江蘇省蘇州市第五中學(xué)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第8講 函數(shù)與方程課件

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1、第第8講函數(shù)與方程講函數(shù)與方程 知 識(shí) 梳 理 函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)的零點(diǎn)的概念一般地，我們把使函數(shù)yf(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與 有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有 x軸 零點(diǎn) (3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是f(x)0的根對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且 的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間 ，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫

2、做二分法f(a)f(b)0 (a，b) f(a)f(b)0 一分為二 辨 析 感 悟 函數(shù)零點(diǎn)概念的理解及應(yīng)用(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)()(2)對(duì)于定義域內(nèi)的兩個(gè)變量x1，x2，若f(x1)f(x2)0，則函數(shù)f(x)有零點(diǎn)()(3)若f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0，則f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點(diǎn)()(4)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且f(a)f(b)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)()(5)(2012湖北卷改編)函數(shù)f(x)xcos 2x在區(qū)間0,2上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.()(6)(2013廣州模擬改編

3、)已知函數(shù)f(x)x2xa在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,0)() 感悟提升 1一點(diǎn)提醒函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)0的根，如(1) 2三個(gè)防范一是嚴(yán)格把握零點(diǎn)存在性定理的條件，如(2)中沒有強(qiáng)調(diào)連續(xù)曲線；二是連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分條件，而不是必要條件，如(3)；三是函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)且f(a)f(b)0，則f(x)在a，b上只有一個(gè)零點(diǎn).規(guī)律方法 (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還

4、必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)答案(1)(2)1 規(guī)律方法 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，觀察圖象可知，若方程f(x)a0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)yf(x)的圖象與直線ya有3個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)需滿足0a1. 答

5、案(0,1) 考點(diǎn)三與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)分布 【例3】 是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)x2(3a2)xa1在區(qū)間1,3上恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由審題路線由f(x)在1,3上只有一個(gè)零點(diǎn)f(x)0在1,3上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根計(jì)算知0恒成立令 f(1)f(3)0求出a的范圍對(duì)端點(diǎn)值檢驗(yàn)得出結(jié)論規(guī)律方法 解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組 【訓(xùn)練3】 已知關(guān)于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1,0)

6、內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍 1函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有：(1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)0. 2研究方程f(x)g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究G(x)f(x)g(x)的零點(diǎn) 3轉(zhuǎn)化思想：方程解的個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題 創(chuàng)新突破2函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)極值點(diǎn)的交匯 【典例】 (2013安徽卷改編)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.若f(x1)x1x2，則關(guān)于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為_突破：條件“函

7、數(shù)f(x)x3ax2bxc有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2”等價(jià)于“方程f(x)3x22axb0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2”；條件：“若f(x1)x1x2，關(guān)于x的方程3(f(x)22af(x)b0的根”等價(jià)于“方程3(f(x)22af(x)b0有兩個(gè)不等實(shí)根，f(x)x1，f(x)x2”解析f(x)3x22axb，原題等價(jià)于方程3x22axb0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1x2，x(，x1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；x(x1，x2)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；x(x2，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增x1為極大值點(diǎn)，x2為極小值點(diǎn)方程3(f(x)22af(x)b0有兩個(gè)不等實(shí)根，f

8、(x)x1，f(x)x2.f(x1)x1，由圖知f(x)x1有兩個(gè)不同的解，f(x)x2僅有一個(gè)解答案3 反思感悟 (1)強(qiáng)化函數(shù)零點(diǎn)的求法，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化技巧，本題的突破點(diǎn)是方程3(f(x)22af(x)b0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)x1與f(x)x2的根的個(gè)數(shù)之和(2)本題把函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的極值點(diǎn)交匯在一起考查，體現(xiàn)了新課標(biāo)高考的指導(dǎo)思想 【自主體驗(yàn)】(2014廣州測(cè)試)已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)exx2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g(x)ln xx2的零點(diǎn)為b，則f(a)，f(1)，f(b)的大小關(guān)系為_解析由題意，知f(x)ex10恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的，而f(0)e00210，f(1)e112e10，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)a(0,1)；答案f(a)f(1)f(b)