高中數(shù)學(xué) 階段復(fù)習(xí)課 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 新人教A版選修45

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1、階段復(fù)習(xí)課第四講【答案速填【答案速填】_ _整除問題整除問題幾何問題幾何問題貝努利不等式貝努利不等式類型類型 一一 利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的要點(diǎn)分析數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的要點(diǎn)分析數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題. .證明時(shí)，證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可它的兩個(gè)步驟缺一不可. .它的第一步它的第一步( (歸納奠基歸納奠基)n)nn n0 0時(shí)結(jié)論時(shí)結(jié)論成立成立. .第二步第二步( (歸納遞推歸納遞推) )假設(shè)假設(shè)n nk k時(shí)，結(jié)論成立，推得時(shí)，結(jié)論成立，推得n nk+1k+1時(shí)結(jié)論也成立時(shí)結(jié)

2、論也成立. .它可用有限的步驟它可用有限的步驟( (兩步兩步) )證明出無限的命題成證明出無限的命題成立立. .【典例【典例1 1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：【證明【證明】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n1 1時(shí)，時(shí)，左邊左邊右邊右邊左邊右邊，所以等式成立左邊右邊，所以等式成立. .(2)(2)假設(shè)假設(shè)n nk(kNk(kN+ +) )時(shí)等式成立，即有時(shí)等式成立，即有1111n(nN ).2446682n(2n2)4(n1)+ +創(chuàng)+112 1 (2 12)8創(chuàng) ，114(11)8+ ，1111k2446682k(2k2)4(k1)+ +創(chuàng)+，則當(dāng)則當(dāng)n nk+1k+1時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)所以當(dāng)n

3、nk+1k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知，對于一切可知，對于一切nNnN+ +等式都成立等式都成立. .111112446682k(2k2)2(k1) 2(k1)2+ +創(chuàng)+2k14(k1)4(k1)(k2)k(k2)1(k1)4(k1)(k2)4(k1)(k2)k1k1.4(k2)4(k11)+類型類型 二二 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵策略利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵策略應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)分析分析p(kp(k) )

4、與與p(k+1)p(k+1)的差異及聯(lián)系，利用拆、添、并、放等手的差異及聯(lián)系，利用拆、添、并、放等手段，從段，從p(k+1)p(k+1)中分離出中分離出p(kp(k) )，再進(jìn)行局部調(diào)整，也可考慮尋，再進(jìn)行局部調(diào)整，也可考慮尋求二者的結(jié)合點(diǎn)，以便順利過渡，利用歸納假設(shè)，經(jīng)過適當(dāng)求二者的結(jié)合點(diǎn)，以便順利過渡，利用歸納假設(shè)，經(jīng)過適當(dāng)放縮、恒等變形，得到結(jié)論需要的形式放縮、恒等變形，得到結(jié)論需要的形式. .【典例【典例2 2】求證：求證：【證明【證明】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n1 1時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)?所以原不等式成所以原不等式成立立. .(2)(2)假設(shè)假設(shè)n nk(k1k(k1，kNkN+ +) )時(shí)

5、，原不等式成立，即有時(shí)，原不等式成立，即有當(dāng)當(dāng)n nk+1k+1時(shí)，時(shí)，因此，欲證明當(dāng)因此，欲證明當(dāng)n nk+1k+1時(shí)，原不等式成立，時(shí)，原不等式成立，只需證明只需證明 成立成立. .111nnN .1 223n(n1)+ +創(chuàng)+，1111 22，111k1 223k(k1)+ +創(chuàng)+，11111 223k(k1)(k1)(k2)+ +創(chuàng)+1k.(k1)(k2)+1kk1(k1)(k2)+即證明即證明從而轉(zhuǎn)化為證明從而轉(zhuǎn)化為證明也就是證明也就是證明即即從而從而于是當(dāng)于是當(dāng)n nk+1k+1時(shí)，原不等式也成立時(shí)，原不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知，對于任意的正整數(shù)可知，對于任

6、意的正整數(shù)n n，原不等式都成立，原不等式都成立. .1k1k.(k1)(k2)+-+211k1kk3k2+，2k3k2k1k+，22222( k3k2)( k1k)kk12 k(k1) ( k(k1)1)0+-+-+- ，2k3k2k1k.+類型類型 三三 利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的思路與方法利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的思路與方法(1)(1)在使用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，一般說來，第一步驗(yàn)在使用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，一般說來，第一步驗(yàn)證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜. .熟悉歸納步驟的證明

7、方法是十分重要的熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的. .其實(shí)歸納步驟可以看其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問題，歸納假設(shè)作是一個(gè)獨(dú)立的證明問題，歸納假設(shè)“p(kp(k) )成立成立”是問題的是問題的條件，而條件，而“命題命題p(k+1)p(k+1)成立成立”就是所要證明的結(jié)論，因此，就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵. .(2)(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)或式的整除性問題時(shí)，常采取加項(xiàng)、用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)或式的整除性問題時(shí)，常采取加項(xiàng)、減項(xiàng)的配湊法，而配湊的方法很多，關(guān)鍵是湊成減項(xiàng)的配湊法，而配湊的方法很多，關(guān)

8、鍵是湊成n nk k時(shí)假設(shè)時(shí)假設(shè)的形式的形式. .【典例【典例3 3】證明證明n n為正奇數(shù)時(shí)為正奇數(shù)時(shí),x,xn n+y+yn n能被能被x+yx+y整除整除. .【證明【證明】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),x,xn n+y+yn n=x+y=x+y, ,它能被它能被x+yx+y整除整除, ,所以所以n=1n=1時(shí)命時(shí)命題成立題成立. .(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(kn=k(k為正奇數(shù)為正奇數(shù),k1),k1)時(shí)時(shí), ,命題成立命題成立, ,即即x xk k+y+yk k能被能被x+yx+y整除整除. .當(dāng)當(dāng)n=k+2n=k+2時(shí)時(shí), ,x xk+2k+2+y+yk+2k+2=x=x2

9、 2x xk k+y+y2 2y yk k=x=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+y2 2y yk k-x-x2 2y yk k=x=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y(y2 2-x-x2 2)=x)=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y+x)(y-x).(y+x)(y-x).由歸納假設(shè)知由歸納假設(shè)知,x,xk k+y+yk k能被能被x+yx+y整除整除,(y+x)(y-x,(y+x)(y-x) )也能被也能被x+yx+y整除整除. .所以所以x x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y+x)(y-x)(y+x)(y

10、-x)能被能被x+yx+y整除整除. .即即x xk+2k+2+y+yk+2k+2也能被也能被x+yx+y整除整除. .故對故對n=k+2n=k+2時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立. .由由(1)(2)(1)(2)知命題對一切正奇數(shù)都成立知命題對一切正奇數(shù)都成立. .類型類型 四四 數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的綜合應(yīng)用運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的注意事項(xiàng)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的注意事項(xiàng)(1)(1)對項(xiàng)數(shù)要估算正確，特別是尋找對項(xiàng)數(shù)要估算正確，特別是尋找n nk k與與n nk+1k+1的關(guān)系時(shí)，的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化容易被弄錯(cuò)項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化容易被弄錯(cuò). .(2)(2)必須利用歸納假設(shè)必須利用歸納

11、假設(shè). .(3)(3)關(guān)鍵步驟要清晰明了，關(guān)鍵步驟要清晰明了，“假設(shè)假設(shè)n nk k時(shí)結(jié)論成立，利用此假時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明設(shè)證明n nk+1k+1時(shí)結(jié)論也成立時(shí)結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性性. .【典例【典例4 4】已知正項(xiàng)數(shù)列已知正項(xiàng)數(shù)列aan n 滿足滿足(1)(1)求求a a1 1，a a2 2，a a3 3并推測并推測a an n. .(2)(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. .【解析【解析】(1)(1)由由 知知當(dāng)當(dāng)

12、n2n2時(shí)，時(shí)，所以所以整理得整理得：nnn11S(a).2a+nnn11S(a)2a+n 1n 1n 111S(a),2a-+nnn1nn11111a(a)(a).2a2a-+-+nn 1nn 111a(a),aa-+由由 即即又又a a1 100，所以，所以a a1 11.1. 即即所以所以即即所以所以可推測可推測11111S(a)2a+，111aa，221a2a-，222a2a1 2.+ 2331a21 a2 2a-，233a2 2a2 3,+3a32-，nann1(nN ).+-(2)(2)由由(1)(1)知知a a1 11 1，滿足，滿足故當(dāng)故當(dāng)n n1 1時(shí)，時(shí)， 成立成立. .假

13、設(shè)假設(shè)n nk k時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)n nk+1k+1時(shí)，時(shí)，即即所以所以即當(dāng)即當(dāng)n nk+1k+1時(shí)，時(shí)，由由知數(shù)列知數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為1a111 1-，nann1-kakk1,-k 1k 11a2 k,a+-2k 1k 1a2 kakk1+，k 1ak1k,+-nann1.-nann1 nN .+-，【跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練】1.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于任意對于任意x0 x0的正整數(shù)的正整數(shù)n n，都有，都有x xn n+x+xn-2 n-2 +x+xn-4n-4+ n+1”+ n+1”時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值的最小正整數(shù)值n

14、 n0 0應(yīng)為應(yīng)為( )( )A.nA.n0 01 B.n1 B.n0 02 2C.nC.n0 01,2 D.1,2 D.以上答案均不正確以上答案均不正確【解析【解析】選選A.nNA.nN+ +，n n的最小值為的最小值為n n0 01.1.n 4n 2n111xxx-+2.2.某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n nk k時(shí)，該命題不成立，時(shí)，該命題不成立，那么可推得那么可推得n nk+1k+1時(shí)命題也不成立，現(xiàn)在當(dāng)時(shí)命題也不成立，現(xiàn)在當(dāng)n n5 5時(shí)，該命題時(shí)，該命題成立，那么可推得成立，那么可推得( )( )A.A.當(dāng)當(dāng)n n6 6時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 B.

15、B.當(dāng)當(dāng)n n6 6時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立C.C.當(dāng)當(dāng)n n4 4時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 D.D.當(dāng)當(dāng)n n4 4時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立【解析【解析】選選D.D.依題意當(dāng)依題意當(dāng)n n4 4時(shí)該命題不成立，則當(dāng)時(shí)該命題不成立，則當(dāng)n n5 5時(shí)，時(shí)，該命題也不成立該命題也不成立. .而當(dāng)而當(dāng)n n5 5時(shí)，該命題成立卻無法判斷時(shí)，該命題成立卻無法判斷n n6 6時(shí)時(shí)該命題成立不成立，故選該命題成立不成立，故選D.D.3.3.設(shè)設(shè)0 0a a1 1，定義，定義a a1 11+a1+a，求證：對一切求證：對一切nNnN+ +，均有，均有【證明【證明】用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法. .(1)(

16、1)當(dāng)當(dāng)n n1 1時(shí)，時(shí)，a a1 11 1，又又 顯然成立顯然成立. .(2)(2)假設(shè)假設(shè)n nk(k1k(k1，kNkN+ +) )時(shí)，時(shí)，n 1n1aaa+，n11a.1a- 11a1a1a+-，k11a.1a- 當(dāng)當(dāng)n nk+1k+1時(shí)，由遞推公式，知時(shí)，由遞推公式，知同時(shí)，同時(shí)，故當(dāng)故當(dāng)n nk+1k+1時(shí)，有時(shí)，有綜合綜合(1)(2)(1)(2)可知，對一切正整數(shù)可知，對一切正整數(shù)n n，均有，均有k 1k1aa(1a)a 1a+-+，2k 1k11a1aa 1aa1a1a+-+-，k 111a.1a+-n11a.1a- 4.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：A An n

17、=5=5n n+23+23n-1n-1+1(nN+1(nN+ +) )能被能被8 8整除整除. .【證明【證明】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，A A1 1=5+2+1=8=5+2+1=8，命題顯然成立，命題顯然成立. .(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k1n=k(k1，kNkN+ +) )時(shí)，時(shí)，A Ak k能被能被8 8整除，即整除，即A Ak k=5=5k k+2+23 3k-1k-1+1+1是是8 8的倍數(shù)的倍數(shù), ,那么當(dāng)那么當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，時(shí)，A Ak+1k+1=5=5k+1k+1+2+23 3k k+1=5(5+1=5(5k k+2+23 3k-1k-1+1)-4(

18、3+1)-4(3k-1k-1+1)=5A+1)=5Ak k-4(3-4(3k-1k-1+1).+1).因?yàn)橐驗(yàn)锳 Ak k是是8 8的倍數(shù)，的倍數(shù)，3 3k-1k-1+1+1是偶數(shù)，即是偶數(shù)，即4(34(3k-1k-1+1)+1)也是也是8 8的倍數(shù)，的倍數(shù)，所以所以A Ak+1k+1也是也是8 8的倍數(shù)，的倍數(shù)，即當(dāng)即當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，命題成立時(shí)，命題成立. .由由(1)(2)(1)(2)知對一切正整數(shù)知對一切正整數(shù)n,An,An n能被能被8 8整除整除. .5.5.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，對一切，對一切nNnN+ +，點(diǎn)，點(diǎn) 都在函都在函數(shù)

19、數(shù) 的圖象上的圖象上. .(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2,a,a3 3的值的值. .(2)(2)猜想猜想a an n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. .nS(n,)nnaf(x)x2x=+【解析【解析】(1)(1)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) 在函數(shù)在函數(shù) 的圖象上，的圖象上，故故 所以所以令令n=1n=1，得，得 所以所以a a1 1=2=2；令令n=2n=2，得，得 所以所以a a2 2=4=4；令令n=3n=3，得，得 所以所以a a3 3=6. =6. (2)(2)由上面的計(jì)算猜想：由上面的計(jì)算猜想：a an n=2n.=2n.nS(n,)nnaf(x)x2x=+

20、nnSann2n=+，2nn1Sna .2=+111a1a ,2=+1221aa4a ,2+=+12331aaa9a ,2+=+用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，由上面的求解知，猜想成立時(shí)，由上面的求解知，猜想成立. .假設(shè)假設(shè)n=k(k1)n=k(k1)時(shí)猜想成立，即時(shí)猜想成立，即a ak k=2k=2k成立，成立，則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，時(shí)，注意到注意到故故兩式相減，得兩式相減，得所以所以a ak+1k+1=4k+2-a=4k+2-ak k. .2nn1Sna (nN )2+=+，22k 1k 1kk11S(k1)a,Ska .22+=+=+k 1k 1k11a2k1aa22+=+-，由歸納假設(shè)得，由歸納假設(shè)得，a ak k=2k,=2k,故故a ak+1k+1=4k+2-a=4k+2-ak k=4k+2-2k=2(k+1).=4k+2-2k=2(k+1).這說明這說明n=k+1n=k+1時(shí)，猜想也成立時(shí)，猜想也成立. .由由知，對一切知，對一切nNnN+ +，a an n=2n=2n成立成立. .