高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)《第三十四講 基本不等式及其應(yīng)用》課件 新人教版

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1、第三十四講第三十四講 基本不等式及其應(yīng)用基本不等式及其應(yīng)用回歸課本回歸課本1.1.算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)如果如果a,bRa,bR+ +, ,那么那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù). .2.2.幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)如果如果a,bRa,bR+ +, ,那么那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù). .2abab3.3.重要不等式重要不等式如果如果a,bRa,bR, ,則則a a2 2+b+b2 22ab2ab( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)時(shí), ,取取“=”);=”);均值定理均值定理: :如果如果a,bRa,bR+ +, ,那么那么 ( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且

2、僅當(dāng)a=ba=b時(shí)時(shí), ,取取“=”).=”).均值定理可以敘述為均值定理可以敘述為: :兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)它們的幾何平均數(shù). .2abab22222222(1);(2);(3)2(0);22(4)4.a;(5)2()b.22.ababbaabababababababab變式形式上述不等式中等號(hào)成立的充要條為件均5.5.已知已知x x、y y都是正數(shù)都是正數(shù), ,則則(1)(1)若若x+yx+y=S(=S(和為定值和為定值),),則當(dāng)則當(dāng)x=yx=y時(shí)時(shí), ,積積xyxy取最大值取最大值(2)(2)若若xyxy=P(=P(積為定值積

3、為定值),),則當(dāng)則當(dāng)x=yx=y時(shí)時(shí), ,和和x+yx+y取得最小值取得最小值即兩個(gè)正數(shù)的和為定值即兩個(gè)正數(shù)的和為定值, ,則可求其積的最大值則可求其積的最大值; ;積為定值積為定值, ,則則可求其和的最小值可求其和的最小值. .應(yīng)用此結(jié)論要注意三個(gè)條件應(yīng)用此結(jié)論要注意三個(gè)條件;“;“一正二一正二定三相等定三相等”, ,即即: :各項(xiàng)或各因式為正各項(xiàng)或各因式為正; ;和或積為定值和或積為定值; ;各項(xiàng)或各因式都各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值能取得相等的值. .21.4S2.P考點(diǎn)陪練考點(diǎn)陪練1.1.函數(shù)函數(shù)y=logy=log2 2x+logx+logx x2 2的值域是的值域是( )( )A

4、.(-,-2A.(-,-2B.2,+)B.2,+)C.-2,2C.-2,2D.(-,-22,+)D.(-,-22,+)答案答案:D:D2.2.已知已知x+3y=2,x+3y=2,則則3 3x x+27+27y y的最小值為的最小值為( )( )答案答案:A:A3.6.3 9.2 2.4ABCD2223.:a12a;2;2;1.()A.0B.1C.2111D.3abxxabxx 給出下列各式 其中正確的個(gè)數(shù)是答案答案:C:C224.0a1,0b1,ab,.(.).2.2AabB abC abDab設(shè)且下列各式中值最大的是答案答案:B:B2222.2.2112.5.a0,b0,(.2)abAB a

5、babbabaCabDababab設(shè)下列不等式中不成立的是3322222:A,B,Caba bababab0abab0,C.Da0,0,2b12.babab aababa b解析 由且得所以 成立顯然成立可變形為所以 成立中令時(shí)不成立答案答案:D:D類型一類型一證明不等式證明不等式解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備: :證明不等式是均值不等式的一個(gè)基本應(yīng)用證明不等式是均值不等式的一個(gè)基本應(yīng)用, ,注意注意分析不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征分析不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征, ,通過拆通過拆( (添添) )項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用均值不等式的條件個(gè)應(yīng)用均值不等式的條件. .在解決本類問題時(shí)注意以下幾在解決本類問題時(shí)注意以下

6、幾點(diǎn)點(diǎn):(1):(1)均值不等式成立的前提條件均值不等式成立的前提條件;(2);(2)通過加減項(xiàng)的方法通過加減項(xiàng)的方法配湊成算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的形式配湊成算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的形式;(3);(3)注意注意“1”1”的的代換代換;(4);(4)靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)用用. .【典例典例1 1】證明證明:a:a4 4+b+b4 4+c+c4 4aa2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2abc(a+b+c).abc(a+b+c). 分析分析 利用利用a a2 2+b+b2 22ab(a,bR)2ab(

7、a,bR)求證即可求證即可. . 證明證明aa4 4+b+b4 42a2a2 2b b2 2,b,b4 4+c+c4 42b2b2 2c c2 2, ,c c4 4+a+a4 42c2c2 2a a2 2, ,2(a2(a4 4+b+b4 4+c+c4 4)2(a)2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2),),即即a a4 4+b+b4 4+c+c4 4aa2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2, ,又又a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 22ab2ab2 2c,bc,b2 2c c2 2+c+c2 2a a2

8、22abc2abc2 2, ,c c2 2a a2 2+a+a2 2b b2 22a2a2 2bc,bc,2(a2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2)2(ab)2(ab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc),bc),即即a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2abab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc=bc=abc(a+b+cabc(a+b+c).).即原命題可得證即原命題可得證. .224422222222222,.ab2ab(a,bR),(a,b).,:ab2a b ,a bb c2

9、abbc ,ab2ab,a,bR;22.,2abababababab反思感悟 證明不等式時(shí) 可依據(jù)求證式兩端的式子結(jié)構(gòu)合理選擇基本不等式及其變形不等式來證如可變形為正實(shí)數(shù) 可變形為等同時(shí)要從整體上把握基本不等式 如都是對(duì)“”的靈活運(yùn)用本題先局部運(yùn)用重要不等式,(),.然后用不等式的性質(zhì) 通過不等式相加 有時(shí)相乘 綜合推出要求證的不等式 這種證明方法在證明這類輪換對(duì)稱不等式時(shí)具有一定的普遍性類型二類型二 求最值求最值解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:1.:1.利用基本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最利用基本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最值值. .2.2.應(yīng)用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等應(yīng)用重要

10、不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式式, ,主要有主要有: : 2222221a,b0,2x(0,),x(,0),xy);(ab);4 abcabacb2.1122112;2(3c(ab).2cababababxxxxabab 如果則若則 若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 2:1a0,b0,4ab1,ab;2x2,;3x0,y0,xy142,4.9xxxy【典例 】解下列問題已知且求的最大值已知求的最小值已知且求的最小值 142 44,1114,282111,.4161611 4142,442161114,28 1: a0,b0,4ab1,.ab: a0,b0,4ab

11、1,21.1,6.ababababababababababa babab解解法一當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí) 等號(hào)成立所以的最大值為解法二當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí) 等號(hào)成立所以的最大值為 444222 (2)262x2,x20,22242,24,x4.2,6xxxxxxxxxx當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí) 等號(hào)成立所以的最小值為 49494949()1313225,21,4953x0,y0,xy1,49,3,523,.25.5549yxyxxyxyxyxyxyxyxyxyxxyyxyxyxy當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 由得當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以的最小為值 1,.2,1.1, 2, 31.3xy2,11,249492?.xyxyxyxy反思感悟求最值時(shí)

12、要注意“一正 二定 三相等”一定要明確什么時(shí)候等號(hào)成立學(xué)好基本不等式 關(guān)鍵是靈活應(yīng)用 添常數(shù)、配系數(shù)、“”的代換是常用到的方法在本例中解法二采用了配系數(shù)中采用了添常數(shù)中利用了“”的代換如果中若則如何用“”的代換 顯然故類型三類型三利用均值不等式解應(yīng)用題利用均值不等式解應(yīng)用題解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備: :均值不等式作為求最值的常用工具均值不等式作為求最值的常用工具, ,經(jīng)常在有關(guān)經(jīng)常在有關(guān)最優(yōu)解的實(shí)際問題中應(yīng)用最優(yōu)解的實(shí)際問題中應(yīng)用. .應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題的基本步驟是的基本步驟是: :仔細(xì)閱讀題目仔細(xì)閱讀題目, ,透徹理解題意透徹理解題意; ;分析實(shí)分析實(shí)際問題中的數(shù)量

13、關(guān)系際問題中的數(shù)量關(guān)系, ,引入未知數(shù)引入未知數(shù), ,并用它表示其它的變量并用它表示其它的變量, ,把要求最值的變量設(shè)為函數(shù)把要求最值的變量設(shè)為函數(shù); ;應(yīng)用均值不等式求出函數(shù)應(yīng)用均值不等式求出函數(shù)的最值的最值; ;還原實(shí)際問題還原實(shí)際問題, ,作出解答作出解答. .【典例典例3 3】某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m200 m2 2的的三級(jí)污水處理池三級(jí)污水處理池( (平面圖如圖所示平面圖如圖所示).).如果池四周圍墻建造如果池四周圍墻建造單價(jià)為單價(jià)為400400元元/m,/m,中間兩道隔墻建造單價(jià)為中間兩道隔墻建造單價(jià)為248248元元/m,/m

14、,池底建池底建造單價(jià)為造單價(jià)為8080元元/m/m2 2, ,水池所有墻的厚度忽略不計(jì)水池所有墻的厚度忽略不計(jì). .(1)(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬, ,使總造價(jià)最低使總造價(jià)最低, ,并求出最低并求出最低總造價(jià)總造價(jià); ;(2)(2)若由于地形限制若由于地形限制, ,該池的長(zhǎng)和寬都不能超過該池的長(zhǎng)和寬都不能超過16 m,16 m,試設(shè)計(jì)試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬污水池的長(zhǎng)和寬, ,使總造價(jià)最低使總造價(jià)最低, ,并求出最低總造價(jià)并求出最低總造價(jià). .200,200200(1)24002 40024xm,y, 2 800 18 1600044808 280 200800259

15、20025920010,x18m,y6000 2 80016000259200800,.1819,00m,4mxyxxxxxxxxxm 解 設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為則寬為再設(shè)總造價(jià)為元 則有當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值當(dāng)污水池的長(zhǎng)為寬為時(shí)總造價(jià)最低 為 4800.元 20 x16,016,12.5x16,x18,12.5,16200,.( )32480016000(12.516).1,xyxxxx 不能用基本不等式 但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義證明上述目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù) 從而利用單調(diào)性求得最小值由知 1212121212121212xx12.5,16 ,xx ,xxxx,yx12.5,16.x16450

16、00,16m,11800 ( 12)324800()(32412.5m,450)00.0.xxxxxxx xx x對(duì)任意 、設(shè)則故在上為減函數(shù)從而有當(dāng)污水池的長(zhǎng)度為寬為時(shí)有最低總造價(jià) 最低總造價(jià)為元 反思感悟反思感悟 不等式應(yīng)用的特點(diǎn)是不等式應(yīng)用的特點(diǎn)是:(1):(1)問題的背景是人們關(guān)問題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問題心的社會(huì)熱點(diǎn)問題, ,如如“物價(jià)物價(jià) 稅收稅收 銷售銷售 市場(chǎng)信息市場(chǎng)信息”等等, ,題目往往篇幅較長(zhǎng)題目往往篇幅較長(zhǎng).(2).(2)建立函數(shù)模型常見的有建立函數(shù)模型常見的有“正正( (反反) )比例函數(shù)比例函數(shù) 一次函數(shù)一次函數(shù) 二次函數(shù)二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)

17、數(shù)函數(shù) 三角函數(shù)三角函數(shù), ,以及以及 ”等形式等形式. .解函數(shù)應(yīng)用解函數(shù)應(yīng)用題中的最值問題一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式來題中的最值問題一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式來解決解決. .(0,0)byaxabx錯(cuò)源一錯(cuò)源一 忽視等號(hào)成立的條件忽視等號(hào)成立的條件1x,yxy1,_.11zxyxy【典例 】已知兩正數(shù)滿足則的最小值為221114,22222222( 21),:a0,2,z4.:2( 21).zaazxyxyx yxyzxyxyxyxyxy錯(cuò)解 錯(cuò)解一 因?yàn)閷?duì)恒有從而所以 的最小值是錯(cuò)解二所以 的最小值是 剖析剖析解法一和解法二的錯(cuò)誤原因是等號(hào)同時(shí)成立的條件不解法一和解法二的

18、錯(cuò)誤原因是等號(hào)同時(shí)成立的條件不具備具備,因此使用基本不等式一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件因此使用基本不等式一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,只只有等號(hào)成立時(shí)有等號(hào)成立時(shí),所求出的最值才是正確的所求出的最值才是正確的.21111()222,zxyxyyxxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy正解21,2421( )0,41233( ),44125.2txy,0txy,z4xyf ttttf tttxy 令則由在上單調(diào)遞減故當(dāng)時(shí)有最小值所以當(dāng)時(shí) 有最小值542答案錯(cuò)源二錯(cuò)源二 忽視均值不等式應(yīng)用條件致誤忽視均值不等式應(yīng)用條件致誤2_1(11.)yxxx【典例 】函數(shù)的值域是2111111 2 (1,)13,a

19、b,:,1y.13ababyxxxxxx 剖析 應(yīng)用均值不等式時(shí) 易忽視 、 同為非負(fù)數(shù)這一條件而出錯(cuò) 如本題易出現(xiàn) 由得出這一錯(cuò)誤結(jié)果 11111 2 (1)13,11111,111111 2 (1)11,11111,x1,x2;x1,y1,x0., 13,.1yxxxxxxxxyxxxxxxxx 正解 當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)即 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立原函數(shù)的值域?yàn)?答案答案(-,-13,+) (-,-13,+) 2ab2,a,bR ()2( ,0a,b),abab,.),.abababbyaxa bxbaxx評(píng)析 利用均值不等式以及變式等求函數(shù)的最值時(shí) 務(wù)必注意或非負(fù) 積或其中之一應(yīng)定

20、值 特別要注意等號(hào)成立的條件本題中的函數(shù)是形如的特殊情況 在應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時(shí) 一定要注意的符號(hào) 必要時(shí)要進(jìn)行分類討論技法一技法一 快速解題快速解題( (三角換元三角換元) )【典例典例1 1】已知已知a a、b b、c c、dR,xdR,x、yRyR+ +, ,且且x x2 2=a=a2 2+b+b2 2,y,y2 2=c=c2 2+d+d2 2. .求證求證: :xyac+bdxyac+bd. . 快解快解 聯(lián)想到圓的參數(shù)方程聯(lián)想到圓的參數(shù)方程, ,設(shè)設(shè)a=a=xcos,bxcos,b= =xsin,cxsin,c= =ycos,dycos,d= =ysinysin, ,則則ac+

21、bdac+bd= =xycoscos+xysinsinxycoscos+xysinsin= =xycos(-)xyxycos(-)xy. . 另解切入點(diǎn)另解切入點(diǎn) 有有a a2 2+b+b2 2、c c2 2+d+d2 2的形式出現(xiàn)的形式出現(xiàn), ,就可以用就可以用a a2 2+b+b2 22ab.2ab.由于由于a a、b b、c c、dRdR, ,故故ac+bdac+bd可能為正可能為正, ,也可也可能為負(fù)能為負(fù). .當(dāng)當(dāng)ac+bdac+bd000的的情況情況. . 證明證明 證法一證法一: :當(dāng)當(dāng)ac+bdac+bd00時(shí)時(shí), ,顯然有顯然有xyac+bdxyac+bd成立成立. .當(dāng)當(dāng)a

22、c+bd0ac+bd0時(shí)時(shí), ,x x2 2y y2 2=(a=(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)=a)=a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+a+a2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2aa2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+2abcd=+2abcd=(ac+bd)(ac+bd)2 2, ,即即xyac+bdxyac+bd. .證法二證法二: :當(dāng)當(dāng)ac+bdac+bd000、-1cos(-)1-1cos(-)1就就行了行了. . 得分主要步驟得分主要步驟 本題證明步驟簡(jiǎn)單本題證明步驟簡(jiǎn)單, ,但需考慮但需考慮ac+bdac+bd或正或或正或

23、負(fù)的兩種情況負(fù)的兩種情況. .若若ac+bdac+bd0,0,則則(ac+bd)(ac+bd)2 2與與x x2 2y y2 2的大小不能確的大小不能確定定, ,證題時(shí)需注意此處證題時(shí)需注意此處. . 易丟分原因易丟分原因 沒有考慮到?jīng)]有考慮到ac+bd0ac+bd0還是還是ac+bcac+bc0.0.技法二技法二 如何解決含有多個(gè)變量的條件最值問題如何解決含有多個(gè)變量的條件最值問題求解含有多個(gè)變量的條件最值問題求解含有多個(gè)變量的條件最值問題, ,一般方法是利用給出的一般方法是利用給出的條件條件, ,通過代換減少變量的個(gè)數(shù)通過代換減少變量的個(gè)數(shù), ,將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)

24、變量的函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決變量的函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決. .如果條件等式中含有兩如果條件等式中含有兩個(gè)變量的和與積的形式個(gè)變量的和與積的形式, ,可以直接利用均值不等式對(duì)兩個(gè)可以直接利用均值不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化, ,然后通過解不等式進(jìn)行求解然后通過解不等式進(jìn)行求解, ,或者或者通過構(gòu)造一元二次方程通過構(gòu)造一元二次方程, ,根據(jù)已知變量的取值范圍根據(jù)已知變量的取值范圍, ,利用根利用根的分布解決問題的分布解決問題. . 2a,b_113.(1)_; 2 ab_.abab【典例 】已知正數(shù)滿足的取值范圍為的取值范圍為113,311.3113(1)313131112

25、124332,331333133112ab3,3313443ab,a0,.,.33b0,abababaaaabaaaaaaaaaaa解析由得所以并且由可得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào) 所以的取值范圍是故填211113399(2)31311111112993931393191112492,39319911129,3931344,.,9,b.a9aaaaabaaaaaaaaaaaa當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào) 所以的取值范圍是故填44(1),(2),39答案 方法與技巧方法與技巧 本題是一道條件下求代數(shù)式的最值的問題本題是一道條件下求代數(shù)式的最值的問題. .解題思路是利用給出的條件解題思路是利用給出的條件, ,用用a a來表示來表示b,b,從而在所求問題從而在所求問題中消去中消去b,b,利用均值不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值求解利用均值不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值求解. .