江蘇省蘇州市第五中學高考數學總復習 第6講 立體幾何中的向量方法（一）證明平行與垂直課件

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1、第第6講立體幾何中的向量方法講立體幾何中的向量方法(一一)證明平行與垂直證明平行與垂直非零向量 2空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2.l1l2 n1n2n1n2l1l2n1n2直線l的方向向量為n，平面的法向量為ml nmlnmnm平面，的法向量分別為n，m.nm . nm .n1n2 0 mn0 nm nm0 辨 析 感 悟 1平行關系(1)直線的方 向向量是唯一確定的()(2)兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，則l1與l2的位置關系是平行()(4)(2014青島質檢改編)如圖所示，在正方體ABCDA1B

2、1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線NO，AM的位置關系是異面垂直 () 感悟提升 1一是切莫混淆向量平行與向量垂直的坐標表示，二是理解直線平行與直線方向向量平行的差異，如(2)否則易造成解題不嚴謹 2利用向量知識證明空間位置關系，要注意立體幾何中相關定理的活用，如證明直線ab，可證向量ab，若用直線方向向量與平面法向量垂直判定線面平行，必需強調直線在平面外等. 規(guī)律方法 (1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證直線的方

3、向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算規(guī)律方法 (1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算其中靈活建系是解題的關鍵(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可規(guī)律方法 立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：(1)根據題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再加以

4、證明，得出結論；(2)假設所求的點或線存在，并設定參數表達已知條件，根據題目進行求解，若能求出參數的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在本題是設出點P的坐標，借助向量運算，判定關于z0的方程是否有解 1用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，體現了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明、輔助線的作法轉化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現了由“形”轉“數”的轉化思想 2兩種思路：(1)選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關定理與向量的線性運算進行判斷(2)建立空間坐標系，進行向量的坐標運算，根據運算結果的幾何意義解釋相關問題 3運用向量知

5、識判定空間位置關系，仍然離不開幾何定理如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需調直線在平面外 思想方法8運用空間向量研究空間位置關系中的轉化思想反思感悟 (1)轉化化歸是求解空間幾何的基本思想方法：中將空間位置、數量關系坐標化和體現了線線垂直與線面垂直的轉化，以及將線線垂直轉化為向量的數量積為0.在與中主要實施線面、線線垂直的轉化中把求“平面夾角的余弦值”轉化為“兩平面法向量夾角的余弦值”(2)空間向量將“空間位置關系”轉化為“向量的運算”應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備