、求數(shù)列an的公比；的公比；(2)證明：對任意證明：對任意kN*，Sk2，Sk，Sk1成等差數(shù)列成等差數(shù)列(1)解析：解析：設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公比為的公比為q(q0且且q1)由由a5，a3，a4成等差數(shù)列，得成等差數(shù)列，得2a3a5a4，即即2a1q2a1q4a1q3.由由a10，q0得得q2q20，解得，解得q12(舍去舍去q21)，所，所以以q2.高考預(yù)測高考預(yù)測1(2012衡陽八中月考衡陽八中月考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an，a1a2a3 5 ，a4a5a6 ，則，則a7a8a9()A10 B2 C8 D.5 222解析：解析：因為因為a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，公比為成等比數(shù)列，公比為 ，所以所以a7a8a9(a1a2a3)q210.故選故選A.答案：答案：A22(2012三明市聯(lián)考三明市聯(lián)考)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和是項和是Sn，且，且2Sn2an. (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式； (2)記記bnann，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項和項和Tn.解析：解析：(1)當(dāng)當(dāng)n1時，時，2S12a1,2a12a1，a1 .當(dāng)當(dāng)n2時，時，2Sn2an,2Sn12an1，兩式相減得兩式相減得2anan1an(n2)，即即3anan1(n2)，又又an10， (n2)231nnaa13