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1、22110064xy22226620.1.xyxy 方程化簡的結(jié)是果226,06,020110064xy該方程表示的幾何意義是到定點，的距離之和為的點的軌跡結(jié)合橢圓的定義可知化簡結(jié)果析：為解28yx2240.2yxyxM與 軸相切，且與圓相外切的動圓圓心的軌跡方程是222242,028 .xyMxyx 圓方程為，則動圓圓心到的距離等于它到定直線的距離，故所求軌跡方程是解析：224412521xy223.1251,0.xyCAQAQCQMM設(shè)圓的圓心為 ，是圓內(nèi)一定點， 為圓周上一動點，線段的垂直平分線與交于，則點的軌跡方程為222225525211.24441.2521CQMCMQMCMAAC
2、MCAacbacMxy依題意得，且，故點的軌跡是以 、 為焦點的橢圓，則，故點的軌跡方程為解析：2214xy 224.4.xyPxPQPQM過圓上任意一點 向 軸作垂線段，則線段的中點的軌跡方程是111,1111221122221122()()0.22()4444.1.4M xyP xyQ xxxxxyyyyP xyxyxyxyxMy設(shè)， ，則，、由中點坐標公式得，即又點，在圓上，則，即所以的軌方程是：跡解析221394xyx221212121 122195.4.xyAAPPA AAPA PM設(shè) 、是橢圓的長軸兩個端點， 、是橢圓的垂直于的弦的端點，則直線與的交點的軌跡方程為120000022
3、20002001 100220222202022()() ()341.94993333499991394MPPxyxyxyxxyyxyAPyxxyA Pyxxyyxxxxyx 如圖，設(shè)點、 、 的坐標分別為 ， 、，、 ，則，即直線的方程為直線的方程為得，整理得解析：定義法求軌跡方程定義法求軌跡方程 已知 F1:(x+3)2+y2=1， F2:(x -3)2 +y2=9, 動圓P與 F1， F2均外切，求圓心P的軌跡方程.【例1】解析：設(shè) P的半徑為r.則由題意有 ， 所以|PF2| - |PF1|= 2 |F1F2|. 由雙曲線的定義知，點 P 的軌跡是以F1 , F2 為焦點，實軸長為2的
4、雙曲線的左支. 設(shè)雙曲線的方程為 ，1213PFrPFr 22221xyab 則 ，所以 . 故點P的軌跡方程為 (x-1).222223acabc 18ab 2218yx 在求動點 P 的軌跡方程時，有時可以先根據(jù)題中的幾何條件，判斷出軌跡的形狀及位置，再運用待定系數(shù)法求方程的特征量，從而求出軌跡方程，這種方法稱為定義法.本題在得出 |PF2|-|PF1| =2 3時, 方程可化為 ,化簡得 y2= -12(x -4). 故點P的軌跡方程為22(1)34xyx 22(1)34xyx 22(1)34xyx 2412(4)xyx (03)(34)xx 【解析】 如圖所示，已知P(4 , 0)是圓
5、x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上 兩 動 點 ， 且 滿 足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.相關(guān)點法求軌跡方程相關(guān)點法求軌跡方程【例3】2222222222222()Rt.Rt3644364100.APBQABRxyABPARPRRABOARARAOORxyPRxyxyxyxyx VV設(shè)矩形的對角線的中點為 ，其坐標為 ， ， 則在中，又因為 是弦的中點，依垂徑定理，在中，又，所以有，即解析：111111222222()()40224100404()()410022256RRQQ xyR xyRPQxyxyxyxxyxxy因此，點 在一個圓上，而當 在此圓上運動時， 點即
6、在所求的軌跡上運動 設(shè)， ， 因為 是的中點， 所以， 代入方程， 得， 整理得，這就是所求的軌跡方程 本題主要考查利用“相關(guān)點代入法”求軌跡方程的能力.在此題中，欲求點Q的軌跡方程，應(yīng)先求點R的軌跡方程，若沒有發(fā)現(xiàn)這個解題的實質(zhì)，就會陷入僵局.由此可見，對某些比較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程. 2304,23Ml xyAPAMAPPMP 為直線 ：上的一動點，為一定點，又點 在直線上運動，且，求動點 的軌跡方程00000000()()43441333,23423132308430.P xyM xyx
7、xxxAPPMyyyyxyxy 設(shè)， ，因為所以又，代入化簡得【解析】3【變式練習 】 1.已知橢圓的焦點是F1、F2, P是橢圓上的一個動點，如果延長 F1P 到點Q，使得|PQ|=|PF2|, 那么動點Q的軌跡是 .圓解析：因為|PF1|+|PF2|=2a, |PQ|=|PF2|, 所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a, 所以動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓. 2.已知點M(-3 , 0)、N(3 , 0)、B(1 , 0),圓C與直線MN切于點B，分別過M、N且與圓C相切的兩直線相交于點P，則P點的軌跡 方程為 .221(0)8
8、yxx 3.分別過A1(-1 , 0) , A2(1 , 0) 作兩條互相垂直的直線，則它們的交點M的軌跡方程是 .x2+y2=1解析：設(shè)M(x , y).因為MA1MA2，所以MA1 MA2=0,即(x+1 , y) (x -1 , y)=0，得x2+y2=1. 4.已知圓C:(x -1)2+y2=1，過原點O作圓C的任意一條弦，求弦的中點的軌跡方程.22221 () ( , ) 0,(1, )( , )011)(01)242 ()90( 0)11()(01)24OQOP x yCPOQCP OQxyx yxyxOPCPMOCxyx方法 ： 直接法設(shè)為過 的任意一條弦，是其中點，則，故所以，
9、 即( 方法 ： 定義法因為，動點 在以，為圓心，為直徑的圓上， 所以所求點的軌跡解方程為析：uur uuu r 222211221222223 ().120. *11()()()1.211*11()(01)24PQykxykxkxxxyP xyQ xyPQxyxxkxykxkkkxyx 方法 ： 參數(shù)法設(shè)動弦的方程為 由，得 設(shè)，線段的中點的坐標為 ， ， 則，將以上兩式代入消去 得所求點的軌跡方程為 5.如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2 =4. 過動點 P 分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN (M、N分別為切點)，使得|PM|=2|PN|.試建立適當?shù)淖鴺讼?，求動點的軌跡方程.
10、 解析：以線段O1O2的中點O為原點，線段O1O2所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則O1(-2 , 0) , O2(2 , 0). 由已知|PM|= |PN|，得|PM|2=2|PN|2.因為兩圓的半徑均為1，所以|PO1|2 -1=2(|PO2|2 -1).2 設(shè)P(x , y)，則(x+2)2+y2 -1=2(x -2)2 +y2 -1, 即(x -6)2+y2=33. 所以動點P的軌跡方程為(x -6)2+y2=33(或x2+y2 -12x+3=0). 1求曲線方程時應(yīng)注意的問題在求曲線方程時經(jīng)常出現(xiàn)的問題是產(chǎn)生多解或漏解現(xiàn)象，為此，解題時應(yīng)注意以下三點： 注意動點應(yīng)
11、滿足的某些隱含條件； 注意方程變形是否同解； 注意圖形可能的不同位置或字母系數(shù)取不同值時的討論 2. 曲線”與“方程”是點的軌跡的兩種表現(xiàn)形式，“曲線”是軌跡的幾何形式，反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形；“方程”是軌跡的代數(shù)形式，反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系在具體解題操作時要將二者結(jié)合起來，這就是“數(shù)形結(jié)合”的方法 3.定義法求軌跡方程，就是在思維的初期，先不用設(shè)點的坐標，而直接找動點所滿足的幾何性質(zhì).所以利用定義法求軌跡問題時，往往應(yīng)該先考慮動點滿足的距離關(guān)系，判斷它是否滿足五種曲線的定義，從而使問題快速解答.應(yīng)用定義法時要特別重視用圓錐曲線的定義判斷所求軌跡的類型、位置和形狀，可借助圓錐曲線的標準方程，最大限度地減少直接法中化簡和整理方程的運算量. 4.代入法中，動點M(x , y)的坐標取決于已知曲線C上的點(x, y)的坐標，可先用 x , y 來表示 x，y，再代入曲線C的方程，即得點M的軌跡方程.
高考數(shù)學一輪復(fù)習 第9章 第55講 曲線與方程課件 理
